沈淼楠

【摘要】分類討論思想是中學基本數(shù)學思想之一。在解題時如果可以進行正確、合理、嚴謹?shù)姆诸?，就可以把一個復雜的問題簡化，達到化難為易，分而治之的目的。但往往實際解題時仍存在不少問題，若不能突破這些難點，反而會對解題造成負擔。結(jié)合具體案例，對分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用問題進行一些探討。

【關鍵詞】高中數(shù)學 分類討論思想 解題

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）12-0146-02

對于學生而言，數(shù)學的學習要善于學以致用，而解題則是最直接的體現(xiàn)途徑。波利亞的《怎樣解題》一直被奉為經(jīng)典數(shù)學專著，他曾說過：“掌握數(shù)學意味著什么？意味著善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理，見解獨到和有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的題。”波利亞的解題理論如何才能實現(xiàn)呢？分類討論思想就是其中的一條途徑。

分類討論，就是當問題所給的研究對象不能進行統(tǒng)一的研究處理時，對研究對象按照某種標準進行分類，然后對每一類的對象進行分別的研究并得出結(jié)論，最后綜合各類的研究結(jié)果對問題進行整體的解釋。翻閱高中數(shù)學教材，其中用到分類討論的知識點大致有如下一些：

一、分類討論在集合中的應用

當集合中的字母不確定時，常用到分類討論的方法，如以下問題：

例1、已知 ，

求p，q滿足的條件。

解：先求，因為，所以，

解決這類問題首先得明確集合間的關系（子集考查較多），在分類討論時可以依據(jù)集合元素的個數(shù)（由0個開始）來依次討論，這樣可以避免空集的遺漏。

二、分類討論在解析幾何中的應用

在遇到含參數(shù)求解直線方程時，常用到分類討論的思想，如以下問題：

例2、已知兩點A（-1，2），B（m，3），求直線AB的方程；

解：當m=-1時，直線AB的斜率不存在，AB的方程為x=-1；

當m≠-1時，k=，AB的方程為y-2=（x+1），即y=

∴直線AB的方程為x=-1或y=.

遇到含參數(shù)的問題時，一般都會考慮特殊情況，而直線出現(xiàn)時就得考慮斜率是否存在的問題。對這類問題的處理方式也就是依據(jù)斜率是否存在來進行分類討論。

三、分類討論在一元二次不等式中的應用

當出現(xiàn)求解含參數(shù)的不等式問題時，也常用到分類討論的思想，如以下問題：

例3、 解關于 的不等式.

含參數(shù)的一元二次不等式首先以二次項系數(shù)與零的大小為分類標準分類討論；然后把不等式轉(zhuǎn)化為標準形式的一元二次不等式（二次項系數(shù)大于零）后，再以判別式與零的大小為分類標準討論；最后如果判別式大于零，但此時兩根大小仍不能確定，再以兩根大小為分類標準分類討論。

分類討論思想在高中數(shù)學中應用較多，比如還有一次函數(shù)的斜率k與圖像位置及函數(shù)單調(diào)性的關系，等比數(shù)列前年n項和公式中q=1和q≠1的區(qū)別，線段定比分點P在P1P2的外側(cè)與內(nèi)側(cè)對λ的影響等，這里由于篇幅原因就不一一介紹了。

從上面諸多討論中可以看出，分類討論思想在求解函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、排列組合、概率等數(shù)學問題中有著廣泛的應用。分類討論思想是把雙刃劍，掌握好了不論對于學生解題還是思維能力的提升都有諸多益處。然而如果出現(xiàn)了分類標準不明確、遺漏分類或結(jié)果處理的錯誤，將也會成為學生通向高分之巔的攔路虎。

參考文獻：

[1]宋遠芬，孫德貴.分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用[J].科技風.

[2]曲一線.高中知識清單（數(shù)學）[M].首都師范大學出版社，2013.