安徽省廬江中學(xué)(231500) 王能華●

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函數(shù)解析式的求法

安徽省廬江中學(xué)(231500)
王能華●

函數(shù)解析式是用來(lái)表示兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式.它具有簡(jiǎn)明、全面地概括變量間關(guān)系的特點(diǎn)，并且通過(guò)它能夠求出定義域內(nèi)任意一個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值等優(yōu)點(diǎn).限于篇幅，本文僅討論非應(yīng)用題型函數(shù)解析式的幾種求法.

一、待定系數(shù)法求解析式

分析 本例中已經(jīng)明確告訴我們f(x)是一個(gè)一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的定義，它一定是形如f(x)=kx+b(k≠0)的函數(shù)，所以只要能根據(jù)條件求系數(shù)k,b即可(解略)

從本例可以看出待定系數(shù)法主要應(yīng)用于條件中已確定需要求解的函數(shù)的類型，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等.這時(shí)可根據(jù)條件設(shè)出函數(shù)的解析式，再根據(jù)條件將相關(guān)系數(shù)求出即可.

二、根據(jù)所給條件構(gòu)造方程組求解

分析 條件中給了一個(gè)等式含有f(x)、g(x)兩個(gè)函數(shù)解析式，設(shè)想如果能夠再構(gòu)造一個(gè)含有f(x)、g(x)的等式即可解出f(x)、g(x)．(解略)

三、利用換元法求解析式

分析 條件中已經(jīng)給了f(x2-3)的表達(dá)式，而要求f(x)的解析式，只需要把x2-3作為一個(gè)整體替換為一個(gè)字母t，而等式右邊也化成t的表達(dá)式即可.(解略)

四、配湊法

配湊法與換元法相比較主要運(yùn)用于當(dāng)采用換元法令f[g(x)]中t=g(x)不方便求出x，但等式右邊容易配成g(x)的表達(dá)式時(shí)采用配湊法較簡(jiǎn)單；求出函數(shù)解析式要注意根據(jù)原始條件求出函數(shù)定義域.

五、賦值法

例6 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y滿足：f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，且f(0)=1，求f(x)的解析式．

分析 由于條件中已經(jīng)出現(xiàn)了f(x)，而且x,y可以取一切實(shí)數(shù)，完全可以根據(jù)需要給它們?nèi)我赓x值，如令y=x即可.(解略)

從上面的例子可以看出，賦值法通常用于抽象函數(shù)中通過(guò)對(duì)某個(gè)字母進(jìn)行賦值減少變量后能求出需要的函數(shù)解析式時(shí)，如例6的條件中已有f(x)，但還多了字母y，這時(shí)只要對(duì)字母x,y進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值就可以求出函數(shù)解析式.

六、遞推法

例7 設(shè)f(x)是定義在N+上的函數(shù)，滿足f(1)=1，對(duì)于任意a,b∈N+，f(a)+f(b)=f(a+b)-ab恒成立，求f(x)解析式．

分析 在本例的條件中給出了a,b∈N+時(shí)，f(a)+f(b)=f(a+b)-ab總是成立，如果令a,b中一個(gè)為x另一個(gè)為1，這樣就多出了一個(gè)f(x+1)，只要我們反復(fù)運(yùn)用這個(gè)等式最終肯定可以得到f(1)的等式進(jìn)行求解即可.(解略)

分析 在本例的條件中已經(jīng)給了f(x)與f(x-1)之間的關(guān)系式，可以逐次用x-1替代x，并且每相鄰f(x)與f(x-1)的比值是可以表示的，這樣一直遞推下去，總可以得到f(2)與f(1)的關(guān)系式，最終利用條件中f(1)的值達(dá)到求f(x)解析式的目的.(解略)

從上面兩例可以看出遞推法用在自變量在自然數(shù)集范圍內(nèi)取值時(shí)，通過(guò)對(duì)自變量進(jìn)行逐次減小直到條件中給出的初始值(如上面兩例中的f(1))，再把所得等式兩邊進(jìn)行相加或相乘.所以遞推法主要運(yùn)用于定義在自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)解析式的求解.

七、奇、偶函數(shù)解析式求法

例9 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2+1，求f(x)解析式．

分析 條件中給出了f(x)是奇函數(shù)并且給出了它定義域一部分的解析式，而要求定義域中其他部分的解析式，可以利用奇函數(shù)的定義來(lái)求解.(解略)

例10 已知f(x)是定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2+2x，求f(x)解析式．

分析 利用類似于奇函數(shù)時(shí)的過(guò)程來(lái)求定義域中剩余部分的解析式.(解略)

對(duì)于已知函數(shù)的奇偶性和其定義域內(nèi)一部分解析式而要求定義域內(nèi)另一部分解析式時(shí)均可按照上述兩例方法求解，應(yīng)特別注意若奇函數(shù)的定義域中含有“0”時(shí)，f(0)=0的情況不要丟了.

八、圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱及關(guān)于垂直于x軸的直線對(duì)稱時(shí)函數(shù)解析式求法

例11 已知f(x)定義域?yàn)镽，f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,10)對(duì)稱，且當(dāng)x≥3時(shí)，f(x)=x2+1，求f(x)解析式．

分析 已知f(x)的一部分解析式求另一部分解析式就是求這部分圖象上任意一點(diǎn)(x,y)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y之間的關(guān)系式，而整個(gè)圖象關(guān)于點(diǎn)(3,10)對(duì)稱，所以(x,y)關(guān)于(3,10)的對(duì)稱點(diǎn)(x1,y1)一定在所給解析式對(duì)應(yīng)圖象上.根據(jù)中心對(duì)稱的定義可知點(diǎn)(x,y)與(x1,y1)的中點(diǎn)為(3,10)，為此只要用x,y分別表示x1,y1代入原解析式變形即可求得.(解略)

例12 已知f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=x2-4x，求f(x)解析式．

分析 根據(jù)條件中關(guān)于直線x=1對(duì)稱，可知f(1+x)=f(1-x)也即f(x)=f(2-x)對(duì)x∈R時(shí)都成立，這時(shí)只要將需要求解析式的那部分自變量的范圍通過(guò)關(guān)系式2-x轉(zhuǎn)化到已給的范圍內(nèi)即可求解.(解略)

奇、偶函數(shù)解析式求法是圖象關(guān)于點(diǎn)和直線對(duì)稱的特殊情況，即當(dāng)對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱軸分別是(0,0)和x=0的情況.類似過(guò)程也可用于兩個(gè)不同的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)或直線對(duì)稱時(shí)解析式的求解(也可用于兩個(gè)不同的曲線關(guān)于點(diǎn)或直線對(duì)稱時(shí)曲線方程的求解).

九、周期函數(shù)解析式求法

分析 因?yàn)閒(x)是周期為4的函數(shù)，而且也已經(jīng)正好給了一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)解析式，而要求的是當(dāng)x∈[2n,2n+4)(n∈Z)時(shí)的解析式，在本例中還需注意自然數(shù)n可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)，所以還需要對(duì)其進(jìn)行分類討論，將要求范圍內(nèi)的部分通過(guò)減去周期的整數(shù)倍轉(zhuǎn)化到已給范圍內(nèi)就可以運(yùn)用條件中解析式進(jìn)行解題.(解略)

利用函數(shù)的周期性求解析式時(shí)，把自變量不在所給范圍內(nèi)的那部分通過(guò)加或減周期的整數(shù)倍轉(zhuǎn)化到條件所給的范圍內(nèi)再利用周期函數(shù)定義進(jìn)行求解.

不管用上述哪一種方法求函數(shù)解析式，都有一個(gè)共同的問(wèn)題大家需要注意，也就是函數(shù)的定義域要以原始條件為依據(jù)，不能擴(kuò)大也不能縮小.在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)只要能夠理解每一種方法的適用情況，遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí)基本就可以快速選擇出正確方法了！

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