朱建明

摘 要數(shù)學(xué)“不確定情境”作為一種特殊的教學(xué)情境，有助于促進(jìn)學(xué)生充分參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)程。設(shè)計(jì)“不確定情境”不僅可以凸顯教學(xué)內(nèi)容中的關(guān)鍵要素，也可以通過(guò)數(shù)學(xué)變式促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，還能在數(shù)學(xué)知識(shí)的延伸拓展中揭示本質(zhì)規(guī)律，彰顯各種模型的不同特質(zhì)。

不確定情境 數(shù)學(xué)教學(xué) 探究性學(xué)習(xí)

新課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)基于學(xué)生的實(shí)際，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，促使學(xué)生積極主動(dòng)、富有個(gè)性地學(xué)習(xí)，不斷提高其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。因此，為了促進(jìn)學(xué)生深度參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，恰當(dāng)設(shè)置問(wèn)題情境成了數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，而因數(shù)學(xué)“不確定情境”與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程聯(lián)系緊密，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)方法和策略，思維價(jià)值高，深受廣大師生的喜愛(ài)。

數(shù)學(xué)“不確定情境”就是以包含不確定因素的問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)教師引導(dǎo)學(xué)生分析推理等過(guò)程，尋求這些問(wèn)題的確定性的解決策略，幫助學(xué)生獲得知識(shí)、掌握技能、學(xué)會(huì)方法。數(shù)學(xué)“不確定情境”能使學(xué)生在辨識(shí)中思考，在思考中領(lǐng)悟。下面以江蘇科技出版社出版的初中數(shù)學(xué)教材《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué)》中的學(xué)習(xí)內(nèi)容為例，談?wù)剶?shù)學(xué)“不確定情境”的設(shè)計(jì)與思考。

一、在不確定中提煉關(guān)鍵要素

創(chuàng)設(shè)“不確定情境”，可以引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)發(fā)生階段，針對(duì)情境中的“不確定”成分，探究相關(guān)知識(shí)的附著點(diǎn)，概括提煉出關(guān)鍵性要素，從而引導(dǎo)學(xué)生循著知識(shí)產(chǎn)生的脈絡(luò)去準(zhǔn)確把握和理解學(xué)習(xí)內(nèi)容。

案例1 6.4 探索三角形相似的條件（第2課時(shí)）（九年級(jí)下冊(cè)）

上課開始后，教師提出問(wèn)題：

（1）如圖1，在正方形方格陣中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在格點(diǎn)上。請(qǐng)?jiān)趫D中再畫一個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上的△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，并說(shuō)明理由；

（2）對(duì)于△ABC與△A1B1C1，最少需要具備幾個(gè)條件，便可以判定它們相似？

本例中，“不確定”體現(xiàn)在幾個(gè)方面，一是問(wèn)題（1）中△A1B1C1構(gòu)圖的位置、大小均不確定，需要學(xué)生自主擬定；二是判定兩個(gè)三角形相似，三個(gè)角分別相等、三條邊分別成比例這六個(gè)條件，最多可以減少幾個(gè)？當(dāng)然這個(gè)過(guò)程中，可以類比三角形全等的判定條件。通過(guò)這個(gè)“不確定情境”，參照?qǐng)D2，可以引導(dǎo)學(xué)生提煉出多個(gè)判定兩個(gè)三角形相似的關(guān)鍵要素，能有效幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)內(nèi)容的可能性和必要性。

二、在不確定中增進(jìn)意義理解

為了幫助學(xué)生理解掌握知識(shí)內(nèi)涵，在數(shù)學(xué)概念、法則和方法的教學(xué)中，可以借助相關(guān)問(wèn)題的變式設(shè)計(jì)“不確定情境”，通過(guò)學(xué)生的辨析討論，從不同側(cè)面去增進(jìn)知識(shí)和方法的意義理解。

案例2 4.2 等可能條件下的概率（一）（第2課時(shí)）（九年級(jí)上冊(cè)）

本節(jié)課例3之后，教師提出問(wèn)題：

如圖3，一張圓桌旁有四個(gè)座位，甲、乙、丙、丁四人隨機(jī)坐到這四個(gè)座位上，求甲與丙不相鄰而坐的概率。

本例中研究的“不確定”因素首先是甲究竟坐在四個(gè)座位中的哪一個(gè)？甲的位置定了以后，又要研究乙、丙、丁三人按怎樣的次序落座？由于本節(jié)課主要是學(xué)習(xí)用樹狀圖的方法計(jì)算等可能條件下一些隨機(jī)事件發(fā)生的概率，因此，本題如何用枚舉法刻畫所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果成了關(guān)鍵。實(shí)際上，本例使用的枚舉法是畫樹狀圖法的一個(gè)變式，可以先定甲的座位，然后直接如圖4枚舉就可以了，本例能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解枚舉法的作用和價(jià)值。

三、在不確定中揭示本質(zhì)規(guī)律

在知識(shí)應(yīng)用時(shí)設(shè)計(jì)“不確定情境”，可以將教學(xué)內(nèi)容適度地拓展延伸，提高知識(shí)內(nèi)容的綜合性，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)探究問(wèn)題、揭示本質(zhì)規(guī)律、感悟數(shù)學(xué)思想方法，有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

案例3 9.5多項(xiàng)式的因式分解（第4課時(shí)）（七年級(jí)下冊(cè)）

在本課“思維拓展”階段，教師提出問(wèn)題：

（1）如圖5，能否用1張A型紙片、1張B型紙片、2張C型紙片拼出一個(gè)正方形？并用多項(xiàng)式的積表示a2+2ab+b2。

（2）如圖5，能否用1張A型紙片、2張B型紙片、3張C型紙片拼出一個(gè)長(zhǎng)方形？并用多項(xiàng)式的積表示a2+3ab+2b2。

（3）如圖5，能否用紙片拼出一個(gè)長(zhǎng)方形，并將下列多項(xiàng)式因式分解？

①a2+4ab+3b2 ②a2+6ab+5b2；

③a2+10ab+9b2 ④a2+100ab+99b2

本例中的“不確定”首先體現(xiàn)在操作實(shí)驗(yàn)的不確定：能否用圖5中的紙片拼出一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形。其次對(duì)多項(xiàng)式a2+100ab+99b2而言，要拼出與此相關(guān)的長(zhǎng)方形顯然太繁瑣，那么必須在拼出與前幾個(gè)多項(xiàng)式相關(guān)的長(zhǎng)方形的基礎(chǔ)上，在不斷的操作嘗試過(guò)程中，歸納揭示出多項(xiàng)式系數(shù)與三種特定的紙片的數(shù)量存在的依存關(guān)系，進(jìn)而利用這一拼圖規(guī)律，理解一類多項(xiàng)式因式分解與特定圖形之間的聯(lián)系，最后將這些蘊(yùn)含在不確定中的規(guī)律挖掘出來(lái)。本例不僅為學(xué)生理解這一類多項(xiàng)式的因式分解提供了直觀印證，也為學(xué)生運(yùn)用圖形去思考因式分解問(wèn)題，為他們進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)提供了操作范式。

案例4 5.2平面直角坐標(biāo)系（第2課時(shí)）（八年級(jí)上冊(cè)）

在本課“思維拓展”階段，教師提出問(wèn)題：

如果將點(diǎn)M繞定點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后與點(diǎn)N重合，那么稱點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，定點(diǎn)P叫做對(duì)稱中心。此時(shí)，點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)。在直角坐標(biāo)系中，△ABO的頂點(diǎn)A、B、O的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，1）、（0，0）。點(diǎn)列C1，C2，C3，……中的相鄰兩點(diǎn)都關(guān)于△ABO的一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)稱。

點(diǎn)C1與點(diǎn)C2關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，點(diǎn)C2與點(diǎn)C3關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，點(diǎn)C3與點(diǎn)C4關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)C4與點(diǎn)C5關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，點(diǎn)C5與點(diǎn)C6關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，點(diǎn)C6與點(diǎn)C7關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱……，對(duì)稱中心分別是A，B，O，A，B，O……，且這些對(duì)稱中心依次循環(huán)。已知C1的坐標(biāo)是（1，1），試求出點(diǎn)C2、C8、C300的坐標(biāo).

本例的主要內(nèi)容是用點(diǎn)的坐標(biāo)描述圖形變換運(yùn)動(dòng)后的位置，探索運(yùn)動(dòng)后的圖形與原來(lái)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系。它體現(xiàn)的不確定因素有兩個(gè)：一是點(diǎn)的對(duì)稱，這與軸對(duì)稱變換有差異；二是寫出C300的坐標(biāo)，顯然這不能從C1、C2、C3的坐標(biāo)逐個(gè)往下寫，必須要找出這個(gè)不確定中的某種變化規(guī)律。而設(shè)置“求出點(diǎn)C8的坐標(biāo)”，就是要通過(guò)學(xué)生經(jīng)歷描點(diǎn)的過(guò)程，找出點(diǎn)列周期性變化規(guī)律。利用周期性循環(huán)問(wèn)題編制與教學(xué)內(nèi)容契合的“不確定情境”，往往新穎別致，有較高的思維價(jià)值，是培養(yǎng)學(xué)生探究能力、合情推理能力的有效載體。

四、在不確定中強(qiáng)化模型特質(zhì)

在課堂小結(jié)中設(shè)置數(shù)學(xué)“不確定情境”，可以通過(guò)學(xué)生面對(duì)一些問(wèn)題的“不確定”成分進(jìn)行分析思考，使他們對(duì)所學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行歸納和梳理，引導(dǎo)學(xué)生作進(jìn)一步的回顧反思，確定相關(guān)知識(shí)之間的差異，凸顯特定知識(shí)的特質(zhì)，以便查漏補(bǔ)缺、完善認(rèn)識(shí)。

案例5 5.3用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)關(guān)系式（九年級(jí)下冊(cè)）

在本課的課堂小結(jié)中，教師提出問(wèn)題：

已知點(diǎn)P（，8）和Q（2，2）兩點(diǎn)，試寫出兩個(gè)不同的函數(shù)，使它們的圖象都經(jīng)過(guò)P、Q兩點(diǎn)。

本例是一個(gè)數(shù)學(xué)開放性問(wèn)題，開放性問(wèn)題的顯著特點(diǎn)在于某些要素的不確定性，它的條件、解題策略、結(jié)論常常可以在問(wèn)題情境中自行設(shè)定和尋找，因此需要學(xué)生自主探索思考，創(chuàng)造性地將不確定的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)確定性問(wèn)題。本例作為課堂小結(jié)中使用的問(wèn)題，不僅能使學(xué)生進(jìn)一步掌握用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)關(guān)系式，而且能使學(xué)生在同一個(gè)問(wèn)題中學(xué)會(huì)選用不同模型，這里實(shí)際上寫出的函數(shù)還可以是反比例函數(shù)、一次函數(shù)，因此本例凸顯了不同函數(shù)的模型特質(zhì)，可以幫助全面總結(jié)初中數(shù)學(xué)的各種函數(shù)知識(shí)。

案例6 12.3二次根式的加減（八年級(jí)下冊(cè)）

在本課課堂小結(jié)階段，提出問(wèn)題：

（1）說(shuō)出兩個(gè)含有二次根式的式子，使它們的和、積都不含有二次根式；

（2）說(shuō)出兩個(gè)含有二次根式的式子，使它們的和仍含有二次根式，它們的積不含有二次根式。

本例也是一個(gè)數(shù)學(xué)開放性問(wèn)題，“不確定情境”聚焦于二次根式中互為有理化因式這一模型，可以引導(dǎo)學(xué)生將這一類二次根式的運(yùn)算進(jìn)行系統(tǒng)梳理，并形成整體性認(rèn)識(shí)，對(duì)提高學(xué)生的二次根式運(yùn)算技能也會(huì)有所幫助。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中的不同時(shí)段設(shè)置“不確定情境”，能產(chǎn)生不同的教學(xué)效果。經(jīng)常性設(shè)置“不確定情境”，還能幫助學(xué)生錘煉克服困難的信心和勇氣，發(fā)展解決問(wèn)題的策略，對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效能、打造高效課堂具有重要意義。

【責(zé)任編輯 郭振玲】