王先義 劉成龍

四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641112)

由一道選擇壓軸題參考答案引起的探究*

王先義 劉成龍

四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641112)

A.[1,e]B.[e-1,1]

C.[1,1+e]D.[e-1,e+1]

上述試題是2013年四川卷理科選擇題中的壓軸題，現(xiàn)將參考答案摘錄如下：

參考答案使用的是排除法，大家不免要問(wèn)用一般的方法怎么解答該題呢？下文給出試題的一般解法及相關(guān)鏈接.

首先給出兩個(gè)有用的結(jié)論：

結(jié)論1 (表達(dá)式角度)若f(x)為定義在I上的增函數(shù)，則f(f(x))=x?f(x)=x.

證明:“?”任取x1∈I，不妨設(shè)f(x1)>x1，因?yàn)閒(x)是定義在I上的增函數(shù)，所以f(f(x1))>f(x1)>x1，這與f(f(x1))=x1矛盾.故f(x)=x.

“?”顯然.

結(jié)論2 (方程解角度)若y=f(x)是定義在I上的增函數(shù)，則方程f(f(x))=x?方程f(x)=x?方程f-1(x)=x?方程f(x)=f-1(x).

證明:因?yàn)閥=f(x)是為定義在I上的增函數(shù)，所以y=f(x)有反函數(shù)，記為y=f-1(x)，設(shè)反函數(shù)與原函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則(y0,x0)也是它們的交點(diǎn)，且f(x0)=y0,f(y0)=x0.不妨設(shè)x0

推論1 若y=f(x)為定義在I上的增函數(shù)，則方程f(f(…f(x)…))=x?方程f(x)=x?方程f-1(x)=x?方程f(x)=f-1(x).

對(duì)結(jié)論2運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法即可得推論1，證明過(guò)程略.

試題解答：

由推論可以對(duì)試題進(jìn)行推廣：

相關(guān)鏈接

1.(2012浙江競(jìng)賽題)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx+c，若方程f(x)=x無(wú)實(shí)根，則方程f(f(x))=x( ).

A.有四個(gè)相異實(shí)根B.有兩個(gè)相異實(shí)根

C.有一個(gè)實(shí)根D.無(wú)實(shí)根

解:由f(x)=x2+bx+c開(kāi)口向上，且方程f(x)=x無(wú)實(shí)根，得?x∈R，f(x)>x，故f(f(x))>f(x)>x，所以f(f(x))=x無(wú)實(shí)根.

3.(2013福建三明市質(zhì)量檢測(cè)理10)對(duì)于函數(shù)f(x)，若f(x0)=x0，則稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”；若f(f(x0))=x0，則稱(chēng)x0為函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.如果函數(shù)f(x)=x2+a(a∈R)的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃”項(xiàng)目(ZY16001)資助.王先義，內(nèi)江師范學(xué)院的14級(jí)本科生；劉成龍系本文

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