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        淺析待定系數(shù)法在絕對(duì)值問題中的應(yīng)用

        2017-05-11 08:42:12陳少春
        關(guān)鍵詞:實(shí)數(shù)常數(shù)淺析

        陳少春

        浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000)

        淺析待定系數(shù)法在絕對(duì)值問題中的應(yīng)用

        陳少春

        浙江省紹興魯迅中學(xué) (312000)

        二次函數(shù)的絕對(duì)值問題一直受高考命題者的青睞,緣由是它既是我們比較熟悉的知識(shí)內(nèi)容,但又能考查我們的綜合分析問題的能力.如何破解這類問題?本文想嘗試“待定系數(shù)法”的方法解決二次函數(shù)的絕對(duì)值問題中的“證明、最值、范圍”,希望給我們考生在解決此類問題帶來些許幫助.

        一、二次函數(shù)絕對(duì)值的“證明”問題

        例1 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,當(dāng)|x|≤1時(shí),|f(x)|≤1.求證:當(dāng)|x|≤2時(shí),|f(x)|≤7.

        注:該例可推廣到更一般的情形.

        二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,當(dāng)|x|≤1時(shí),|f(x)|≤1.求證:當(dāng)|x|≤n時(shí),|f(x)|≤2n2-1(n∈N*).

        例2 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b.

        (1)設(shè)b=a,若|f(x)|在x∈[0,1]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

        解:(1)略;

        二、二次函數(shù)絕對(duì)值的“最值”問題

        在各地模擬卷里我們經(jīng)常碰到這樣的問題:求一個(gè)帶多個(gè)參數(shù)的絕對(duì)值二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上最大值的最小值,解決這種常規(guī)方法是分類討論和數(shù)形結(jié)合來解決,但是因?yàn)閰?shù)太多,很多同學(xué)無從下手.其實(shí)通過圖形分析可以發(fā)現(xiàn),這類問題最小值一定是在兩個(gè)端點(diǎn)和對(duì)稱軸的函數(shù)值相等取到的,為待定系數(shù)法解決這類問題提供了思路.

        類型1f(x)=|ax2+bx+c|(a為常數(shù))型最小值

        例3 (2016年嘉興期末理18)已知函數(shù)f(x)=x2+2bx+c,設(shè)函數(shù)g(x)=|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值為M.

        (1)若b=2,試求出M;

        (2)若M≥k對(duì)任意的b,c恒成立,試求出k的最大值.

        解:(1)略;

        例4 (2016年稽陽聯(lián)考理18)已知二次函數(shù)f(x)=-x2+ax+b(a,b∈R),設(shè)M(a,b)是函數(shù)g(x)=|f(x)|在[1,2]上的最大值.

        (1)當(dāng)a=1時(shí),求M(1,b)關(guān)于b的解析式;

        由于大型渠道混凝土襯砌施工作業(yè)多在1∶2或更陡的坡面上進(jìn)行切縫施工,且自動(dòng)行走,能使其平穩(wěn)地行駛在坡面上,配重調(diào)整過重過輕、配重的位置都是影響實(shí)際應(yīng)用的主要因素,所以機(jī)具的配重尤為重要。

        (2)若對(duì)任意的a,b∈R,恒有M(a,b)≥M(a0,b0),求所有滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)(a0,b0).

        解:(1)略;

        類型2f(x)=|ax2+bx+c|(b為常數(shù))型最小值

        結(jié)論f(x)=|ax2+bx+c|(b為常數(shù))在區(qū)間[x1,x2]上的最大值是M,則

        (1)當(dāng)a=0,b=1時(shí),寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

        (3)若對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,總存在實(shí)數(shù)x0∈[0,4]使得不等式f(x0)≥m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

        解:(1)、(2)略;

        類型3f(x)=|ax2+bx+c|(b為參數(shù)且動(dòng)區(qū)間)型最小值

        這類問題可以通過變量換元使得區(qū)間變成定區(qū)間,從而把問題轉(zhuǎn)化成類型1或者類型2.

        (2)記M(a,t)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+2]上的最大值(t∈R),求M(a,t)的最小值.

        解:(1)略;

        三、二次函數(shù)絕對(duì)值的“范圍”問題

        例7 已知函數(shù)f(x)=ax2-c,滿足|f(1)|≤1,|f(2)|≤5,求f(3)的范圍.

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