汪仁林

陜西省咸陽市乾縣楊漢中學(xué) (713300)

例析極限思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

汪仁林

陜西省咸陽市乾縣楊漢中學(xué) (713300)

極限思想是高中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想，它使人們能夠從有限認(rèn)識無限，從近似認(rèn)識精確，從量變認(rèn)識質(zhì)變．雖然目前高中教材沒有給出極限的嚴(yán)格定義，但無論是教材內(nèi)容還是習(xí)題解答都大量地應(yīng)用著極限思想.極限作為一種運(yùn)算在高中數(shù)學(xué)中的要求較低,一般只要理解即可,然而高中學(xué)習(xí)極限思想一方面能鍛煉學(xué)生的思維能力，提高解題水平，另一方面為以后高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)做鋪墊.本文對極限思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用作些探討.

1.教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生掌握簡單的極限運(yùn)算

①若x→a時(shí)，f(x)→0且g(x)→0，則

②若x→a時(shí)，f(x)→∞且g(x)→∞，則

2.極限思想應(yīng)用實(shí)例剖析

(1)求點(diǎn)M軌跡C的方程；

(2)若過點(diǎn)D(2,0)的直線l與(1 )中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E,F(E在D,F之間)，試求ΔODE與ΔODF面積之比的取值范圍(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

圖1

評析:此題第(2)問一般思路是：設(shè)直線方程，將面積之比轉(zhuǎn)化為E,F兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之比或橫坐標(biāo)的表達(dá)式，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的思想，最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域，運(yùn)算量很大，看似簡單，容易入手，學(xué)生最終完成需要較強(qiáng)的觀察能力、化歸轉(zhuǎn)化思想且對學(xué)生的運(yùn)算能力有較高的要求.比較可知，用極限思想非常簡便，其實(shí)這種思路的獲得途徑也是很直接的，將比值的范圍轉(zhuǎn)化為分別求分子分母的最值，用極限思想求解.說明在平時(shí)做題時(shí)不能僅憑經(jīng)驗(yàn)，只要認(rèn)真審題，把未知問題化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，從多角度思考，就能少走彎路，起到事半功倍的效果！

因?yàn)棣铡?x)=

評析:對比考題標(biāo)準(zhǔn)答案可知，此種解法的優(yōu)越感不言而喻.考題標(biāo)準(zhǔn)解答技巧性強(qiáng)，略顯突兀，學(xué)生普遍反映能看懂但想不到,而且將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的函數(shù)求最值，分類目標(biāo)不明確，較難處理. 本解法的優(yōu)點(diǎn)是：分類討論目標(biāo)非常明確，思路清晰；將問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)求最值，非常方便；通過分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)、二次求導(dǎo)，再借助洛比達(dá)法則使問題輕松獲解，容易理解和掌握. 可操作性強(qiáng)，深受學(xué)生青睞！

通過以上的分析，我們能夠感受到極限思想對有些問題的解決是不可或缺的.同時(shí)，極限思想的合理且有效應(yīng)用也能反映出學(xué)生在個(gè)性化處理中的不同理解，以及他們所反映出來的不同層次、不同深度的理性思維水平.所以中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該在培養(yǎng)極限思想、掌握極限方法等方面做一些研究，這樣就更有利于高校選拔，更有利于學(xué)生的成長并影響著其未來的發(fā)展.

[1]趙文濤，汪仁林.洛比達(dá)法則該不該教?——對一道高考題的困惑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2014(06).

*本文是陜西省教育科學(xué)規(guī)劃課題《高中生數(shù)學(xué)“懂而不會”的成因和對策研究》(課題批準(zhǔn)號:XDKT3071)階段研究成果.