胡周華

江蘇省啟東市匯龍中學(xué) (226200)

一個平面向量數(shù)量積的多種解法

胡周華

江蘇省啟東市匯龍中學(xué) (226200)

江蘇考試說明中都將“平面向量的數(shù)量積”作為考查的重要內(nèi)容(C級要求)．如果在解答題中未曾考查，那么必在填空題中考到．

圖1

向量有字母表示及坐標(biāo)表示兩種方法，使得向量運算持有平行的兩條運算途徑——向量法及坐標(biāo)法，應(yīng)合理地選用運算方法及它們的轉(zhuǎn)化．

分析1:平面向量的基本定理說明，平面內(nèi)兩個不共線向量為基底可以表示任一向量，這樣的基底有無窮多組．一般選用從同一頂點出發(fā)的基底向量、或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解，即利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系，運用運算法則，利用三角形中的中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等，把已知向量轉(zhuǎn)化為與未知向量有直接關(guān)系的向量．利用基底法和向量數(shù)量積的定義將所求向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為已知基向量的向量數(shù)量積.

分析3:用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)．除利用向量的加減法、數(shù)乘外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理．因此，在求向量時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去，利用向量平移將未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量，再利用已知向量的數(shù)量積求解.

圖2

分析4:建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將向量的運算轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的坐標(biāo)運算，利用向量的坐標(biāo)表示把向量數(shù)量積問題數(shù)量化即坐標(biāo)化.

圖3

又因為AD=2，所以x2+y2=4.②

圖4

總之，求有條件的向量數(shù)量積關(guān)鍵是抓住條件與結(jié)論之間的關(guān)系，靈活運用向量的和差運算，促進相互之間的轉(zhuǎn)化，有時要注意坐標(biāo)運算，要根據(jù)題目的圖形特點進行坐標(biāo)選取，將向量問題代數(shù)化，也是一個很好的路徑.