胡周華

江蘇省啟東市匯龍中學(xué) (226200)

一個(gè)平面向量數(shù)量積的多種解法

胡周華

江蘇省啟東市匯龍中學(xué) (226200)

江蘇考試說(shuō)明中都將“平面向量的數(shù)量積”作為考查的重要內(nèi)容(C級(jí)要求)．如果在解答題中未曾考查，那么必在填空題中考到．

圖1

向量有字母表示及坐標(biāo)表示兩種方法，使得向量運(yùn)算持有平行的兩條運(yùn)算途徑——向量法及坐標(biāo)法，應(yīng)合理地選用運(yùn)算方法及它們的轉(zhuǎn)化．

分析1:平面向量的基本定理說(shuō)明，平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量為基底可以表示任一向量，這樣的基底有無(wú)窮多組．一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基底向量、或首尾相連的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解，即利用相等向量、相反向量和線(xiàn)段的比例關(guān)系，運(yùn)用運(yùn)算法則，利用三角形中的中位線(xiàn)、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等，把已知向量轉(zhuǎn)化為與未知向量有直接關(guān)系的向量．利用基底法和向量數(shù)量積的定義將所求向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為已知基向量的向量數(shù)量積.

分析3:用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)．除利用向量的加減法、數(shù)乘外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理．因此，在求向量時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去，利用向量平移將未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量，再利用已知向量的數(shù)量積求解.

圖2

分析4:建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量的坐標(biāo)表示把向量數(shù)量積問(wèn)題數(shù)量化即坐標(biāo)化.

圖3

又因?yàn)锳D=2，所以x2+y2=4.②

圖4

總之，求有條件的向量數(shù)量積關(guān)鍵是抓住條件與結(jié)論之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用向量的和差運(yùn)算，促進(jìn)相互之間的轉(zhuǎn)化，有時(shí)要注意坐標(biāo)運(yùn)算，要根據(jù)題目的圖形特點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)選取，將向量問(wèn)題代數(shù)化，也是一個(gè)很好的路徑.