呂慶海
當(dāng)前,小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中,分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、正比例等類型題是教學(xué)工作的重點,所占教學(xué)比例較大,因此有必要在基本算理數(shù)學(xué)外,進(jìn)行深入的實踐應(yīng)用與總結(jié)分析,摸索出其中蘊(yùn)涵的解答規(guī)律,進(jìn)而提升教學(xué)針對性和教學(xué)效果。其中,巧用對應(yīng)關(guān)系就是解答這類題型的有效方法之一。下面從以下幾個類型題具體分析介紹。
分?jǐn)?shù)應(yīng)用題;例1:要修一條1600米長的道路,第一周修了全長的1/2,第二周又修了全長的3/10,兩周一共修了多少米?還有多少米沒有修?分析思路是:要求解修了多少米,首先應(yīng)該看所修道路占了全長的幾分之幾,用1/2+3/10=4/5,再根據(jù)“求一個數(shù)的幾分之幾是多少,用乘法”原則,列式為1600×4/5=1280米[綜合列式:1600×(1/2+3/10)或者1600×1/2+1600×3/10)]。同理,求解還有全長的幾分之幾沒有修:用1-4/5=1/5或1-1/2-3/10=1/5,再根據(jù)“求一個數(shù)的幾分之幾是多少,用乘法”原則,列式為1600×1/5=320(米)或者1600×(1-1/2-3/10)。
在小結(jié)時,通過研究對應(yīng)關(guān)系可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):“修了全長的4/5”和“修的米數(shù)”是相對應(yīng)的兩種量,所以用“全長的米數(shù)”乘以“修了全長的4/5”,就等于相對應(yīng)修的米數(shù)。同理“還有全長的1/5沒有修”和“還有多少米沒有修”也是相對應(yīng)的兩種量,所以用“全長的米數(shù)”乘以“還有全長的1/5沒有修”,就等于相對應(yīng)的還有多少米沒有修。如果教學(xué)中能夠時時注意引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這種規(guī)律,將有助于尋求更加簡單、直觀的算法進(jìn)行問題求解,促進(jìn)教學(xué)效果提升的同時,也有助于拓寬學(xué)生思維。
例2:一個工程隊要修一條鐵路,第一季度完成了全長的1/8,第二季度完成了全長的1/10,結(jié)果第一季度比第二季度多修了4千米,問這條鐵路總長有多少千米?此題教學(xué)時通常利用“求一個數(shù)的幾分之幾是多少,用乘法”原理,通過列方程形式解答:解:設(shè)這條鐵路全程為χ千米,可得:1/8×χ- 1/10×χ=4;1/40×χ=4;χ=160。在該解法中,可以發(fā)現(xiàn)1/8×χ- 1/10×χ是表示第一季度與第二季度所修的鐵路千米數(shù)之差,正是相對應(yīng)的第一季度比第二季度多修的4千米,這里體現(xiàn)了對應(yīng)關(guān)系。
此題還可以列另一個方程:χ×(1/8-1/10)=4,從中也體現(xiàn)了這種對應(yīng)關(guān)系。“全長的千米數(shù)”乘以“第一季度與第二季度所修全長的幾分之幾之差”就等于相對應(yīng)的“第一季度比第二季度多修的4千米”。這樣的教學(xué)思路和過程,學(xué)生顯然更容易理解。除此列方程解答之外,運(yùn)用算數(shù)解答,這種關(guān)系體現(xiàn)得則更加鮮明。即用“第一季度比第二季度多修的4千米”除以相對應(yīng)的“第一季度比第二季度多修全長的幾分之幾”,就等于全長的千米數(shù)(也叫作已知部分求整體,用除法)。列式為:4÷(1- 1/8- 1/10)=160(千米)。
從以上兩題解答中,巧妙地使用對應(yīng)關(guān)系,不僅使教師便于教學(xué),而且學(xué)生也更容易理解和掌握。此外,很多比例應(yīng)用題中也體現(xiàn)了對應(yīng)關(guān)系,并可以應(yīng)用同樣的思路進(jìn)行求解。
例1:少年軍校的同學(xué)進(jìn)行行訓(xùn)練,他們3小時行57千米,照這樣計算,5小時可以行多少千米?此題是典型的歸一問題,也是正比例問題。它的解題方法可以有如下4種。
方法一:用算術(shù)歸一方法,先利用題中條件“3小時行57千米”求出每小時行多少千米,也就是先求出速度為:57÷3=19(千米/時),然后再求5小時行多少千米:19×5=95(千米)。
方法二:用比例求解。解:設(shè)5小時行y千米,可得:57/3=y/5;y=57×5/3;y=95。仔細(xì)思考分析不難發(fā)現(xiàn),方程里的“57/3”和“y/5”是對應(yīng)關(guān)系。因為“57/3”表示每小時行多少千米(速度),“y/5”也表示每小時行多少千米(速度),即為同種對應(yīng)關(guān)系。又根據(jù)題目中的“照這樣計算”就是行進(jìn)速度相等,所以可應(yīng)用對應(yīng)關(guān)系列出方程。
方法三:可以列出方程3/57=5/y,因為“3/57”和“5/y”又都表示行每小時需要幾小時,所以它們也是同種對應(yīng)關(guān)系,再根據(jù)題目中的“照這樣計算”,意味著行每千米所用時間相等,因此根據(jù)對應(yīng)關(guān)系可得出所列方程。
方法四:又可以列出方程3/5=57/y,可理解為在速度不變的情況下,前后行進(jìn)所用時間之比等于相對應(yīng)所行的路程之比,此種解法同樣應(yīng)用了對應(yīng)關(guān)系。
例2:某地下午4時,一根6米高的桿子直立后,它的影長是4米,此時它的旁邊還有一根9米高的直立桿子,其影長有多少米?如果應(yīng)用算術(shù)法教學(xué),可以先求出下午4時1米高的桿子的影長有多長:4÷6,再求9米高的桿子影長有多長,列式為:4÷6×9=6(米)。由于本題又是典型的正比例關(guān)系應(yīng)用題,所以可用正比例方法求解。
解法二:設(shè)9米桿子的影長是y米,可得:6/4=9/y;y=4×9/6;y=6。分析可知,方程中的“6/4”是表示地面上1米影長的桿子物高多少米,9/y也是表示地面上1米影長的桿子物高多少米,它們在同地同時是相等的,所以是同種對應(yīng)關(guān)系。
解法三是列成如下方程:4/6=y/9;y=4×9/6;y=6。方程中的“4/6”是表示地面上1米長的桿子影長多少米,y/9也是表示地面上1米長的桿子影長多少米,它們在同地同時是相等的,所以也是同種對應(yīng)關(guān)系。
解法四是列成如下方程:6/9=4/y或9/6=y/4。即同地同時的物高之比等于相對應(yīng)的影長之比,同樣是利用的對應(yīng)關(guān)系。
例3:在一幅地圖上量得A、B兩地間的距離是4.8厘米,而它們在地面上的距離是96千米,如果甲、乙兩地相距240千米,那么它們在這幅地圖上應(yīng)該相距是多少厘米?這是比例尺問題,因為都是在同一幅地圖上,所以所應(yīng)用的比例尺是同一個。先把240千米換算成24000000厘米,96千米換算成9600000厘米,然后列方程解答。
解法一:設(shè)甲、乙兩地在這幅地圖上的距離是y厘米,可得:4. 8/9600000= y/24000000;y=4.8×24000000/9600000;y=12。本題的解答過程是根據(jù)同一幅地圖上比例尺相等的原理列出方程,即同種量對應(yīng)的關(guān)系,但在解答時,把240千米、96千米都轉(zhuǎn)換成與圖距單位統(tǒng)一的厘米單位后再進(jìn)行解答,顯然這種解法過于死板、繁瑣,而通過對應(yīng)關(guān)系,則可用下面的簡單算法進(jìn)行求解。
解法二:設(shè)甲、乙兩地在圖上的距離是y厘米,可得:4.8/96=y/240;y=4.8×240/96;y=12??梢?,解法二比解法一要簡單得多,它不要像解法一那樣將題目中的四個量進(jìn)行統(tǒng)一,而是利用“圖距統(tǒng)一,實距統(tǒng)一”,即圖距單位對應(yīng)統(tǒng)一,實距單位對應(yīng)統(tǒng)一。
總之,分?jǐn)?shù)、比例應(yīng)用題等類型數(shù)學(xué)題型的解答,是一個尋找對應(yīng)關(guān)系進(jìn)而應(yīng)用對應(yīng)關(guān)系的過程,如果能把以上對應(yīng)關(guān)系巧妙的用于實際教學(xué)中,將會對提升教師的教學(xué)效果以及學(xué)生的學(xué)習(xí)掌握程度起到積極的促進(jìn)作用。