呂慶海

當(dāng)前，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中，分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、正比例等類型題是教學(xué)工作的重點(diǎn)，所占教學(xué)比例較大，因此有必要在基本算理數(shù)學(xué)外，進(jìn)行深入的實(shí)踐應(yīng)用與總結(jié)分析，摸索出其中蘊(yùn)涵的解答規(guī)律，進(jìn)而提升教學(xué)針對(duì)性和教學(xué)效果。其中，巧用對(duì)應(yīng)關(guān)系就是解答這類題型的有效方法之一。下面從以下幾個(gè)類型題具體分析介紹。

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；例1：要修一條1600米長(zhǎng)的道路，第一周修了全長(zhǎng)的1/2，第二周又修了全長(zhǎng)的3/10，兩周一共修了多少米？還有多少米沒有修？分析思路是：要求解修了多少米，首先應(yīng)該看所修道路占了全長(zhǎng)的幾分之幾，用1/2+3/10=4/5，再根據(jù)“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法”原則，列式為1600×4/5=1280米[綜合列式：1600×（1/2+3/10）或者1600×1/2+1600×3/10）]。同理，求解還有全長(zhǎng)的幾分之幾沒有修：用1-4/5=1/5或1-1/2-3/10=1/5，再根據(jù)“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法”原則，列式為1600×1/5=320（米）或者1600×（1-1/2-3/10）。

在小結(jié)時(shí)，通過研究對(duì)應(yīng)關(guān)系可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“修了全長(zhǎng)的4/5”和“修的米數(shù)”是相對(duì)應(yīng)的兩種量，所以用“全長(zhǎng)的米數(shù)”乘以“修了全長(zhǎng)的4/5”，就等于相對(duì)應(yīng)修的米數(shù)。同理“還有全長(zhǎng)的1/5沒有修”和“還有多少米沒有修”也是相對(duì)應(yīng)的兩種量，所以用“全長(zhǎng)的米數(shù)”乘以“還有全長(zhǎng)的1/5沒有修”，就等于相對(duì)應(yīng)的還有多少米沒有修。如果教學(xué)中能夠時(shí)時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這種規(guī)律，將有助于尋求更加簡(jiǎn)單、直觀的算法進(jìn)行問題求解，促進(jìn)教學(xué)效果提升的同時(shí)，也有助于拓寬學(xué)生思維。

例2：一個(gè)工程隊(duì)要修一條鐵路，第一季度完成了全長(zhǎng)的1/8，第二季度完成了全長(zhǎng)的1/10，結(jié)果第一季度比第二季度多修了4千米，問這條鐵路總長(zhǎng)有多少千米？此題教學(xué)時(shí)通常利用“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法”原理，通過列方程形式解答：解：設(shè)這條鐵路全程為χ千米，可得：1/8×χ- 1/10×χ=4；1/40×χ=4；χ=160。在該解法中，可以發(fā)現(xiàn)1/8×χ- 1/10×χ是表示第一季度與第二季度所修的鐵路千米數(shù)之差，正是相對(duì)應(yīng)的第一季度比第二季度多修的4千米，這里體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)關(guān)系。

此題還可以列另一個(gè)方程：χ×（1/8-1/10）=4，從中也體現(xiàn)了這種對(duì)應(yīng)關(guān)系?！叭L(zhǎng)的千米數(shù)”乘以“第一季度與第二季度所修全長(zhǎng)的幾分之幾之差”就等于相對(duì)應(yīng)的“第一季度比第二季度多修的4千米”。這樣的教學(xué)思路和過程，學(xué)生顯然更容易理解。除此列方程解答之外，運(yùn)用算數(shù)解答，這種關(guān)系體現(xiàn)得則更加鮮明。即用“第一季度比第二季度多修的4千米”除以相對(duì)應(yīng)的“第一季度比第二季度多修全長(zhǎng)的幾分之幾”，就等于全長(zhǎng)的千米數(shù)（也叫作已知部分求整體，用除法）。列式為：4÷（1- 1/8- 1/10）=160（千米）。

從以上兩題解答中，巧妙地使用對(duì)應(yīng)關(guān)系，不僅使教師便于教學(xué)，而且學(xué)生也更容易理解和掌握。此外，很多比例應(yīng)用題中也體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)關(guān)系，并可以應(yīng)用同樣的思路進(jìn)行求解。

例1：少年軍校的同學(xué)進(jìn)行行訓(xùn)練，他們3小時(shí)行57千米，照這樣計(jì)算，5小時(shí)可以行多少千米？此題是典型的歸一問題，也是正比例問題。它的解題方法可以有如下4種。

方法一：用算術(shù)歸一方法，先利用題中條件“3小時(shí)行57千米”求出每小時(shí)行多少千米，也就是先求出速度為：57÷3=19（千米/時(shí)），然后再求5小時(shí)行多少千米：19×5=95（千米）。

方法二：用比例求解。解：設(shè)5小時(shí)行y千米，可得：57/3=y/5；y=57×5/3；y=95。仔細(xì)思考分析不難發(fā)現(xiàn)，方程里的“57/3”和“y/5”是對(duì)應(yīng)關(guān)系。因?yàn)椤?7/3”表示每小時(shí)行多少千米（速度），“y/5”也表示每小時(shí)行多少千米（速度），即為同種對(duì)應(yīng)關(guān)系。又根據(jù)題目中的“照這樣計(jì)算”就是行進(jìn)速度相等，所以可應(yīng)用對(duì)應(yīng)關(guān)系列出方程。

方法三：可以列出方程3/57=5/y，因?yàn)椤?/57”和“5/y”又都表示行每小時(shí)需要幾小時(shí)，所以它們也是同種對(duì)應(yīng)關(guān)系，再根據(jù)題目中的“照這樣計(jì)算”，意味著行每千米所用時(shí)間相等，因此根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系可得出所列方程。

方法四：又可以列出方程3/5=57/y，可理解為在速度不變的情況下，前后行進(jìn)所用時(shí)間之比等于相對(duì)應(yīng)所行的路程之比，此種解法同樣應(yīng)用了對(duì)應(yīng)關(guān)系。

例2：某地下午4時(shí)，一根6米高的桿子直立后，它的影長(zhǎng)是4米，此時(shí)它的旁邊還有一根9米高的直立桿子，其影長(zhǎng)有多少米？如果應(yīng)用算術(shù)法教學(xué)，可以先求出下午4時(shí)1米高的桿子的影長(zhǎng)有多長(zhǎng)：4÷6，再求9米高的桿子影長(zhǎng)有多長(zhǎng)，列式為：4÷6×9=6（米）。由于本題又是典型的正比例關(guān)系應(yīng)用題，所以可用正比例方法求解。

解法二：設(shè)9米桿子的影長(zhǎng)是y米，可得：6/4=9/y；y=4×9/6；y=6。分析可知，方程中的“6/4”是表示地面上1米影長(zhǎng)的桿子物高多少米，9/y也是表示地面上1米影長(zhǎng)的桿子物高多少米，它們?cè)谕赝瑫r(shí)是相等的，所以是同種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

解法三是列成如下方程：4/6=y/9；y=4×9/6；y=6。方程中的“4/6”是表示地面上1米長(zhǎng)的桿子影長(zhǎng)多少米，y/9也是表示地面上1米長(zhǎng)的桿子影長(zhǎng)多少米，它們?cè)谕赝瑫r(shí)是相等的，所以也是同種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

解法四是列成如下方程：6/9=4/y或9/6=y/4。即同地同時(shí)的物高之比等于相對(duì)應(yīng)的影長(zhǎng)之比，同樣是利用的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

例3：在一幅地圖上量得A、B兩地間的距離是4.8厘米，而它們?cè)诘孛嫔系木嚯x是96千米，如果甲、乙兩地相距240千米，那么它們?cè)谶@幅地圖上應(yīng)該相距是多少厘米？這是比例尺問題，因?yàn)槎际窃谕环貓D上，所以所應(yīng)用的比例尺是同一個(gè)。先把240千米換算成24000000厘米，96千米換算成9600000厘米，然后列方程解答。

解法一：設(shè)甲、乙兩地在這幅地圖上的距離是y厘米，可得：4. 8/9600000= y/24000000；y=4.8×24000000/9600000；y=12。本題的解答過程是根據(jù)同一幅地圖上比例尺相等的原理列出方程，即同種量對(duì)應(yīng)的關(guān)系，但在解答時(shí)，把240千米、96千米都轉(zhuǎn)換成與圖距單位統(tǒng)一的厘米單位后再進(jìn)行解答，顯然這種解法過于死板、繁瑣，而通過對(duì)應(yīng)關(guān)系，則可用下面的簡(jiǎn)單算法進(jìn)行求解。

解法二：設(shè)甲、乙兩地在圖上的距離是y厘米，可得：4.8/96=y/240；y=4.8×240/96；y=12。可見，解法二比解法一要簡(jiǎn)單得多，它不要像解法一那樣將題目中的四個(gè)量進(jìn)行統(tǒng)一，而是利用“圖距統(tǒng)一，實(shí)距統(tǒng)一”，即圖距單位對(duì)應(yīng)統(tǒng)一，實(shí)距單位對(duì)應(yīng)統(tǒng)一。

總之，分?jǐn)?shù)、比例應(yīng)用題等類型數(shù)學(xué)題型的解答，是一個(gè)尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)而應(yīng)用對(duì)應(yīng)關(guān)系的過程，如果能把以上對(duì)應(yīng)關(guān)系巧妙的用于實(shí)際教學(xué)中，將會(huì)對(duì)提升教師的教學(xué)效果以及學(xué)生的學(xué)習(xí)掌握程度起到積極的促進(jìn)作用。