吳淑家

【中圖分類號】TM935.46+2 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）07-0051-01

小學(xué)數(shù)學(xué)一年級在教學(xué)撥計數(shù)器時，對于它的每個數(shù)位上是否能超過10顆珠子？教師有兩種不同的意見：一種認(rèn)為不能的，理由是（以個位為例）當(dāng)數(shù)疊加到10時，就成了兩位數(shù)，十位上是1，個位上是0，而個位只能表示一位數(shù)，最大的一位數(shù)是9，所以各數(shù)位上最多只能撥9顆珠，否則滿了十就增多了一個位數(shù)。另一種認(rèn)為能的，理由10即表示1個十，也可以表示10個一，1個十就是在十位上撥1顆珠，10個一就是在個位上撥10顆珠。以此類推，如21即可以表示2個十和1個一，也可以表示21個一，即個位可以撥21顆珠，所以每個數(shù)位上撥的珠可以超過10顆。兩種不同的觀點衍生出兩種不同的計數(shù)器，前一種觀點的老師在教學(xué)中使用“封閉式”計數(shù)器（每個數(shù)位是封閉的，最多只能撥10顆珠），后一種觀點的老師采用的是“開放式”計數(shù)器（每個數(shù)位是開放的，雖然棍子有長短，但可以通過畫圖的方式無限延長）。哪種計數(shù)器能更好地輔助教學(xué)，促進學(xué)生的發(fā)展呢？

下面以北師大版一年級下冊第 68頁的兩位數(shù)加一位數(shù)（進位加法）為例，圍繞算式28+4等于幾？進行計數(shù)器教學(xué)實踐，通過對比，引發(fā)思考。

28+4等于幾？

1、借助小棒計算

2、借助計數(shù)器計算 “封閉式”計數(shù)器（每個數(shù)位是封閉的，最多只能撥10顆珠）撥法，最后結(jié)果呈現(xiàn)：

課中巡視了解學(xué)生的想法：你是怎么撥的？

生1：先撥28，個位上不夠4顆珠，先撥2顆珠，再將10顆珠換成十位上1顆珠，最后在個位上再撥2顆珠。（只有個別同學(xué)能說出此種方法）

生2：先撥出28，再在十位上撥1顆珠，個位上撥去6顆，讓它剩下2顆珠。（注：孩子認(rèn)為個位上8+4=12，就在十位上撥1，個位上撥2。也有個別同學(xué)想法是：6和4湊成10，滿十進一。）

生3：個位上是8+4=12，先撥12，再加上20就是32。

生4：28+4=32就在十位上撥3，個位上撥2。

生5：老師，沒辦法撥，因為個位上要加4，它只剩下2顆珠。 “開放式”計數(shù)器（每個數(shù)位是開放的，雖然棍子有長短，但可以通過畫圖的方式無限延長）撥法，最后結(jié)果呈現(xiàn)：

課中巡視了解學(xué)生的想法：你是怎么撥的？

生1：先撥28，加上4，就是加上4個一，在個位上再撥4顆珠就行了。（如圖1）

生2：先撥28，再在個位上加上4顆珠，個位上的珠子超過了10顆，就可以換成十位上的1顆，就是32了。（如圖2）

3、借助豎式計算

一、化抽象為具體，再現(xiàn)知識發(fā)展過程。

最早數(shù)的產(chǎn)生是“相同的物、結(jié)繩、圖形符號”的簡單疊加。隨著社會的發(fā)展，數(shù)越來越大，出現(xiàn)了用“大小物、圖形符號”來表示大小數(shù)，當(dāng)這些都無法滿足生產(chǎn)生活需求時，出現(xiàn)了阿拉伯?dāng)?shù)字和位值制，利用0-9這10個數(shù)字放在不同的數(shù)位上表示不同數(shù)量多少， “數(shù)”逐漸抽象化。而計數(shù)器最大的特點就是如同“還原精靈”一般，能把抽象的“數(shù)”的內(nèi)涵“還原”，具體化。它在數(shù)學(xué)計算教學(xué)中的作用之一就是使那些看不見摸不著的算理算法，借助撥珠鮮活地再現(xiàn)出來，使我們直觀地感受知識的發(fā)展過程。 上面兩種計數(shù)器，哪一種才能真正發(fā)揮其優(yōu)勢呢？

“28+4”這兩個數(shù)的合并，并不是隨意疊加，是有規(guī)矩的，只能將相同的計數(shù)單位進行相加。 “封閉式”計數(shù)器呈現(xiàn)的計算過程是：8+2=10，10+20=30，0+2=2，30+2=32。個位上的8個一與4個一的簡單疊加被復(fù)雜化，4個一被強制分成兩次加，在個位加上2個珠時，插入了十位上2+1=3，接著又返回個位上加上2顆珠，個位與十位的穿插加，如同一個書包雜亂地堆放著各種書，混淆學(xué)生的思維。

“開放式”計數(shù)器，由于各數(shù)位上的珠子數(shù)量無限制，它能將算理與算法借助撥珠形象地展示出來：怎樣撥28，為什么在十位上撥2，在個位上撥8，它們各表示什么意思，加4要怎么撥，為什么？學(xué)生邊撥珠邊理解數(shù)的意義，借助動作直觀體驗到個位上是表示一個一個數(shù)的，“8”和“4”表示的意義一樣，“4”應(yīng)該和“8”放在一起，個位上8顆珠子與4顆珠子可以進行簡單疊加（即將相同數(shù)數(shù)單位相加）。在這個過程，之于學(xué)生是沒有任何阻礙，它將抽象的語言、符號借助直觀形象地動作表征方式再現(xiàn)出來，將“理”與“法”回歸最原始的“疊加”狀態(tài)，并有機地結(jié)合在一起，順應(yīng)知識的發(fā)展過程，符合學(xué)生思維的發(fā)展特點，同時體現(xiàn)加法的本質(zhì)特點。

二、化繁為簡，打通知識關(guān)節(jié)。

計數(shù)器在數(shù)學(xué)計算教學(xué)中的作用之二就是它有完整的位值制，能利用小小的珠子再次演繹數(shù)由少到多，由繁到簡的過程，以此打通知識“關(guān)節(jié)”，引發(fā)學(xué)生思考，促進思維的發(fā)展。

以上兩種計數(shù)器，在使用過程中出現(xiàn)明顯不同的成效。在計算“28+4”時，表示將兩部分合并成一部分，也就是將兩部分進行疊加，數(shù)量由少變多，主要“關(guān)節(jié)”是“滿十進一”。

“封閉式”計數(shù)器采用強制性的方法：數(shù)位上如果滿十必須先向前一位進一，不進一就不能繼續(xù)算。因此，撥的過程中要想：個位8能與幾湊成10，4要分成幾和幾，個位滿十進一后還要再撥幾？低年級的孩子以短時記憶為主，一系列的思維活動，即使有計數(shù)器作為依托，但腦海中要有序地進行分析、思考這些問題，難度還是很大，他們經(jīng)常撥了前面的忘了后面的，尤其對于中差生，這時的計數(shù)器之于他們不是學(xué)習(xí)的助手，而是高難度的學(xué)習(xí)內(nèi)容。他們無從下手，怎么辦？于是他們有的用已經(jīng)會的其它方法把算出來的結(jié)果在計數(shù)器上撥出結(jié)果；有的把個位的8顆珠撥掉向十位進一后，接著就不知道怎么撥了；有的則是先算出8+4=12后，直接在計數(shù)器上撥出32……計數(shù)器在這個過程中成了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，失去其輔助的功能。

“開放式”計數(shù)器，由于各個數(shù)位上的珠子可以無限疊加，就如同“結(jié)繩計數(shù)”，珠子就是那些“繩結(jié)”，當(dāng)孩子們明白了相同數(shù)數(shù)單位放一起的道理后，就在相同數(shù)位上進行簡單疊加（如上表），中差生撥珠后呈現(xiàn)的最后結(jié)果（如圖1），優(yōu)生則在疊加后能進行優(yōu)化，“滿十進一”后呈現(xiàn)最優(yōu)的結(jié)果（如圖2）。這種計數(shù)器讓每個孩子都有的放矢。他們在珠子累計的過程中，感受數(shù)由小變大，由簡單變復(fù)雜了（如圖1），激發(fā)學(xué)生去改進數(shù)，“這么多珠子數(shù)起來很麻煩，怎樣才能讓人一眼就看出是多少呢？”“可以把個位上的10顆珠子捆成1捆（受到捆小棒的啟發(fā)），換成十位上的1顆珠子” （如圖2）。這時候的“滿十進一”不是老師逼迫孩子必須這么做，而是學(xué)生不滿足現(xiàn)狀的改良，這是數(shù)位產(chǎn)生的原因，同時也是數(shù)發(fā)展的必經(jīng)過程。

“封閉式”計數(shù)器采用是強迫式，壓制式的的手法“加塞關(guān)節(jié)”，反而讓學(xué)生感到計數(shù)器好難，計算好難?！伴_放式”則充分地發(fā)揮計數(shù)器的優(yōu)勢，以珠子的簡單疊加為基礎(chǔ)，由少增多，產(chǎn)生視覺與思維地矛盾沖突，產(chǎn)生要簡化的需求，再化繁為簡，以此疏通關(guān)節(jié)，這時的“滿十進一”是可以看到、摸到、想到，可以理解、接受、運用的。

三、化零為整，形成知識脈絡(luò)。

任何知識都不是孤立存在的，它既有生命實踐活動的現(xiàn)實基礎(chǔ)，同時也與其他知識之間相互關(guān)聯(lián)。在教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和把握知識之間內(nèi)在的共通性與互補性，不僅可以使學(xué)生形成整體和系統(tǒng)的知識觀，更好地整體把握知識，而且還可以使學(xué)生實現(xiàn)知識的融會貫通，真正地內(nèi)化和靈活運用知識。

計算28+4的過程中，教師借助具體的小棒操作（如圖3）→在指定的標(biāo)有數(shù)學(xué)元素的“數(shù)位表”計數(shù)器撥珠→抽象的數(shù)字符號豎式計算（如圖4），層層深入，由易到難，由具體操作水平向抽象邏輯水平發(fā)展。這三種方法既是獨立的存在，又有本質(zhì)共性。當(dāng)學(xué)生根據(jù)各自的知識水平選擇其中一種方法解決28+4=32時，并不是教學(xué)的結(jié)束，而是剛剛進入教學(xué)重點：

師：“這三種方法有什么相同的地方”？

生1：它們都是在算28+4。

生2：它們都是把相同數(shù)數(shù)單位進行相加，也就是都是把8+4。（讓學(xué)生上臺指出三種方法的8+4在哪）

生3：它們都有滿十進一。

師：誰來介紹一下擺小棒、撥計數(shù)器、豎式計算，它們的滿十進一都在哪？

生上臺指，老師引導(dǎo)學(xué)生把小棒中長方形方框里圈起來的10根換成1捆，把計數(shù)器（圖1）中個位上的10顆珠換成十位上1顆珠（變成圖2），并讓學(xué)生指出這小棒中的1捆和計數(shù)器十位上的1顆珠在豎式計算的哪里？

師：看來，這三種方法的“樣子”長得不一樣，但是它們表示的意義是……（一樣的）

擺小棒、撥計數(shù)器、豎式計算都可以單獨解決“28+4等于幾”這個問題，它們又同時體現(xiàn)相同的運算方法和算理：相同數(shù)位相加，滿十進一。然而“封閉式”計數(shù)器在此與小棒和豎式的聯(lián)系卻不緊密，它的“滿十進一”是在逼迫下的一個短暫停留的過程，而“開放式”計數(shù)器的撥算方法卻可以與其它兩種方法形成一個整體。經(jīng)過上下溝通后，原來只是零散的作為計算輔助工具的各種方法，卻緊緊圍繞著加法運算的本質(zhì)特征展開，學(xué)生的學(xué)習(xí)也由“選擇一種你喜歡的方法進行計算”發(fā)展為：教師指定一種方法，他們可以隨心所欲用相通的算理進行解決。

綜上所述，開放了計數(shù)器就如同疏通了知識的脈絡(luò)，學(xué)生從僅僅對知識掌握的關(guān)注到對其背后的過程形態(tài)知識的關(guān)注，從僅僅對散點知識的關(guān)注到對其背后的關(guān)系形態(tài)的關(guān)注，形成了知識由具體到抽象、由局部到整體、由過程到結(jié)果的提升，這樣的教學(xué)才是以培養(yǎng)人的生命自覺為目的，致力于每一個學(xué)生發(fā)展的教學(xué)。[1]

參考文獻：

[1]吳亞萍著：《中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課型研究》，福建教育出版社，2014.10