文︳史沛良

談格點多邊形面積的教學(xué)

文︳史沛良

格點多邊形是指每個頂點都是直角坐標(biāo)平面上的格點的多邊形（如圖1所示）。關(guān)于格點多邊形的面積，有如下的結(jié)論：

圖1

Pick定理：如果一個面積為S的格點多邊形，其邊界上有a個格點，內(nèi)部有b個格點，則S＝＋b－1。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級上冊中編排了有關(guān)格點多邊形的面積問題（如圖2所示）。

圖2

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中研究這個問題，其方法只能是不完全歸納，即從簡單的特例出發(fā)，尋找一般的規(guī)律。由于Pick定理比較復(fù)雜，小學(xué)生不可能像真正的科學(xué)研究那樣把這個結(jié)論發(fā)現(xiàn)出來，而是需要適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。

首先，教材應(yīng)該直接指出，我們要研究的格點多邊形面積計算方法，與這個多邊形內(nèi)部的格點數(shù)及邊界上的格點數(shù)有關(guān)。蘇教版教材并沒有按這個思路編排，而是通過對三個小問題的研究逐步揭示問題——先讓學(xué)生研究如圖2所示的問題，得到結(jié)論后，再研究內(nèi)部有2個點的問題，然后提出一般問題（如圖3所示）。

圖3

這個做法有一個不好的地方：學(xué)生沒有機會主動研究一個完整的問題，而是被動地研究被肢解了的問題。這里的一個完整的問題就是：格點多邊形的面積與其內(nèi)部的格點數(shù)、邊界上的格點數(shù)有什么關(guān)系。

其次，應(yīng)對學(xué)生進(jìn)行解決問題的思路的指導(dǎo)。在這里，解決問題的思路包括兩個方面的意義：一是從簡單到復(fù)雜，二是分離變量。前者是我們非常熟悉的，在此，筆者著重談?wù)労笳摺?/p>

格點多邊形的面積計算與兩個因素有關(guān)，為了研究方便，我們應(yīng)該先固定一個因素，研究面積與另一個因素的關(guān)系。這種方法很重要，應(yīng)該向?qū)W生介紹。當(dāng)學(xué)生認(rèn)同這種思路后（學(xué)生很容易認(rèn)同這種思路，畢竟從某種意義上來說，這也是一種從簡單到復(fù)雜的思路），教師就應(yīng)該讓學(xué)生主動設(shè)計研究思路：是先固定內(nèi)部的點還是先固定外部的點？若是先固定內(nèi)部的點，最開始應(yīng)該研究內(nèi)部為幾個點的情況？若是先固定外部的點，又如何？這樣的問題，學(xué)生不一定能獨立解決，但教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生思考，直到制訂出解決問題的基本方案，然后才著手探究。

第三，探究過程應(yīng)該是系統(tǒng)化的。以先固定內(nèi)部的點數(shù)為例，所謂系統(tǒng)化，在這里表現(xiàn)為兩個方面：第一個方面，我們應(yīng)該從內(nèi)部點數(shù)最少的情況開始研究，逐一增加內(nèi)部點數(shù)，即從內(nèi)部點數(shù)為0開始，相繼研究內(nèi)部點數(shù)為1、2、3……的情況，以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律；第二個方面，對于確定的內(nèi)部點數(shù)的問題，邊界上的點數(shù)也應(yīng)該系統(tǒng)地變化，從最少的情況開始，逐一增加。

內(nèi)部0個點，邊界上至少3個點。邊界上的點逐一增加（如圖4所示），面積分別為不難發(fā)現(xiàn)，每增加一個邊界上的點，面積增加或者說，邊界上的一個點貢獻(xiàn)面積個單位。對于邊界上有a個點而內(nèi)部沒有點的情況，面積S=

圖4

內(nèi)部1個點，邊界上至少4個點。邊界上的點逐一增加（如圖5所示），通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)圖形的面積依次增加，進(jìn)一步確定：邊界上的一個點貢獻(xiàn)面積個單位。并歸納出，對于邊界上有a個點、內(nèi)部1個點的情況，面積。在此基礎(chǔ)上，我們可一方面繼續(xù)增加內(nèi)部的點數(shù)，一方面比較當(dāng)邊界上的點數(shù)相同時，內(nèi)部的點數(shù)變化與面積變化的關(guān)系，繼而歸納出Pick定理。

圖5

（作者單位：長沙縣龍?zhí)列W(xué)）