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由一道習(xí)題引出的思考

江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校(221300)劉步松

最近輔導(dǎo)學(xué)生，被問到這樣一道題：

圖1 圖2

證明并不難，但筆者想，這個(gè)題目也可以作如下表述：

如此，就容易聯(lián)想：這是4個(gè)點(diǎn)的情況，如果是3個(gè)點(diǎn)、5個(gè)點(diǎn)，甚至任意n個(gè)點(diǎn)的情況，有沒有類似的結(jié)論呢？如果有的話這個(gè)定值又是多少呢？即可以作如下猜想：

圖3

A2(OA2cos(θ+α)，OA2sin(θ+α))，

A3(OA3cos(θ+2α)，OA3sin(θ+2α))，

……

An(OAncos(θ+(n-1)α)，OAnsin(θ+(n-1)α)).

把這n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得

(1).

(2).

的α換成2α便可得到

這就證明了橢圓的這一優(yōu)美性質(zhì).