張曉麗

摘要：從圓形區(qū)域勻強磁場邊界上同一點入射的帶電粒子束，經(jīng)圓形勻強磁場偏轉(zhuǎn)后轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫械膸щ娏Ｗ邮?，該現(xiàn)象的逆過程就是通常所說的磁聚焦.文章首先運用中學(xué)數(shù)學(xué)知識推導(dǎo)出射角的余弦隨入射角變化的函數(shù)表達式.根據(jù)該表達式討論得出：粒子做勻速圓周運動的半徑r與圓形磁場區(qū)域半徑不相等時出射角α的范圍，兩半徑相等時出射角為90°的結(jié)論.目的在于使人們認識到磁聚焦及其逆過程只是磁偏轉(zhuǎn)在某些條件下的特定結(jié)果，提升對這一問題的認識.

關(guān)鍵詞：圓形區(qū)域勻強磁場；入射角；出射角；入射速度；出射速度

1一般性分析

在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)，存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，從磁場邊界上的點O向各個方向發(fā)射完全相同的帶電粒子，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，粒子速度的大小均為v.為方便起見，以O(shè)為坐標原點，通過O點圓形磁場區(qū)域，直徑OA方向為x軸正方向建立直角坐標系.從O點沿任意方向發(fā)射的一個帶電粒子，速度方向與x軸正向成θ角為入射角，圓形磁場區(qū)域和粒子的運動軌跡如圖1所示，粒子做勻速圓周運動的半徑為r，磁場區(qū)域圓心和粒子做勻速圓周運動軌跡的圓心分別為O1、O2，出射點為B，出射速度的反向延長線與x軸交于C點 ，出磁場速度方向與x正向成α角為出射角，∠BOC=β，∠OBC=r.粒子受洛倫茲力作用做勻速圓周運動，有

Bqv=mv2r

解得r=mvBq

由圖1可知：

OB=2Rcosβ

OB=2rcos（90°-θ-β）=2rsin（θ+β）

由此可得：

2Rcosβ=2rsin（θ+β）

運用兩角和的正弦公式，得

2Rcosβ=2r（sinθcosβ+cosθsinβ）

兩邊同除以2cosβ，解得

tanβ=R-rsinθrcosθ

又由圖看出：

γ=90°-（90°-θ-β）=θ+β

所以，出射速度與x軸正向成的角

α=β+γ=θ+2β

根據(jù)三角函數(shù)中的萬能公式，得

sin2β=2tanβ1+tan2β=2R-rsinθrcosθ1+R-rsinθrcosθ2

=2rcosθ（R-rsinθ）r2+R2-2Rrsinθ（1）

cos2β=1-tan2θ1+tan2θ=

r2cos2θ-R2-r2sin2θ+2Rrsinθr2+R2-2Rrsinθ（2）

根據(jù)兩角和的余弦公式，得

cosα=cos（θ+2β）=cosθcos2β-sinθsin2β（3）

將（1）、（2）兩式代入（3）式，得

cosα=cosθr2cos2θ-R2-r2sin2θ+2Rrsinθr2+R2-2Rrsinθ

-sinθ2rcosθ（R-rsinθ）r2+R2-2Rrsinθ

對上式化簡，得

cosα=（r2-R2）cosθR2+r2-2Rrsinθ（4）

將cosα對θ角求導(dǎo)數(shù)，得

（cosα）′θ=（r2-R2）（-sinθ）（R2+r2-2Rrsinθ）（R2+r2-2Rrsinθ）2

-（r2-R2）cosθ（-2Rrcosθ）（R2+r2-2Rrsinθ）2

化簡，得

（cosα）′θ=（r2-R2）[2Rr-（R2+r2）sinθ]（R2+r2-2Rrsinθ）2（5）

粒子進入磁場的入射角θ的范圍：-90°≤θ≤90°.

由（4）式可以看出：當r≠R時，出射角α隨入射角θ的變化而變化，入射角θ不同的粒子，出射方向不同，帶電粒子離開磁場時仍是沿各方向運動的，不過由于粒子做勻速圓周運動軌跡半徑r的不同出射角α所在的范圍不同，下面分情況討論.

11r﹤R的情況

當r0，（cosα）′θ<0，隨θ角的增大，cosα減小，出射角α增大；當sinθ>2RrR2+r2時，2Rr-（R2+r2）sinθ<0，（cosα）′θ>0，隨θ角的增大，cosα增大，α減小.

12r>R的情況

當r>R時，根據(jù)（4）式，無論入射角θ多大，因為R2+r2-2Rrsinθ>0，cosθ≥0得到cosα≥0，α≤90°，粒子在磁場邊界上向右上方射出.根據(jù)（5）式，當sinθ<2RrR2+r2時，2Rr-（R2+r2）sinθ>0，（cosα）′θ>0，隨θ角的增大，cosα增大，出射角α減?。划攕inθ>2RrR2+r2時，2Rr-（R2+r2）sinθ<0，（cosα）′θ<0， 隨θ角的增大，cosα減小，α增大.

r=R的情況完全不同于前面兩種情形.

2非常有意思的r=R的特殊情況

r=R也就是帶電粒子做勻速圓周運動的軌跡半徑等于圓形勻強磁場區(qū)域的半徑時，由（4）式可以知道： 無論入射角θ多大，因為r=R，總有cosα=0，于是α=90°，這說明所有的帶電粒子到達磁場邊界時出射角都相同，都垂直于圓形磁場區(qū)域過入射點的直徑，發(fā)散的帶電粒子束通過磁場偏轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫械膸щ娏Ｗ邮?，但入射角θ不同的粒子出磁場時速度方向的偏轉(zhuǎn)角仍然是不相同的.

這種情況如圖2所示.證明如下：∵ r=R，∴ OO1=O1B=O2B=OO2=R，因而四邊形OO1BO2是菱形，出射速度V垂直于粒子勻速圓周運動軌跡半徑O2B，而O2B∥OA，出射速度V當然也就垂直x軸了.

同樣地，一束完全相同的帶電粒子平行入射到一個圓形勻強磁場區(qū)域的邊界上，各粒子速度的大小相同，粒子受洛倫茲力做勻速圓周運動發(fā)生偏轉(zhuǎn)，如果粒子做圓周運動的軌跡半徑r等于圓形磁場區(qū)域半徑R，所有粒子偏轉(zhuǎn)后的軌跡將通過磁場邊界上的同一點.這一問題是上面的問題的逆過程.