王夢影,顧菊觀,徐海斌,曹炳松,俞軼帆

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

在《光學(xué)》[1]和《光學(xué)實(shí)驗(yàn)》教材[2]中,對三棱鏡的討論都是針對等邊三棱鏡及其在空氣中偏向角、最小偏向角與入射角的關(guān)系.在實(shí)驗(yàn)和教學(xué)過程中,教師和學(xué)生很難從理論上解釋偏向角與入射角的關(guān)系曲線,也很難從光線傳播軌跡上進(jìn)行分析.文獻(xiàn)[3]研究了空氣中等邊三棱鏡入射角、棱鏡頂角、折射率的變化對偏向角的影響.文獻(xiàn)[4]討論了空氣中等邊三棱鏡偏向角與入射角、棱鏡折射率的關(guān)系,以及最小偏向角與頂角、折射率的關(guān)系.文獻(xiàn)[5]探討了空氣中等邊三棱鏡偏向角與入射角的關(guān)系,并得到其最小入射角.文獻(xiàn)[6]研究了空氣中等邊三棱鏡偏向角與入射角的關(guān)系,以及最小入射角與棱鏡頂角、折射率的關(guān)系.文獻(xiàn)[7]討論了空氣中等邊三棱鏡偏向角與入射角的關(guān)系,得到測量偏向角需要考慮棱鏡頂角、折射率、入射角和入射點(diǎn)等因素.文獻(xiàn)[8]通過推導(dǎo)得到了一般三棱鏡的最小入射角、最大頂角和折射率要求.文獻(xiàn)[9]討論了影響棱鏡頂角和最小偏向角測量的因素.文獻(xiàn)[10]和[11]分析討論了空氣中三棱鏡折射率、入射角的測量方法,以及測量中的入射點(diǎn)問題.以上教材和文獻(xiàn)都沒有對曲線的各部分進(jìn)行理論分析和光路模擬分析,也沒有對一般三棱鏡的具體情況進(jìn)行分析討論.本文應(yīng)用幾何光學(xué)原理,得到在頂角、兩側(cè)折射率和自身折射率不同的情況下,一般三棱鏡偏向角和最小偏向角的理論公式,并運(yùn)用Matlab研究偏向角與入射角的關(guān)系曲線,以及運(yùn)用TracePro模擬光線傳播分析討論關(guān)系曲線和光線軌跡,觀察入射角、頂角和折射率變化對出射光線出射的影響.

1 理論分析

1.1 偏向角與入射角、出射角、頂角的關(guān)系

一般三棱鏡的光路示意圖見圖1.A、B、C為三棱鏡的三個角,A為頂角,B、C為底角.i1為AB面的入射角,r1為AB面入射角i1對應(yīng)的折射角,O點(diǎn)為AB面的入射點(diǎn).r2為AC面的入射角,i2為AC面入射角r2對應(yīng)的出射角,E點(diǎn)為AC面上的入射點(diǎn).θ為出射光線與入射光線的夾角,即偏向角.α為AB面法線與AC面法線的夾角,兩法線交點(diǎn)為F點(diǎn).n2為三棱鏡的折射率,n1、n3分別為棱鏡兩側(cè)的折射率.

圖1 一般三棱鏡的光路示意圖

由圖1和幾何關(guān)系得:

r1+r2=A.

(1)

偏向角θ為AB面的入射光線經(jīng)AB面折射和AC面折射對應(yīng)的出射光線,以銳角逆時針轉(zhuǎn)至入射光線延長線所對應(yīng)的夾角,且為正值[1-11].偏向角θ與入射角、出射角、頂角的關(guān)系為:

θ=(i1-r1)+(i2-r2)=i1+i2-(r1+r2)=i1+i2-A.

(2)

由此可得,偏向角θ與B、C角沒有關(guān)系,而與入射角、出射角和頂角有關(guān).該結(jié)果與空氣中等邊三棱鏡的研究結(jié)果[1,3,5-7]一致.

1.2 偏向角與入射角、頂角的關(guān)系

由式(1)、式(2)和折射定律式(3):

(3)

化簡得:

(4)

將式(4)代入式(2),得偏向角與入射角、頂角的關(guān)系:

(5)

式(5)表明了一般三棱鏡的偏向角θ與入射角i1、頂角A,以及折射率n1、n2、n3的關(guān)系,說明偏向角θ與折射率n1、n2、n3是有關(guān)系的,測量偏向角時需要選擇合適的入射角、頂角和折射率.

1.3 最小入射角與最大頂角的關(guān)系

文獻(xiàn)[8]通過討論得到了最小入射角i1min、最大頂角Amax和折射率要求,即:

ICP-OES法同時測定煅爐甘石中氧化鋅及13種金屬元素雜質(zhì)的含量 ……………………………………… 謝 凱等（16）：2179

(6)

(7)

折射率要求:

n1n3.

(8)

式(6)指在給定折射率和棱鏡頂角時,當(dāng)AC面產(chǎn)生全反射時AB面對應(yīng)的最小入射角i1min,即若要在AC面觀察到折射光線(出射光線),則對應(yīng)AB面的入射角應(yīng)大于最小入射角i1min.式(7)指在給定折射率時,若要在AC面觀察到折射光線(出射光線),則對應(yīng)的棱鏡頂角必須小于最大棱鏡頂角Amax.式(8)指在AC面觀察到折射光線(出射光線)且偏向角為銳角正值的情況下,對應(yīng)的折射率關(guān)系為棱鏡的折射率必須大于兩側(cè)的折射率.

1.4 最小偏向角與入射角的關(guān)系

對式(2)兩端的i1進(jìn)行求導(dǎo),得:

(9)

(10)

對式(1)求微分,得:

dr1+dr2=0.

(11)

對式(3)求微分并化簡,將式(10)和式(11)代入式(3),得:

(12)

將式(12)平方后,得:

(13)

(14)

將式(3)平方后,代入式(14)化簡,得:

(15)

當(dāng)n1=n3=1時,式(14)可化簡為sini1=sini2,則i1=i2,與空氣中等邊三棱鏡最小偏向角的條件[1-2,6-7,10-11]相同.

由式(15)可得:

(16)

將式(16)代入式(2),得到最小偏向角:

(17)

式(17)中的θmin是滿足一定入射角[式(16)出射角對應(yīng)的入射角]時對應(yīng)的最小偏向角.式(17)說明最小偏向角θmin與三棱鏡的底角B、C無關(guān),而與入射角i1、頂角A,以及棱鏡的折射率n2、兩側(cè)的折射率n1、n3有關(guān).

2 偏向角與入射角的關(guān)系曲線和模擬光路

當(dāng)給定棱鏡折射率、兩側(cè)折射率和棱鏡頂角時,偏向角θ與入射角i1的關(guān)系由式(5)確定.但要考慮對應(yīng)的最小入射角i1min和棱鏡最大頂角Amax[4-8],才能直觀正確地得到關(guān)系曲線,才能在AC面觀察到出射光線.由式(6)可得到給定棱鏡的最小入射角i1min,由式(7)可得到給定棱鏡的最大頂角Amax.

2.1 n1=1,n2=1.647 5,n3=1,A=60°,Amax=74.743 0°

圖2中偏向角與入射角的關(guān)系曲線與文獻(xiàn)[3-6]中的關(guān)系曲線相似,其中直線部分對應(yīng)的是AC面發(fā)生全反射的情況.圖3、圖4中的D點(diǎn)是指棱鏡內(nèi)的折射光線(粗的黑線)剛好入射到棱鏡的C點(diǎn)所對應(yīng)的入射點(diǎn).D點(diǎn)和BD區(qū)間內(nèi)的入射光線經(jīng)BC面反射,再經(jīng)AC面折射,在AC面觀察到出射光線,此時偏向角不是文獻(xiàn)[1-5,7-8,11]及本文所定義的偏向角;D點(diǎn)和BD之間的區(qū)域大小與入射角、折射率、頂角有關(guān),關(guān)于D點(diǎn)位置和BD之間區(qū)域大小的研究將另文探討.這就要求在實(shí)驗(yàn)和教學(xué)過程中,要注意入射角i1應(yīng)大于最小的入射角i1min,且入射點(diǎn)在AD之內(nèi)(圖4、圖5)時,才能在AC面能觀察到出射光線,且偏向角θ為文獻(xiàn)[1-5,7-8,11]和本文所定義的偏向角θ.由圖2可知,當(dāng)入射角i1大于最小入射角i1min時,偏向角θ隨入射角i1的增大而非線性地減少;當(dāng)入射角i1滿足式(15)的條件時,偏向角θ達(dá)到最小值θmin;當(dāng)入射角i1繼續(xù)增大時,偏向角θ也隨之非線性地增大.

注:空氣中的等邊三棱鏡,A=60°,n2=1.647 5.圖2 偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線

注:在空氣中,入射角i1=30°.圖3 等邊三棱鏡的光路軌跡示意圖

注:在空氣中,入射角i1=50°.圖4 等邊三棱鏡的光路軌跡示意圖

注:在空氣中,入射角i1=60°.圖5 三棱鏡的光路軌跡示意圖

圖2中的直線部分因在AC面發(fā)生全反射,故出射光線從BC面出射(圖6).對應(yīng)的偏向角θ是虛數(shù),取實(shí)部為:

圖6 全反射對應(yīng)的偏向角光路示意圖

(18)

實(shí)際上,此時的偏向角θ對應(yīng)圖6中的FH線與入射光線EH線的夾角.由圖6可得:

(19)

式(18)的Matlab計算結(jié)果與式(19)一致.由式(19)可知,對給定的棱鏡頂角A,此時的偏向角θ與入射角i1有關(guān),且為線性關(guān)系,并對應(yīng)于圖2的直線部分.式(19)的理論分析與關(guān)系曲線相符.以下的偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線(圖6中的直線部分)分析都與此相同.

2.2 n1=1,n2=1.647 5,n3=1,A=74°,Amax=74.743 0°

圖7為當(dāng)棱鏡頂角接近頂角最大值A(chǔ)max時,偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線.由圖7可知,只要棱鏡不大于最大頂角Amax,就一定會存在偏向角θ隨入射角i1由大逐漸減小至最小,再逐漸增大的變化過程,同時存在最小入射角i1min和最小偏向角θmin.

注:空氣中的一般三棱鏡,A=74°,n2=1.647 5.圖7 偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線

2.3 n1=1,n2=1.647 5,n3=1,A=3°,Amax=74.743 0°

圖8為當(dāng)棱鏡頂角很小、入射角很小(i1<5°)時,偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線.由圖8可知,當(dāng)入射角i1較小時,偏向角基本不變.由θ=(n2-1)A=(1.647 5-1)×3=1.942 5°,θmin=1.943 5°可得,偏向角θ和最小偏向角θmin基本相等,這與理論分析和文獻(xiàn)[2,6]一致.同時,當(dāng)棱鏡頂角很小時,不存在全反射情況,偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線沒有出現(xiàn)直線部分.

注:空氣中的一般三棱鏡,A=3°,n2=1.647 5.圖8 偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線

2.4 n1=1,n2=1.647 5,n3=1,A=80°,Amax=74.743 0°

圖9為當(dāng)棱鏡頂角A大于棱鏡最大頂角Amax=74.743 0°時,偏向角θ與入射角i1的線性關(guān)系曲線,其滿足式(19).圖10和圖11說明,棱鏡頂角A不能大于折射率給定情況下的棱鏡最大頂角Amax,否則無論入射角θ為多大,出射光線都不能從AC面出射,對應(yīng)偏向角θ也不是文獻(xiàn)[1-5,7-8,11]定義的偏向角θ.

注:空氣中的一般三棱鏡,A=80°,n2=1.647 5.圖9 偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線

注:在空氣中,入射角i1=30°.圖10 三棱鏡的光路軌跡示意圖

注:在空氣中,入射角i1=70°.圖11 三棱鏡的光路軌跡示意圖

2.5 n1=1.333 0,n2=1.647 5,n3=1,Amax=91.380 0°

圖12和圖13為當(dāng)棱鏡兩側(cè)折射率不同時,對應(yīng)棱鏡頂角A為60°和91°時,偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線.該關(guān)系曲線與圖2相似,也存在最小入射角i1min和最小偏向角θmin.當(dāng)棱鏡頂角大于Amax=91.380 0°時,同樣不存在文獻(xiàn)[1-5,7-8,11]定義的偏向角θ.

注:左側(cè)在水中,A=60°,n2=1.647 5.圖12 偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線

注:左側(cè)在水中,A=91°,n2=1.647 5.圖13 偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線

當(dāng)棱鏡頂角A=91°時,由圖13可知,入射角i1應(yīng)大于84.306 9°,這樣才能從AC面觀察到出射光線,否則不能從AC面觀察到出射光線.

圖14對應(yīng)的是入射角i1=82°,從模擬光路看出光不能從AC面出射;圖15對應(yīng)的是入射角i1=85°,從模擬光路看出光能從AC面出射.這與理論分析和Matlab曲線、TracePro模擬光路分析一致.

注:左側(cè)在水中,入射角i1=82°.圖14 三棱鏡的光路軌跡示意圖

注:左側(cè)在水中,入射角i1=85°.圖15 三棱鏡的光路軌跡示意圖

3 結(jié) 論

本研究表明,對給定的棱鏡頂角、棱鏡折射率,在滿足一定條件下,一般三棱鏡的偏向角與入射角的關(guān)系曲線和空氣中的關(guān)系曲線相似.通過模擬光路可直觀地觀察到光線的傳播軌跡,且很容易判斷和理解光是否直接從AC面折射出射,或經(jīng)過其他方式從AC面出射,或從BC面出射的情況.理論分析、Matlab關(guān)系曲線和TracePro模擬光路分析表明,當(dāng)入射角小于一定角度時,從AC面觀察不到出射光線,對應(yīng)的偏向角不是文獻(xiàn)[1-5,7-8,11]定義的偏向角;最小入射角隨頂角和折射率的改變而改變.本文理論和模擬分析了關(guān)系曲線直線部分的原因,得到入射點(diǎn)D也會影響出射光線.曲線和理論分析表明,最小偏向角隨頂角和折射率的改變而改變,且當(dāng)頂角小于5°時,其偏向角在入射角較小時基本不變.該研究結(jié)果對實(shí)驗(yàn)、教學(xué)及研究過程中如何選擇棱鏡頂角、棱鏡兩側(cè)折射率及AB面上的入射角具有很好的參考價值和指導(dǎo)作用.