廣東省珠海市拱北中學(xué)(519020)崔志鋒

圖1

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,總會(huì)遇到類似“飲馬問題”、“造橋選址問題”之類的問題.抽象成數(shù)學(xué)問題就是,在一條定直線上確定一點(diǎn),使到直線同側(cè)兩定點(diǎn)的距離和最小.在中考數(shù)學(xué)中,還會(huì)遇到已知一個(gè)或兩個(gè)定點(diǎn),在兩條相交直線上各確定一點(diǎn)使它們的距離和最短.例如:2011年廣東深圳23 題第(2)題和2011年福建福州22 題第(3)題.這類問題在數(shù)學(xué)上要考察的知識(shí)點(diǎn)有兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱等.大家也都清楚它們的做法(做點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),連結(jié)另一點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)或?qū)ΨQ點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)即可).在此,我想換一個(gè)角度來分析它,并得到一些相關(guān)的公式,以便在一些實(shí)際工程問題中也能得到應(yīng)用.這讓我想起物理光學(xué)中所講的光是沿直線傳播和光的反射定律.如圖1,ON是法線,AO是入射光線,OB是反射光線,則有AO,ON,OB在同一平面,AO,OB會(huì)在法線ON兩側(cè),且∠AON=∠NOB.

我們先來看看下面兩個(gè)問題:

問題1已知同一平面內(nèi)一條定直線l和直線l同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)A和B,直線l上存在唯一一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小.

問題2已知一塊固定的平面鏡l,在鏡子正上方有兩個(gè)定點(diǎn)A和B,平面鏡l上存在唯一一點(diǎn)P,使得以AP為入射光線經(jīng)平面鏡l反射后也經(jīng)過點(diǎn)B.

圖2

這兩個(gè)問題是等價(jià)的.首先易證這兩個(gè)問題的存在唯一性.現(xiàn)在第一步假設(shè)問題1 成立.如圖2,點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),PA+PB的值最小時(shí),A′、P和B三點(diǎn)共線,所以∠APE= ∠EPA′= ∠BPF,又因?yàn)镸N⊥EF,所以∠APM= ∠MPB,故以AP為入射光線經(jīng)直線l反射后也經(jīng)過點(diǎn)B.第二步假設(shè)問題2 成立.如圖2,以AP為入射光線經(jīng)直線l反射后也經(jīng)過點(diǎn)B,則由平面鏡成像原理得點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)A′、P和點(diǎn)B共線,而兩點(diǎn)之間線段最短,所以PA+PB的值最小.證畢.

現(xiàn)在可以把如何在直線l上確定一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小的問題,轉(zhuǎn)換成如何確定一個(gè)入射角的光線AP,使得它經(jīng)直線l反射后經(jīng)過B點(diǎn).下面分三種類型來討論.說明:以下討論的光線都是指從點(diǎn)A出發(fā),經(jīng)一次或兩次反射后從點(diǎn)B出來.入射角x指的是第一次反射的入射角,入射角y指的是第二次反射的入射角.

類型一、兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

定理1如圖3,已知兩個(gè)定點(diǎn)A和B,OA=a,OB=b和∠COD=α(0° ＜α ＜90°),入射角為x,則PA+PB的最小值且入射角x滿足

圖3

推論若已知AE⊥OC,BF⊥OC,AE=h1,BF=h2和EF_=d,入射角為x,則PA+PB的最小值Smin=且入射角x滿足

定理1 的證明如圖3,作點(diǎn)A關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)A′,連結(jié)A′B交OC于點(diǎn)P,連結(jié)AP,則∠A′OB= 2α,利用余弦定理得AA′= 2asinα,由2asinαsinx= (b-a)sin(90°-α-x)化簡得

應(yīng)用1如圖4,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC邊的中點(diǎn),E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),則EC+ED的最小值為____.

圖4

解由題知,a=BD=1,b=BC=2,α=∠B=45°,則EC+ED的最小值

應(yīng)用2如圖5,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A(2,0),B(0,4).設(shè)OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D,P為OB上一動(dòng)點(diǎn),求PC+PD的最小值,并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).

圖5

解由題知,DC=2,h1=h2=1,入射角x=∠PCO,則PC+PD的最小值所以∠PCO=45°,P(0,1).

類型二、兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

定理2如圖,已知兩個(gè)定點(diǎn)A和B,OA=a,OB=b,∠AOC=α1,∠BOD=α2(0° ＜α1＜α2＜α1+α2＜ α)和∠COD=α(0° ＜ α1+α2+α ＜180°),入射角為x和y,則AQ+QP+PB的最小值且入射角x、y滿足x+y=α和

圖6

圖7

證明如果光線如圖6,則由余弦定理得到S21=A′B′=a2+b2-2abcos(α1+α2+α),如果光線如圖7,記∠AOD=α′1,∠BOC=α′2(α′1+α′2＞α),則由余弦定理得到S22=A′′B′′=a2+b2-2abcos(α′1+α′2+α),因?yàn)镾22-S21=2abcos(α1+α2+α)-2abcos(α′1+α′2+α)=所以S22≥S21,即S2≥由asin(90°-α1-x)=bsin(90°-α2-y)易得tanx=證畢.

推論1若已知定點(diǎn)B在OD上,OA=a,OB=b,∠AOC=α1(0° ＜α1＜α)和∠COD=α(0° ＜α ＜60°),入射角為x和y,則AQ+QP+PB的最小值Smin=且入射角x、y滿足x+y=α和

推論2若已知定點(diǎn)A在OC上,定點(diǎn)B在OD上,OA=a,OB=b和∠COD=α(0° ＜α ＜60°),入射角為x和y,則AQ+QP+PB的最小值Ssain=且入射角x、y滿足x+y=α和

應(yīng)用3已知,如圖8,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為H,與x軸交于A、B兩點(diǎn)(B在A點(diǎn)右側(cè)),點(diǎn)H、B關(guān)于直線l:對(duì)稱.過點(diǎn)B作直線BK//AH交直線l于K點(diǎn),M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接HN、NM、MK,求HN+NM+MK和的最小值.

圖8

解如圖8,易知α= ∠HAK= 30°,則HN+NM+MK和的最小值是

應(yīng)用4如圖9,拋物線y=-(x -1)2+ 4 的 頂 點(diǎn) 為C,交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)D.過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F,其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2,若直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸,點(diǎn)G為直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn),則x軸上是否存在一點(diǎn)H,使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最小.若存在,求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

圖9

解如圖9,易知?jiǎng)t周長最小值因?yàn)閤= ∠HFO=∠HGM,所以所以G(1,1).

類型三、一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

定理3如圖10,已知一個(gè)定點(diǎn)A,OA=a,∠AOD=和∠COD=α(0° ＜ α1+α ＜90°),入射角為x,則AQ+QP的最小值Smin=asin(α1+α),且入射角x滿足x=α.

圖10

證明方法同定理2 的證明.

推論若已知定點(diǎn)A在OD上,OA=a和∠COD=α(0° ＜α ＜45°),入射角為x,則AQ+QP的最小值Smin=asin 2α,且入射角x滿足x=α.

應(yīng)用5如圖11,在銳角△ABC中,AB= 4,∠BAC=45°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn),則BM+MN的最小值是____.

圖11

解由題知,a=AB=4,α=22.5°,則BM+MN的最小值

應(yīng)用6如圖12,△ABC中,AB= 2,∠BAC= 30°,若 在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小,求這個(gè)最小值____.

圖12

解由題知,a=AB=2,α=30°,則BM+MN的最小值