廣東省廣州市番禺區(qū)市橋橋城中學(xué)(511400)陳俊霞

清代教育家顏元說過:“講之功有限,習(xí)之功無已.”在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,我們不僅要重視課堂上知識的傳授,更要重視“習(xí)行之功”.等腰三角形是一種特殊的三角形,其性質(zhì)豐富多彩,相關(guān)問題也靈活多變.一些與等腰三角形的邊、角有關(guān)的問題,由于條件沒有明確給出,會出現(xiàn)多種情況,需要通過分類討論才能解決.學(xué)生遇到等腰三角形中有關(guān)分類問題,往往會因為分類不當(dāng),或考慮不全面導(dǎo)致錯解或漏解,因此要特別引起重視.本文就分類討論思想在等腰三角形問題中的應(yīng)用進行舉例說明.

一、等腰三角形的分類討論思想在角中的應(yīng)用

1、(2018·成都)等腰三角形的一個角為50°,則它的頂角的度數(shù)為 ____.

解析題中未指明50°是頂角還是底角,因此應(yīng)該分兩種情況考慮:①當(dāng)50°是頂角,②50°是底角,頂角度數(shù)180°-50°×2=80°.因此答案50°或80°.

點評對于一個等腰三角形,若條件中并沒有確定頂角或底角時,應(yīng)注意分情況討論,先確定這個已知角是頂角還是底角,再運用三角形內(nèi)角和定理求解.

二、等腰三角形的分類討論思想在邊中的應(yīng)用

2、(2017 番禺區(qū)期末8)已知等腰三角形的一邊長為4,另一邊長為8,則它的周長是( ).

A.12 B.16 C.20 D.16 或20

解析已知條件中未指明4,8 是腰長還是底邊長,因此需要通過分類討論來解答.①當(dāng)4 為腰時,三角形三邊分別為4,4,8; ②當(dāng)8 為腰時,三角形三邊分別為4,8,8;由于三角形三邊關(guān)系必須符合“三角形的兩邊之和大于第三邊”所以排除 ①,三角形的周長為4+8+8=20.答案選擇C.

點評對于底和腰不等的等腰三角形,若條件中沒有明確哪是底哪是腰時,應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.

三、等腰三角形的分類討論思想在高中的應(yīng)用

3、若等腰三角形腰上的高與另一腰的夾角為50°,則這個等腰三角形的底角為____.

解析要注意分高在三角形的內(nèi)部與高在三角形的外部兩種情況討論,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°,等腰三角形的兩個底角相等,即可求得結(jié)果.

如圖1:因為AB=AC,∠ABD=50°,BD⊥AC,所以∠A=40°,所以∠ABC=∠C=(180°-40°)÷2=70°;

如圖2:因為AB=AC,∠ABD= 50°,BD⊥AC,所以∠BAC= 50°+ 90°= 140°,所以∠ABC= ∠C=(180°-140°)÷2=20°.

故答案為:70°或20°.

圖1

圖2

點評三角形的高是由三角形的形狀決定的,對于等腰三角形,當(dāng)頂角是銳角時,腰上的高在三角形內(nèi);當(dāng)頂角是鈍角時,腰上的高在三角形外.

四、等腰三角形的分類討論思想在垂直平分線中應(yīng)用

4、已知等腰△ABC中,AB=AC,若AB的垂直平分線與邊AC所在直線相交所得銳角為40°,則等腰△ABC的底角∠B的大小為多少?

多位熟悉林雪川情況的知情人向上游新聞記者介紹，林雪川初中畢業(yè)后在觀閣鎮(zhèn)當(dāng)?shù)氐泥]電部門送報紙，開始時工作較為認真。但不久之后，林雪川利用送報紙的機會，以幫村民取郵政匯款為由，多次偷竊村民從省外匯回家鄉(xiāng)的款項。被村民發(fā)現(xiàn)之后，林雪川前往廣東打工，因數(shù)額不大，警方也未予追究。

解析由條件“AB的垂直平分線與邊AC所在直線相交”可知,其交點可能在腰AC上,也可能在AC的延長線或反向延長線上,因此,應(yīng)當(dāng)分兩種情況討論.

①DE與線段AC相交時,如圖3,因為DE是AB的垂直平分線,∠AED= 40°,所以∠A= 90° -∠AED=90°-40°=50°,因為AB=AC,所以∠ABC=0.5(180°-∠A)=0.5(180°-50°)=65°;

圖3

圖4

②DE與CA的延長線相交時,如圖4,因為DE是AB的垂直平分線,∠AED= 40°,所以∠EAD=90°-∠AED=90°-40°= 50°,所以∠BAC= 180° -∠EAD= 180° -50°=130°,因為AB=AC,所以∠ABC=0.5(180°-∠BAC)=0.5(180°-130°)=25°.

點評由于受定式思維的影響,學(xué)生大部分遺漏第二種情況.建議解題時按照三角形的分類(按角),畫出所以情況在進行討論,可以做到不缺不漏.

五、等腰三角形的分類討論思想在中線中應(yīng)用

5、已知一個等腰三角形底邊的長為5cm,一腰上的中線把其周長分成的兩部分的差為3cm,則腰長為____.

解析中線把等腰三角形分成兩部分,已知條件沒有指明哪部分長,故有兩種可能.如圖,因為BD是△ABC的中線,所以AD=CD,所以兩三角形的周長的差等于腰長與底邊的差,因為BC=5cm,所以AB-5=3 或5-AB=3,解得AB= 8 或AB= 2,若AB= 8,則三角形的三邊分別為8cm、8cm、5cm,能組成三角形,若AB=2,則三角形的三邊分別為2cm、2cm、5cm,因為2+2=4＜5,所以不能組成三角形,綜上所述,三角形的腰長為8cm

點評 涉及等腰三角形邊的計算時,要明確它是否能構(gòu)成三角形.

六、等腰三角形的分類討論思想在動態(tài)題目中應(yīng)用

解析(1)若AO作為腰時,有兩種情況,OA=OP,AO=AP與x軸的交點,有3 個; (2)若OA是底邊時,P是OA的中垂線與x軸的交點,有1 個.以上4 個交點沒有重合的.故符合條件的點有4 個.

圖5

點評 在作以某一線段為邊的等腰三角形時,如果沒有明確這是底還是腰,則需進行分類,并確定頂角到底是哪個,做到不缺不漏.

7、在網(wǎng)格中,網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知A、B是兩個格點,如果點C也是圖6中的格點,且使得△ABC為等腰三角形,則點C的個數(shù)是( )

A.6 B.7 C.8 D.9

圖6

圖7

解析在網(wǎng)格背景下建議捉住分類標(biāo)準(zhǔn)利用圓規(guī)數(shù)形結(jié)合解決問題.如圖7:分情況討論.①AB為等腰△ABC底邊時,符合條件的C點有4 個; ②AB為等腰△ABC其中的一條腰時,符合條件的C點有4 個故選:C.

點評最容易漏掉,求解時一定要認真分析題意,畫出所有可能的圖形,這樣才能正確解題.

8、已知△ABC中,AB= 3,AC= 5,BC= 7.在△ABC所在平面內(nèi)一條直線,將△ABC分割成兩個三角形,使其中有一個邊長為3 的等腰三角形,則這樣的直線最多可畫( )

A.2 條 B.3 條 C.4 條 D.5 條

圖8

圖9

解析邊長為3 的等腰三角形未能明確那條邊為3,故可能是腰長為3,底邊為3.如圖9,①以AB為腰,有兩種情況(1)以A為圓心,AB為半徑畫弧,交于點D、E,(2)以B為圓心,AB為半徑畫弧,交于點F; ②以AB為底邊,則AB的垂直平分線交BC于點G.故答案有4 條,選擇C.

點評在作以某一線段為邊的等腰三角形時,如果沒有明確這是底還是腰,則需進行分類,并確定頂角到底是哪個,借助圓規(guī)作圖,做到不缺不漏.

9、如圖10,在△ABC中,∠B= 60°,AB= 12cm,BC= 4cm,現(xiàn)有一動點P從點A出發(fā),以2cm/秒的速度沿射線AB運動,則運動幾秒時△PBC為等腰三角形?

圖10

解析點在射線上運動,故有兩種可能,P在線段AB上,P在線段AB外.設(shè)運動t秒時△PBC為等腰三角形,則AP=2t,BP=AB-AP=12-2t.①當(dāng)點P在線段AB上時,如圖11,因為∠B= 60°,△PBC為等腰三角形,所以△PBC是等邊三角形,PB=BC=4cm,所以12-2t=4,所以t= 4 秒; ②當(dāng)點P在線段AB外時,如圖12,因為∠P′BC= 120°,所以BP= 2t-12,因為PB=BC,所以2t-12=4,所以t=8 秒.故運動4 秒或8 秒時△PBC為等腰三角形.

圖11

圖12

點評在等腰三角形動點問題中,要明確運動范圍是什么,將所有情況羅列出來在進行討論.

在等腰三角形問題中,很多問題需要涉及分類思想.學(xué)生要依據(jù)題目給出的關(guān)鍵詞思考為什么要進行分類,如何進行分類,怎樣確定分類.要做到真正掌握學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)思想,達到懂一題、曉一類、通一片.愿所有的學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中都能夠像分類討論一樣多方面考慮問題、認識問題、并解決問題!