秦琴琴 胡志娟

(上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院 上海 200234)

三棱鏡是一種基本的光束轉(zhuǎn)向元件和色散元件，在光學(xué)基本實(shí)驗(yàn)中有諸多應(yīng)用.教材中給出了棱鏡最小偏向角θ0的計(jì)算[1]，并提出可利用公式

(1)

計(jì)算棱鏡材料的折射率.

本文詳細(xì)討論了光束通過三棱鏡的多種偏折情況，給出了三棱鏡的頂角和折射率的取值范圍對(duì)光線是否能從出射邊界射出，以及出射光線的偏折情況的影響，并進(jìn)一步分析了光線的偏向角與折射率、頂角的關(guān)系，給出了確定最小偏向角的方法.

1 三棱鏡對(duì)光的偏折情況

如圖1所示為一個(gè)頂角為A,折射率為n的三棱鏡側(cè)面圖.

圖1 三棱鏡側(cè)面圖

光線從AB邊的D點(diǎn)射入三棱鏡并發(fā)生折射，到達(dá)AC面上的E點(diǎn)，再經(jīng)過一次折射后從E點(diǎn)射出，兩界面的入射角和折射角分別為i1,r1和i2,r2，θ為AC面上的出射光線和AB邊的入射光線之間的夾角，即偏向角.

圖1中，由折射定律和幾何關(guān)系有

(2)

A=r1+i2

(3)

由折射定律可知，當(dāng)入射角i1減小時(shí)，r1會(huì)隨之減小，光線DE會(huì)向底面BC偏移，i2會(huì)增大.若三棱鏡的折射率和頂角滿足一定條件，當(dāng)入射角i1減小到某個(gè)值時(shí)，三棱鏡中的折射光線DE在AC面上發(fā)生全發(fā)射，如果繼續(xù)減小入射角，則三棱鏡中的折射光線均會(huì)在AC面上發(fā)生全發(fā)射，可見要在AC面上得到出射光線，入射角存在一個(gè)最小值.

在教學(xué)中有的學(xué)生會(huì)認(rèn)為，光束經(jīng)三棱鏡兩次折射后的傳播方向一定是偏向底面BC的，實(shí)際上還可能出現(xiàn)圖2所示的情況.當(dāng)入射角i1逐漸增大時(shí)，光線DE在AC面的入射點(diǎn)E會(huì)向頂角A移動(dòng)，這時(shí)在AC面的入射角i2將減小.對(duì)于材料的折射率不是很大，頂角也不是很大的三棱鏡，隨著入射角i1的增大，會(huì)出現(xiàn)i2=0的情況，繼而，光線DE會(huì)出現(xiàn)在AC面法線的下方，那么出射光線就會(huì)向AC面法線的上方偏折.此時(shí)，經(jīng)三棱鏡出射的光線的傳播方向并非向三棱鏡的底座偏移，而是偏向頂角射出，但出射光線相對(duì)于原入射光線仍是向底面BC偏折的.

圖2 出射光線偏向法線上方

2 入射角i1 折射率n以及頂角A對(duì)出射光線的影響

設(shè)折射光線DE在AC面上恰好發(fā)生全反射時(shí)，對(duì)應(yīng)的光線入射角為最小入射角i1min，此時(shí)，AC面上發(fā)生全反射的臨界角滿足

結(jié)合式(2)、(3)可得最小入射角i1min、折射率n及頂角A的關(guān)系為

(4)

從式(4)中可以看出，AB邊上的入射光線的最小入射角i1min與棱鏡折射率n、頂角A均有關(guān)系.在折射率n不變的情況下，頂角A越大，i1min也越大.當(dāng)A增大到某一特定的值，i1min可能增大到90°，這種情況下，從AB邊上以任意角度入射的光線，都會(huì)在AC面上發(fā)生全發(fā)射，設(shè)頂角A的這一特定值為Amax，那么，棱鏡的頂角A超過Amax后將不會(huì)從AC面上得到出射光線.利用

i1min=90°

并由式(2)、(3)可求得

因此，給定三棱鏡的折射率n=2.4時(shí)，則對(duì)應(yīng)的Amax= 49.2°，所以當(dāng)頂角A=60°，已經(jīng)超過了有光線出射時(shí)要求的最大頂角值，因而不會(huì)有光線從AC面射出.

此外，若頂角A越小，i1min也會(huì)越小，當(dāng)A減小到某值A(chǔ)min，i1min會(huì)減小到零，此時(shí)恰好所有入射光線都可以從AC面射出.利用

由幾何關(guān)系可得

而對(duì)于頂角A小于極小值A(chǔ)min的三棱鏡，光線以任意角度入射，都會(huì)從AC面射出.但是在不同條件下，光線經(jīng)三棱鏡后，出射光線的傳播方向可能偏向底面BC，也可能偏向頂角A，偏轉(zhuǎn)方向的臨界條件可以通過三棱鏡中DE光線恰好垂直入射到AC面上所對(duì)應(yīng)的入射角來判斷，此時(shí)入射角i1滿足

sini1=nsinA

而當(dāng)入射角i1>arcsin(nsinA)時(shí)，折射光線DE將從E點(diǎn)入射到AC面，且出現(xiàn)在AC面的法線(過E點(diǎn))的上方(如圖2所示)，那么，出射光線將向頂角A偏折.

圖3給出了不同折射率的三棱鏡的最小入射角隨著頂角的變化關(guān)系，從圖中可以看出最小入射角i1min隨著三棱鏡頂角A的增大而增大，圖中直線PM表示三棱鏡頂角A增大到極大值A(chǔ)max后，對(duì)應(yīng)的最小入射角都為90°，當(dāng)三棱鏡的頂角取PM直線上的值時(shí)，無論光線的入射角取何值，折射光在棱鏡內(nèi)的AC面均會(huì)發(fā)生全反射，無出射光線產(chǎn)生.每條曲線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)著頂角A的極小值A(chǔ)min.

圖3 不同折射率n下i1min-A關(guān)系

此外，頂角A的這兩個(gè)臨界值，也可以用代數(shù)求解的方法得到，設(shè)Amin，Amax分別對(duì)應(yīng)最小入射角等于零和90°的情況，分別將i1min=0和i1min=90°代入式(4)，有

(5)

(6)

解式(5)、(6)也可得

這與上面的分析是一致的.綜上，在三棱鏡的折射率n不變時(shí)，頂角A對(duì)出射光線的影響有以下規(guī)律.

(1)當(dāng)頂角A

i1>arcsin(nsinA)

出射光線的傳播方向?qū)⑵蝽斀茿(往AC面過E點(diǎn)的法線上方偏折)，當(dāng)i1

(2)當(dāng)Amin

(3)當(dāng)A>Amax時(shí)，從AB面以任意角度入射的光線，進(jìn)入三棱鏡后，均會(huì)在棱鏡內(nèi)AC面上發(fā)生全發(fā)射，因此，不會(huì)有光線從AC面射出.

同理，當(dāng)三棱鏡的頂角A不變時(shí)，折射率n也會(huì)對(duì)最小入射角產(chǎn)生影響.由式(4)知，當(dāng)折射率n增大時(shí)，i1min也隨之增大，當(dāng)n增大到某個(gè)值n′時(shí)，i1min增大到90°，這時(shí)由折射定律和幾何關(guān)系可求得折射率的極大值

而折射率n值越小，對(duì)應(yīng)的i1min也越小，當(dāng)n減小到某值n″時(shí)，i1min可能減小到零，此時(shí)對(duì)應(yīng)折射率的極小值

圖4是具有不同頂角A的三棱鏡的最小入射角i1min隨折射率n的變化關(guān)系曲線.

圖4 不同頂角A下i1min-n關(guān)系

從圖4可以看出最小入射角隨著折射率的增大而增大.圖中線段QN表示折射率n取值達(dá)到某值n′后，AB面上任意角度入射的光線均在AC面上發(fā)生全反射.曲線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)表示折射率n的極小值n″，當(dāng)n小于該值時(shí)，AB面上任意角度入射的光線均能從AC面射出.同樣的，在這種情況下存在出射光線向AC面法線上方偏折的情況，其臨界條件可以由DE光線恰好垂直入射到AC面時(shí)所對(duì)應(yīng)的入射角來決定，即

i1=arcsin(nsinA)

當(dāng)三棱鏡頂角A不變時(shí)，折射率n對(duì)出射光線的影響規(guī)律可總結(jié)如下.

3 不同參數(shù)下偏向角隨入射角的變化情況

根據(jù)圖1和圖2，由幾何關(guān)系可得三棱鏡AC面出射光線與AB面入射光線之間的偏向角θ之間的關(guān)系為

θ=i1±r2-A

(7)

其中加號(hào)表示出射光線經(jīng)AC面向法線下方偏折，減號(hào)表示出射光線經(jīng)AC面向法線上方偏折.結(jié)合折射定律可進(jìn)一步算得偏向角與入射角i1、折射率n、頂角A的關(guān)系為

cosAsini1]-A

(8)

從上式可以看出當(dāng)三棱鏡的參數(shù)n和A一定時(shí)，偏向角隨著入射角的變化而變化.

圖5是棱鏡折射率n=1.5時(shí)，取不同的頂角A值，偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線，圖6是棱鏡頂角為A=60°時(shí)，取不同的折射率n值，偏向角θ與入射角i1的關(guān)系曲線，θ-i1關(guān)系曲線上的點(diǎn)代表有出射光線時(shí)偏向角和入射角的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

圖5 n=1.5時(shí)不同A對(duì)應(yīng)的θ-i1關(guān)系曲線

圖6 A=60°時(shí)不同n對(duì)應(yīng)的θ-i1的關(guān)系曲線

從圖5和圖6可以看出，當(dāng)棱鏡折射率和頂角一定時(shí)，偏向角隨著入射角的增大呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì).圖中每條曲線最左端處對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)值為棱鏡AC面有光線出射時(shí)需滿足的最小入射角i1min值.圖5中參數(shù)n=1.5，A=30°對(duì)應(yīng)的曲線覆蓋入射角全區(qū)段，這表示當(dāng)光以任意角度入射到以該參數(shù)制作的三棱鏡上時(shí)，光線均能從AC面射出，不會(huì)發(fā)生全反射.圖5和圖6中的θ-i1關(guān)系曲線可以看出，偏向角存在一個(gè)最小值θmin，在圖5中當(dāng)三棱鏡的頂角A增加，出現(xiàn)最小偏向角所對(duì)應(yīng)的入射角也隨之增加.在圖6中，三棱鏡頂角A一定的情況下，棱鏡的折射率越大，出現(xiàn)最小偏向角時(shí)對(duì)應(yīng)的光線入射角也會(huì)隨之增加.可計(jì)算出最小偏向角與三棱鏡參數(shù)之間有如下關(guān)系

(9)

以參數(shù)n=1.5，A=60°的三棱鏡為例，代入式(4)和式(9)中，得到最小入射角和最小偏向角分別為i1min=27.9°和θmin=37.2°.此外，如果知道θ-i1關(guān)系曲線圖，也可以直接從θ-i1關(guān)系曲線中確定最小入射角和最小偏向角的大小，曲線左端點(diǎn)處的橫坐標(biāo)代表最小入射角的值，曲線最低點(diǎn)處的縱坐標(biāo)值即為最小偏向角的值.如圖5中G和F兩點(diǎn)分別代表n=1.5，A=60°時(shí)的θ-i1關(guān)系曲線上的左端點(diǎn)和最低點(diǎn)，通過定位可確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：G(27.5，56.5)，F(xiàn)(50.1，37.5)，表示當(dāng)棱鏡參數(shù)取n=1.5，A=60°時(shí)，對(duì)應(yīng)的最小入射角為27.5°、最小偏向角為37.5°.同樣，在圖6中當(dāng)棱鏡參數(shù)取n=1.5，A=60°時(shí)曲線所對(duì)應(yīng)的最小入射角和最小偏向角(即H，I兩點(diǎn))，得到i1min=27.2°，θmin=37.4°，可見在誤差允許范圍內(nèi)通過曲線關(guān)系圖確定最小入射角和最小偏向角與公式得出的結(jié)果非常接近.

4 總結(jié)

本文分析了光束通過三棱鏡的偏折情況，討論了入射角、折射率、棱鏡頂角對(duì)出射光線偏折方向的影響，指出三棱鏡的折射率、頂角存在著極小值和極大值的取值范圍，當(dāng)棱鏡折射率或頂角小于其極小值時(shí)，以任意角度入射的光線都能從三棱鏡另一側(cè)面射出；當(dāng)折射率或頂角的取值處在極小值和極大值范圍之間，光線的入射角大于最小入射角時(shí)，才能在棱鏡另一側(cè)面得到出射光線，且最小入射角隨著棱鏡折射率和頂角的增大而增大；當(dāng)折射率或頂角大于其極大值時(shí)，以任意角度入射的光線均發(fā)生全反射而不會(huì)有出射光線產(chǎn)生.此外，討論了光線偏向角與三棱鏡參數(shù)的關(guān)系，光線偏向角隨著入射角的增大呈現(xiàn)先減小后增大的變化規(guī)律，且最小偏向角隨著棱鏡折射率和頂角的增大而增大.本文的分析和討論有利于學(xué)生深入了解三棱鏡對(duì)光線的轉(zhuǎn)向情況，也能為三棱鏡的設(shè)計(jì)提供參考.