肖紅杰

摘要：本文旨在解決勻變速直線運(yùn)動(dòng)反向問(wèn)題，通過(guò)對(duì)速度反向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)分段求解和全過(guò)程用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生明確反向勻變速直線運(yùn)動(dòng)的解題規(guī)律.通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律標(biāo)量形式和矢量形式對(duì)比，熟練掌握用全程勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律解決加速不變的反向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：加速度；勻變速直線運(yùn)動(dòng)；速度反向

勻變速直線運(yùn)動(dòng)是高中物理常見(jiàn)且重要的一種運(yùn)動(dòng)形式，勻變速直線運(yùn)動(dòng)是力和運(yùn)動(dòng)關(guān)系的一種表現(xiàn)形式.從運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)分析，勻變速直線運(yùn)動(dòng)是速度均勻變化的直線運(yùn)動(dòng)，它分為兩種形式：速度均勻增加的勻變速和速度均勻減小的勻減速；從力和運(yùn)動(dòng)關(guān)系分析，分為合力方向與速度方向始終相同的勻加速和合力方向與初速度方向相反的勻減速，其中，合力方向與初速度方向相反，物體有可能停下來(lái)，也有可能速度減為零后繼續(xù)反向加速，因?yàn)榱Φ姆较驔](méi)有變化，但速度減小到零后只能沿力的方向加速，與原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向顯然相反，然而很多同學(xué)對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度反向的直線運(yùn)動(dòng)形式處理起來(lái)不太順手.本文通過(guò)幾道例題分析關(guān)于速度反向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的解題思路.

例1一個(gè)人站在一座很高的樓頂?shù)倪吘?，將一物體以20m/s的初速度豎直向上拋出.忽略空氣阻力，重力加速度大小g=10m/s2，求t=5s時(shí)物體的速度和5s內(nèi)的位移.

解析：我們知道，豎直上拋是一種特殊的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，它可以分為豎直向上的勻減速和自由落體兩個(gè)階段.而運(yùn)動(dòng)學(xué)公式只有規(guī)定了正方向才可以給出，一般設(shè)初速度方向?yàn)檎跛俣葹榱愕膭t以加速度方向?yàn)檎?，?shí)際上也是初速度方向，因?yàn)槲矬w從靜止出發(fā)，只能沿加速度方向運(yùn)動(dòng).因此，一種運(yùn)動(dòng)形式也就有了兩個(gè)正方向，上升是豎直向上為正，下降是豎直向下為正.這樣解出的位移也就沒(méi)有負(fù)數(shù)，只有正數(shù).

方法1：如果把運(yùn)動(dòng)分成上升階段和下降階段，初速度為20m/s，加速度大小為10m/s2，由于物體做減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)加速度定義，速度每秒減小10m/s，2s減為零，剩下3s，顯然開(kāi)始做自由落體運(yùn)動(dòng)，即做初速度為零的勻加速，根據(jù)加速度定義式，速度每秒增加10m/s，則再經(jīng)3s速度大小變?yōu)?0m/s，顯然與初速度方向相反.再分別求出2s位移的大小和后3s位移的大小可求5s內(nèi)的位移.

解：取向上為正，設(shè)上升時(shí)間為t1，下降階段時(shí)間為t2 ，則

上升階段v=v0-gt1=0 所以t1=2s

位移大小x1=v0t1-12gt21=20m

下降階段v=gt2=30m/s

位移大小x2=12gt22=45m

分析可知，5s末的速度為-30m/s，負(fù)號(hào)表示與初速度方向相反；5s末時(shí)物體顯然在拋出點(diǎn)下方25m處，所以位移為Δx=-25m，負(fù)號(hào)表示在拋出點(diǎn)下方，位移為負(fù)值.

方法2：由于全過(guò)程加速度大小和方向都沒(méi)有發(fā)生改變，即加速度恒定，加速度不變的直線運(yùn)動(dòng)就是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，可以考慮全過(guò)程用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解.

解：取豎直向上為正，令加速度a=-g=-10m/s2，則

v=v0+at=-30m/s

x=v0t+12at2=-25m

由以上兩種方法對(duì)比可知，只要加速度不變，雖然運(yùn)動(dòng)方向反向，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律仍然是可以直接應(yīng)用的，第一種方法，公式中字母只代表該物理量的大小，我們稱為“標(biāo)量法”.而第二種方法，公式中所有字母都代表該物理量，即如果是矢量每個(gè)字母本身都是有方向的，在直線運(yùn)動(dòng)中用“+”“-”表示方向，我們把第二種方法稱為“矢量法”.用矢量法一定注意規(guī)定正方向，與正方向相同的矢量必然為正，與正方向相反的矢量必然為負(fù).對(duì)比可知，對(duì)于加速度不變的先減速后反向加速的直線運(yùn)動(dòng)采取矢量法更簡(jiǎn)潔，對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題更容易計(jì)算.顯然公式v=v0+at①，x=v0t+12at2②的矢量式可用于此種情況，把①式中加速度代入②式，可得：x=v0+v2t，顯然該公式的矢量式也可用于速度方向問(wèn)題.很容易可以推出所有的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的矢量形式都可以用于先減速后反向加速問(wèn)題.

為了方便理解，表1給出所有的基本運(yùn)動(dòng)學(xué)公式減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的矢量式和標(biāo)量式.當(dāng)然對(duì)于加速變量式和矢量式形式上沒(méi)什么區(qū)別.

表1

矢量形式標(biāo)量形式

v=v0+atv=v0-at

x=v0t+12at2x=v0t-12at2

x=v0+v2tx=v0+v2t

v2-v20=2axv2-v20=-2ax

特別注意的是，左側(cè)公式中的a表示加速度的大小和方向，右側(cè)公式中的a僅表示加速度的大小.

例2有一物體置于光滑水平面上，一水平恒力F1使物體從某點(diǎn)由靜止加速，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后取消F1，同時(shí)加一相反方向的水平恒力F2，經(jīng)過(guò)相同時(shí)間物體回到原來(lái)的出發(fā)點(diǎn)，求：

（1）第一段時(shí)間與第二段時(shí)間的末速度大小之比；

（2）加速度大小a1與a2的比值；

（3）F1與F2之比為多少？

分析：根據(jù)例1的分析，先減速后加速的速度方向問(wèn)題我們采取全程的矢量法，本題分為三個(gè)過(guò)程：先加速，后同向減速，再以同樣的加速度大小反向加速，顯然是經(jīng)過(guò)了速度反向的勻變速直線運(yùn)動(dòng).可以將它分成兩個(gè)過(guò)程：第一段時(shí)間的勻加速和第二段時(shí)間的勻變速來(lái)處理.如果第一段時(shí)間物體從A位置運(yùn)動(dòng)到了B位置，第二段時(shí)間則是從B位置回到了A位置，即經(jīng)過(guò)相同的時(shí)間回到出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)位移的定義可知兩段時(shí)間位移大小相等方向相反.

解：取恒力F1的方向?yàn)檎?，第一段時(shí)間的末速度為v1，第二段時(shí)間的末速度為v2，而v1為第二段時(shí)間的初速度，速度時(shí)間圖象如圖1所示，則

（1）第一段時(shí)間位移

x1=0+v12t

第二段時(shí)間位移x2=v1+v22t

它們的方向相反x2=-x1

由以上各式解得v2=-2v1

則速度大小之比v1v2=12

（2）a1a2=v1-0tv2-v1t=13

（3）F1F2=ma1ma2

a1a2=v1-0tv2-v1t=-13

∴F1F2=-13

例3火車(chē)站上由于工作人員操作失誤致使一節(jié)車(chē)廂以4m/s的速度勻速滑出了車(chē)站，此時(shí)在同一軌道上一列火車(chē)正在以72km/h的速度勻速駛向車(chē)站，技術(shù)嫻熟的火車(chē)司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)這種緊急情況后，立即以大小為08m/s2的加速度緊急剎車(chē)，之后又立即以此加速度使火車(chē)反向加速運(yùn)動(dòng)，若車(chē)廂與火車(chē)相遇恰好不相撞（圖2）.求：

（1）司機(jī)發(fā)現(xiàn)車(chē)廂向自己駛來(lái)開(kāi)始制動(dòng)到剛好相遇用的時(shí)間；

（2）司機(jī)發(fā)現(xiàn)車(chē)廂向自己駛來(lái)開(kāi)始制動(dòng)時(shí)離車(chē)廂的距離.

分析：設(shè)火車(chē)初速度方向?yàn)檎瑒t車(chē)廂的速度為負(fù)， 因?yàn)檐?chē)廂勻速，顯然只要火車(chē)速度方向不反向，就會(huì)相撞，當(dāng)火車(chē)速度減小到零后開(kāi)始反向，便形成了車(chē)廂追火車(chē)的追及問(wèn)題，由于火車(chē)反向后加速，它們速度相等時(shí)如果車(chē)廂不能追上火車(chē)，距離就會(huì)越來(lái)越大，便不可能相遇.那么車(chē)廂與火車(chē)剛好相遇的條件是，速度相等時(shí)，車(chē)廂恰好追上火車(chē).

解：取火車(chē)初速度方向?yàn)檎?，即如圖3所示向右為正，則火車(chē)初速度為v1=20m/s，車(chē)廂勻速的速度為v2=-4m/s，火車(chē)的加速度為a=08m/s2.

（1）車(chē)廂與火車(chē)速度相等時(shí)，剛好相遇，則有

v1+at0=v2所以t=30s

（2）本問(wèn)可以理解為，火車(chē)和車(chē)廂剛好相遇，求火車(chē)剛減速時(shí)與車(chē)廂的距離，在火車(chē)減速到和車(chē)廂速度相等這段時(shí)間內(nèi)，火車(chē)位移為x1，車(chē)廂位移為x2，則

x1=v1t0+12at20=240m

（位移為正，說(shuō)明從火車(chē)向右減速到它們相遇時(shí)火車(chē)向右行駛240m）

x2=v2t0=-120m（位移為負(fù)，說(shuō)明從火車(chē)向右減速到它們相遇時(shí)，車(chē)廂向左行駛120m）

顯然，司機(jī)發(fā)現(xiàn)車(chē)廂向自己駛來(lái)開(kāi)始制動(dòng)時(shí)離車(chē)廂的距離為：

Δx=|x1|+|x2|=360m

另解：為了更好地對(duì)比矢量法和標(biāo)量法，本題用標(biāo)量法來(lái)重新做一遍，以方便對(duì)比.

解：（1）由于火車(chē)速度反向，我們把火車(chē)運(yùn)動(dòng)分成加速和減速兩個(gè)階段，設(shè)火車(chē)從減速到減速到零的時(shí)間為t1，火車(chē)反向后到和車(chē)廂速度相等的時(shí)間為t2，則火車(chē)速度減到零.因此，有

v1-at1=0 則：t1=v1a=25s

火車(chē)反向加速到與車(chē)廂速度相等，有

v1=at2=v2則：t2=5s

∴剛好相遇時(shí)間t0=t1+t2=30s

（2）從火車(chē)開(kāi)始減速到火車(chē)反向后和車(chē)廂速度相等，火車(chē)先向右減速后向左加速，則向右的總位移為：

x1=（v1t1-12at21）-12at22=240m

雖然是標(biāo)量法，但兩段位移相減為負(fù)值，可判定火車(chē)總體向左運(yùn)動(dòng)，兩段位移相減為正值，總體向右運(yùn)動(dòng).

這段時(shí)間內(nèi)車(chē)廂向左行駛的位移大小為：

x2=v2t0=120m

經(jīng)分析可知，剛好相遇的情況下，火車(chē)減速時(shí)距車(chē)廂距離為：Δx=x1+x2=360m

顯然，第一種方法計(jì)算簡(jiǎn)潔，但第二種方法過(guò)程明了，如果借助圖象，熟練后過(guò)程基本沒(méi)有區(qū)別.