劉天貴，周群益，莫云飛，王培穎，周艷明

(1．湖南大學 物理與微電子科學學院，湖南 長沙 410082；2．廣州理工學院 通識教育學院，廣東 廣州 510540；3．長沙學院 電子信息與電氣工程學院，湖南 長沙 410022)

三棱鏡的折射是一個典型的光學問題，分光計是大學物理實驗中重要的光學測量平臺，利用分光計測量三棱鏡折射率是典型的大學物理實驗之一，許多物理實驗教材和研究論文都有討論[1-12]。其中有學者對偏向角與入射角以及折射率的之間的關(guān)系進行了研究[3-6]。顧菊觀[3]從幾何光學理論系統(tǒng)地討論了棱鏡偏向角與頂角的關(guān)系,并由Matlab繪出棱鏡頂角與棱鏡最小入射角、材料折射率的關(guān)系曲線.葛松華等[4]根據(jù)三棱鏡偏向角與人射角的關(guān)系，討論了最小偏向角和最小入射角，用MATLAB給出了偏向角與入射角的關(guān)系曲線和最小偏向角與折射率的關(guān)系曲線．李軒和張雪[5]討論了在有出射光線的情況下，三棱鏡的規(guī)格參數(shù)、棱鏡頂角和折射率對入射角和折射角的影響；用MATLAB建立了偏向角與入射角、棱鏡頂角及折射率之間的關(guān)系．文獻[3-5]沒有附計算機程序．李曉勤討論了偏向角與入射角之間的關(guān)系，并繪制了曲線族；用表格列出了臨界入射角和對應(yīng)的偏向角與折射率之間的關(guān)系；還用表格列出了最小偏向角和對應(yīng)的入射角與折射率之間的關(guān)系，并附加了計算程序[6]．不過，文獻[6]還缺少出射角與入射角之間的關(guān)系曲線，也沒有臨界入射角和對應(yīng)的偏向角與折射率之間的關(guān)系曲線，還沒有最小偏向角和對應(yīng)的入射角與折射率之間的關(guān)系曲線．在不同折射率下偏向角與入射角的關(guān)系曲線，水平部分沒有意義，而三棱鏡的折射率公式出現(xiàn)差錯．雖然文獻附有計算機程序，但是程序難于解讀。

本文利用出射角與入射角的關(guān)系式，說明了臨界入射角與折射率之間的關(guān)系，詳細證明了最小偏向角的公式，說明了：當偏向角最小時，入射角與出射角關(guān)于三棱鏡是對稱分布的。本文用曲線族顯示出射角和偏向角與入射角之間的關(guān)系，用曲線顯示臨界入射角和最小偏向角與折射率之間的關(guān)系，用曲面顯示了折射率與入射角和出射角之間的關(guān)系。本文附有MATLAB程序，易懂也易于執(zhí)行。

1 三棱鏡出射角與入射角之間的關(guān)系

如圖1所示，三棱鏡ABC的頂角為α，取為π/3(60°)；i是鏡外入射角，R是鏡內(nèi)折射角，I是鏡內(nèi)入射角，r是鏡外出射角，δ是偏向角。空氣的折射率取1，三棱鏡折射率為n．根據(jù)折射定律可得兩個折射方程。

圖1 三棱鏡的光路圖

sini=nsinR

(1)

sinr=nsinI

(2)

在三角形ADE中，由于

所以

α=R+I

(3)

利用式(3)，式(2)可化為

sinr=nsin(α-R)=n(sinαcosR-cosαsinR)

利用式(1)，上式可化為

(4)

可見：當n一定時，出射角r是入射角i的函數(shù)。如果n=1，由上式可得

sinr=sin(α-i)

因此

r+i=α

(5)

說明：當三棱鏡的折射率與空氣折射率相同時，入射光將無偏折地穿過三棱鏡。當r>90°時，鏡內(nèi)入射光將發(fā)生全反射，當r=90°時，鏡外入射角是臨界角iC，由式(4)可得方程

解得臨界入射角為

(6)

可見：iC隨著n的增加而增加。不過，要發(fā)生全反射，n不能無限制地增加．令iC=90°，由上式可得方程

解得

(7)

當α=60°時，可得nm=2；要發(fā)生全反射，必須滿足條件1

利用MATLAB可設(shè)計程序，繪制不同折射率的出射角的曲線族[7](見附錄)。

如圖2所示，折射率n取1.1到1.9的值，間隔為0.2，出射角r隨入射角i變化是單調(diào)下降的曲線，沒有極值；折射率越大，入射角和出射角的范圍就越小。當折射率比較小時，入射角和出射角的范圍就比較大；當i或r小于零時，表示入射角或出射角在法線的另一側(cè)。

i/°

將出射角r當作自變量，由式(4)可以解得

(8)

這是i關(guān)于r的函數(shù)，是式(4)的反函數(shù)．上式與式(4)在形式上是相同的，這是因為入射光和折射光是可逆的，即光路可逆，所以在圖2中，r-i曲線族關(guān)于r=i軸是對稱的。

2 三棱鏡偏向角與入射角之間的關(guān)系

由圖1可知：三棱鏡的偏向角為

δ=(i-R) + (r-I)=i+r-α

(9)

將式(4)代入上式，可得

(10)

可見：當n一定時，偏向角δ是入射角i的函數(shù)。當r=π/2(90°)時，可得臨界入射角所對應(yīng)的偏向角

(11)

可見：iC對應(yīng)的偏向角δC與臨界入射角iC成線性關(guān)系．當δC=0°時，iC=α-90°；當iC=90°時，δC=180°-α．利用式(6)，上式可化為

(12)

可見：δC隨著n的增加而增加。

如圖3所示，臨界入射角iC隨著折射率n的增加而單調(diào)增加，當n→2時，iC→90°；當n→1時，iC→-30°．如果iC=0，表示入射光沿法線方向入射而產(chǎn)生全反射，由式(6)可得方程

n

解得

(13)

當三棱鏡折射率滿足1

如圖4所示，不論折射率n如何，三棱鏡的偏向角δ都是入射角i的先降后升的曲線族，存在極小值；臨界入射角所對應(yīng)的偏向角分布在一條直線上．當i=90°時，δ的值恰好等于臨界值δC。折射率越大，臨界入射角iC就越大，但是入射角的范圍(iC,90°)就越小。

i/°

為了求偏向角的極小值，式(9)對i求導(dǎo)數(shù)可得

(14)

將式(1)-(3)對i求導(dǎo)數(shù)，可得三個微分方程

cosi=R′ncosR

r′cosr=I′ncosI

R′ +I′=0

由此可得

將上式代入式(14)，令δ′=0，可得1+r′=0，從而可得三角方程

cosRmcosrm=cosImcosim

利用兩個折射公式消除rm和im，可得方程

cos2Rm(1-n2sin2Im)=(1-sin2Im)(1-n2sin2Rm)

上式展開后化簡可得

(n2-1)sin2Rm=(n2-1)sin2Im

因此Rm=Im(取負號無意義)。將此式代入兩個折射公式可得rm=im．這時，偏向角最小，用δm表示。rm=im說明：在偏向角最小的情況下，入射線和出射線關(guān)于三棱鏡是對稱分布的。

將rm=im代入式(9)中，可得最小偏向角公式[5,8-10]

δm=2im-α

(15)

這就是式(15)。這種證明δ極小值的方法最簡單。

由此可見：δm與im成線性關(guān)系．當δm=0°時，im=α/2；當im=90°時，δm=180°-α。在圖4中，最小偏向角δm所對應(yīng)的入射角im分布在一條直線上；折射率n越大，最小偏向角δm就越大。

將rm=im代入式(4)可得三角方程

可以解得

(16)

可見：最小偏向角δm所對應(yīng)的入射角im由折射率n決定。利用上式，式(15)可化為

(17)

可知：最小偏向角δm由折射率n決定．。

如圖5所示，最小偏向角δm和對應(yīng)的入射角im隨著折射率n的增加而單調(diào)增加。當n的定義域取在(1,2)之間時，im的值域是(30°,90°)，δm的值域是(0,120°)。

n

3 分光計中三棱鏡的最小偏向角

分光計中三棱鏡的位置如圖6所示。

圖6 分光計內(nèi)外的光路圖

設(shè)入射光的初始入射角為i0，如果已知折射率n，需要適當選擇i0，使之滿足條件iC

i=i0+θ

(18)

出射角r由式(4)決定，偏向角δ由式(9)或式(10)計算．由于i是θ的函數(shù)，所以r和δ都是θ的函數(shù)。

在分光計的實驗中，偏向角δ將隨著旋轉(zhuǎn)角θ的增加而減小。當δ取極小值δm時，再增加θ，δ將增加。測得與極小值δm對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角為θm，由式(18)可得對應(yīng)的入射角

im=i0+θm

(19)

利用式(15)可得最小偏向角δm。

三棱鏡對鈉黃光的折射率為n=1.618，當i0=40°時，出射角r和偏向角δ與旋轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系如圖7所示。出射角r是單調(diào)遞減的曲線，偏向角δ是先降后升的曲線。當旋轉(zhuǎn)角為θm=14°時，最小偏向角為δm=48°。

θ/°

4 折射率的計算

如果測得某種單色光通過三棱鏡中最小偏向角δm，由式(17)可得三棱鏡的折射率

(20)

如圖8所示，當i0=40°時，如果測得某種單色光的最小偏向角為δm=30°，則三棱鏡對這種單色光的折射率為n=1.414。

θ/°

在最小偏向角難于觀測的情況下，利用式(4)可以解得任意入射角i和出射角r所對應(yīng)的折射率。

(21)

當r=i=im時，由上式可得

(22)

由式(15)可得im=(δm+α)/2，代入上式既得式(20)?？梢姡菏?20)是式(21)的特例。

單色光折射率n隨入射角i和出射角r的變化曲面如圖9所示，n為常數(shù)的線是等高線，就是說：同一個折射率可用多個入射角和出射角測得；只有中間的曲線代表入射角和出射角相等時的折射率。如果測得某種單色光的r=i=45°時，偏向角最小，三棱鏡對這種單色光的折射率為n=11.414。圖9的俯視圖如圖2所示，當n=1時，由式(21)可得直線方程r+i=α，即式(5)，這是曲面與n=1的等高線的交線。

圖9 單色光三棱鏡任意入射角和出射角的折射率

5 結(jié) 語

MATLAB是研究大學物理光學實驗的很好的工具，通過圖像可以發(fā)現(xiàn)問題并提示解決問題的思路。在三棱鏡的公式中，根據(jù)不同折射率的出射角隨入射角變化的曲線族，發(fā)現(xiàn)所有曲線都是單調(diào)下降的，關(guān)于正比例斜軸是對稱分布的，發(fā)現(xiàn)臨界角隨折射率的變化規(guī)律。根據(jù)不同折射率的偏向角隨入射角變化的曲線族，發(fā)現(xiàn)臨界入射角分布在一條直線上，最小偏向角也分布在一條直線上，進而發(fā)現(xiàn)最小偏向角隨折射率的變化規(guī)律。當入射光方向一定時，通過旋轉(zhuǎn)三棱鏡，觀察最小偏向角，即可求出折射率。通過折射率隨入射角和出射角的曲面，說明根據(jù)任意入射和出射角都可以測量折射率，利用最小偏向角測試折射率屬于特殊情況。

MATLAB編程在三棱鏡實驗中的應(yīng)用十分廣泛，不但可以顯示角度的變化規(guī)律，還可以模擬三棱鏡中光的偏向角變化的動畫，甚至演示白光通過三棱鏡的色散現(xiàn)象。