丁穎
摘 要:數(shù)學(xué)歸納法是一種常用的論證方法, 歸納公理和最小數(shù)原理是數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)。將數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行推廣可以看作是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)歸納法的擴充,從而使對數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍更加廣闊。
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)歸納法 歸納公理 最小數(shù)原理 歸納奠基 歸納遞推
一、數(shù)學(xué)歸納法的原理
1.意大利數(shù)學(xué)家C.皮亞諾(C.Peano 1858-1932 )在1889年發(fā)表《算術(shù)原理新方法》,建立了自然數(shù)的公理體系,其中第五條公理是歸納公理。
歸納公理:自然數(shù)的某個集合若含1,而且如果含1個自然數(shù)a,就一定會含a(a=a+1,即a的后繼),那么這個集合含全體自然數(shù)(現(xiàn)代的數(shù)學(xué)理論中認(rèn)為自然數(shù)包括0)。
最小數(shù)原理:設(shè)M是自然數(shù)集的任一非空子集,則必存在1個自然數(shù)m∈M,使對一切n∈M,都有mn。
注:這個原理說明自然數(shù)集N的任一非空子集M都有最小數(shù)。
2.自然數(shù)的歸納公理及最小數(shù)原理證明了數(shù)學(xué)歸納法的正確性,數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于自然數(shù)n的無限多個命題的重要方法。下面給出數(shù)學(xué)歸納法的兩種基本形式。
第一數(shù)學(xué)歸納法:已知一個與自然數(shù)有關(guān)的命題,如果
(1)當(dāng)時,成立;
(2)假設(shè)時,成立,若成立,
那么命題對所有的自然數(shù)n都成立。
證明:(反證法)假設(shè)存在自然數(shù)n使命題不成立,設(shè)這些自然數(shù)組成的集合為M且非空,根據(jù)最小數(shù)原理,M中存在最小數(shù)m,顯然m≠1,若m=1,則,而由條件(1)知成立,與已知矛盾。故m≠1,知m≥2,,又因為m是M中的最小者,于是m-1使成立,由條件(2)可知也是成立的,與不成立矛盾,故對所有自然數(shù)都成立。
第二數(shù)學(xué)歸納法:已知一個與自然數(shù)有關(guān)的命題,如果
(1)當(dāng)時,成立;
(2)假設(shè)時,成立.若也成立,
那么命題對所有自然數(shù)都成立。
證明:設(shè)使成立的自然數(shù)集合為M。因為成立,即,又因為成立,能夠得到成立,所以若,其后繼元。則M=N.故對所有自然數(shù)都成立。
注:在解決實際問題時,條件(1)不一定從n=1開始,這時只要將n=1換成n=n0即可,例如:證明多邊形的內(nèi)角和,n=1時不符合實際,故應(yīng)從n=3時開始論證。有時條件(1)驗證的n不止一個,甚至多個,在此就不舉例了,故對實際問題要具體問題具體分析。
數(shù)學(xué)歸納法的中心思想:用有限次的驗證和一次邏輯推理,代替無限次的驗證過程,實現(xiàn)從無限到有限的轉(zhuǎn)化。而數(shù)學(xué)歸納法的核心為歸納遞推,從而得出數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟。
第一步(歸納奠基):當(dāng)n=n0時,成立;是驗證命題奠基步的正確性。
第二步(歸納遞推):假設(shè)當(dāng)n=k(n≤k)時,成立,推出成立,是推證命題正確性的可傳遞性,兩者缺一不可(為什么在應(yīng)用中說明),同時兩個步驟可以互化,沒有固定的順序,只是在實際學(xué)習(xí)生活中常常習(xí)慣以歸納奠基為第一步,歸納遞推為第二步。
3.數(shù)學(xué)歸納法的直觀顯示
為了更好地理解數(shù)學(xué)歸納法,不外乎是“剖析原理,理清脈絡(luò)”,為了更好地“剖析”“理清”,可以以直觀圖的形式向大家介紹,將“無形”化為“有形”。
(1)直觀圖一
數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)謹(jǐn)上講是需要對每個命題進(jìn)行驗證成立,而條件(1)和(2)是相互獨立的。條件(1)是奠基要說明成立,條件(2)是個假言命題,若成立,則有成立,即:若p則q,斷言為如果p存在則q一定存在,但是p是否存在并未給出事實,實際上說的是一種關(guān)系,而不是確定。在這里可以比喻為一種生產(chǎn)關(guān)系。此時,有一臺功能特殊的加工機,而這臺加工機的功能就是:只要將原料放進(jìn)去,此加工機就能輸出這個產(chǎn)品:
→加工機→
還是上面所說的問題,有了加工機并不代表有了原料,為了使這個加工機的功能更好,借助條件(1)將作為原料,送進(jìn)加工機,根據(jù)此機的功能便有
加工機的工作原理直接顯示了數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)密性。
(2)直觀圖二(流程圖解釋)
數(shù)學(xué)歸納法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想方法,中學(xué)數(shù)學(xué)教材為了說清數(shù)學(xué)歸納法利用多米諾骨牌全部倒下的兩個條件,介紹了數(shù)學(xué)歸納法的思想基礎(chǔ),但是骨牌畢竟是有限的,而數(shù)學(xué)歸納法是有關(guān)自然數(shù)的命題,自然數(shù)是無限的,所以多米諾骨牌不能從無限的角度說明數(shù)學(xué)歸納法,隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,我們知道,計算機語言中的流程圖和它的賦值語句則可以從無限的角度說明。
右邊的流程圖可以表示數(shù)學(xué)歸納法,其中,k=k+1為賦值語句,同一個符號在等式右邊代表相應(yīng)變量的值,在等式的左邊代表賦值對象。
流程圖中,當(dāng)k=n0時,判斷正確即為數(shù)學(xué)歸納法的第一步。
流程圖循環(huán)部分是判斷第一次的k+1成立,即指k=n0+1成立,在通過賦值語句k=k+1循環(huán),第二次判斷(k+1)+1正確,即k=n0+2時命題正確。第三次循環(huán)k又增加了1,即k=n0+3時,命題正確。
……
這樣的循環(huán)可以無限下去,就解決了數(shù)學(xué)歸納法的無限問題,通過計算機中的流程圖更好地將“無形”的數(shù)學(xué)歸納法變?yōu)椤坝行巍钡?,更加逼真確切。
通過以上兩個直觀圖將數(shù)學(xué)歸納法直觀地顯示在眼前,并將數(shù)學(xué)歸納法的原理通過“有形”的方式體現(xiàn)得淋漓盡致,達(dá)到了從無限的角度說明數(shù)學(xué)歸納法,希望有助于您對數(shù)學(xué)歸納法的理解。
二、數(shù)學(xué)歸納法的推廣
數(shù)學(xué)歸納法是一種非常有用的數(shù)學(xué)工具,也是一種重要的數(shù)學(xué)思想。它在論證有關(guān)自然數(shù)n的無限多命題時十分重要,為了使數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍更加廣闊,進(jìn)而對數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行推廣。
先來看數(shù)學(xué)歸納法的兩個變形應(yīng)用。
定理1:設(shè)和都是定義在自然數(shù)集上的函數(shù),則等式對一切自然數(shù)n都成立的充要條件是:
(1)
(2)對一切自然數(shù)n都成立。
證明:(充分性)設(shè)n為任意自然數(shù),因為(已知)。
=
=
=
=
由上可知,,充分性證畢。
(必要性) 因為,n為任意自然數(shù)。則
當(dāng)n=1時,
當(dāng)n=n-1時,
于是,顯然成立,證畢。
例1:求證:對一切自然數(shù)成立。
證明:設(shè)
故。因此原式對一切自然數(shù)成立。
注:證明有關(guān)自然數(shù)的等式的問題,定理1給了我們一種優(yōu)于數(shù)學(xué)歸納法的方法。
定理2:若和分別是定義在自然數(shù)集上的函數(shù),若他們滿足下列條件:
(1)
(2)對任意自然數(shù)n 成立,
則對任意自然數(shù)n成立。
證明:設(shè)n為任意自然數(shù)。因為(已知),故
=
=
=
因為且
所以
故
例2:求證對大于1的自然數(shù)都成立。
證明:設(shè)n為大于1的自然數(shù)
令
當(dāng)n=2時,
故。由定理2,知對大于1的自然數(shù)都成立。
注:證明有關(guān)自然數(shù)的不等式的問題,定理2給了我們一種優(yōu)于數(shù)學(xué)歸納法的方法。
定理3:若是定義在自然數(shù)集上的整系數(shù)多項式,m能整除的充要條件是:
(1)m整除
(2)m整除對任意自然數(shù)n都成立.。
證明:(必要性)因為m能整除,n為任意自然數(shù)。
當(dāng)n=1時,m能整除
而m能整除,從而m能整除。
(充分性)因為m能整除,所以m能整除。故
因此m能整除。
例3:求證能被9整除。
證明:設(shè)n為任意自然數(shù)且
則當(dāng)n=1時,能被9整除。
故對一切自然數(shù)上式都能被9整除。
注1:證明一些有關(guān)整除性的問題,定理3給了我們一種優(yōu)于數(shù)學(xué)歸納法的方法。
注2:對于以上所述要指出“一切自然數(shù)”是廣義上的自然數(shù)集。例如定理2中的應(yīng)用:n是大于1的自然數(shù)。
我們還可以將自然數(shù)系的數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)一步推廣到下有界整數(shù)集上,具體看一下:
定理4 設(shè) 是與整數(shù)有關(guān)的一列命題且滿足一下條件:
(1)成立;
(2)成立成立,
則對于任意整數(shù),命題都成立。
證明:為了使的n為一切自然數(shù),則構(gòu)造函數(shù)。
定義此時是與自然數(shù)有關(guān)的命題,并且滿足
(1)成立;
(2)成立成立。
故對一切自然數(shù)都成立,即對整數(shù)命題也成立。
注:此定理將自然數(shù)集的數(shù)學(xué)歸納法推廣到了整數(shù)集,實質(zhì)上都是遞推的原理。
總之,數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是一種很重要的方法,進(jìn)一步學(xué)好數(shù)學(xué)歸納法不但能夠培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、數(shù)學(xué)化能力、觀察能力、解決綜合性問題的能力以及邏輯思維的能力,還能為學(xué)好高等數(shù)學(xué)打下堅實的基礎(chǔ),因為數(shù)學(xué)歸納法是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接的一個紐帶。
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