張新全 鄧珍珍 代超群 (郵編：230601)

合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

教 學(xué)參 考

用GeoGebra探究一類“果圓”問(wèn)題的軌跡

張新全 鄧珍珍 代超群 (郵編：230601)

合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

將一個(gè)繩套套在兩個(gè)定點(diǎn)上，拉緊并旋轉(zhuǎn)一周可得到一個(gè)橢圓，若將繩套套在多個(gè)定點(diǎn)上拉緊并旋轉(zhuǎn)，得到的軌跡是什么，有何規(guī)律？利用GeoGebra研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)三個(gè)定點(diǎn)組成一個(gè)邊長(zhǎng)為2c的等邊三角形時(shí)，周長(zhǎng)為2a+2c的繩套繞成的圖形由六段橢圓弧組成，其中三個(gè)橢圓弧的長(zhǎng)軸為2a，三個(gè)橢圓弧的長(zhǎng)軸為2a-2c，當(dāng)繩套繞n個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，繞成的圖形由2n段橢圓弧組成，進(jìn)一步得出若干結(jié)論.當(dāng)某個(gè)定點(diǎn)變化時(shí)，軌跡也發(fā)生變化.當(dāng)繩套的長(zhǎng)度變化時(shí)，軌跡也發(fā)生變化.

橢圓；GeoGebra；“果圓”；軌跡

1 研究背景

在小學(xué)和初中學(xué)習(xí)圓時(shí)，老師演示圓的軌跡形成過(guò)程，往往把一條線的一端固定在黑板上，另一端系在粉筆上，拉緊線后，粉筆在黑板上旋轉(zhuǎn)一周，即可畫出一個(gè)圓.在高中學(xué)習(xí)橢圓時(shí)，老師在演示橢圓形成過(guò)程時(shí)，也往往把一條線的兩端固定在黑板上，用粉筆把線拉緊，在黑板上旋轉(zhuǎn)一周，即可畫出一個(gè)橢圓.現(xiàn)在，我們可以用GeoGebra軟件，十分方便地在電腦上演示上述圓與橢圓的形成過(guò)程.受此啟發(fā)，我們把一條線換成一個(gè)封閉的線即繩套，然后套在一個(gè)固定點(diǎn)上，環(huán)繞旋轉(zhuǎn)一周就畫出一個(gè)圓，而把此封閉的曲線套在兩個(gè)固定點(diǎn)上，環(huán)繞旋轉(zhuǎn)一周就可畫出一個(gè)橢圓.進(jìn)一步，如果用一根繩套繞三個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)會(huì)得出什么結(jié)果，繞四個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)又會(huì)得到什么結(jié)果?一直到n個(gè)定點(diǎn)呢？借助GeoGebra軟件，我們可以畫出各種情況下的軌跡，當(dāng)n≥3時(shí)，軌跡不再是橢圓，而是一些橢圓弧組成的封閉曲線，這種曲線我們稱之為“果圓” .約定：繩套是指柔軟而無(wú)彈性的封閉細(xì)線.

2 研究思路和內(nèi)容

2.1 研究思路

由于一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定點(diǎn)的情況比較簡(jiǎn)單，這里我們主要研究三個(gè)或三個(gè)以上定點(diǎn)的情形.先研究三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形的情形，將繩套套在等邊三角形上，環(huán)繞一周得出的軌跡及方程，然后借助GeoGebra，改變?nèi)切蔚男螤睿芯寇壽E的變化規(guī)律.最后再將三角形拓展成凸四邊形，凸五邊形，凸n邊形的情形，再觀察軌跡的變化，得出結(jié)論.研究方法主要采用實(shí)驗(yàn)法和論證法，其中實(shí)驗(yàn)法是用GeoGebra軟件繪制各種情況下的軌跡.

2.2 研究過(guò)程

(1)三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成正三角形

設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2c，繩套的周長(zhǎng)為2a+2c，其中a>2c>0，將繩套旋轉(zhuǎn)后得到的軌跡分別為橢圓弧A1A2、A2C1、C1C2、C2B1、B1B2、B2A1，利用GeoGebra軟件畫出各段橢圓弧，如圖1.

圖1

同理，點(diǎn)A2為

橢圓弧A1A2的方程為

同理可得，點(diǎn)B1為

故橢圓弧B1C2的方程為

先將坐標(biāo)原點(diǎn)D平移至正△ABC的中心O，再以O(shè)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，經(jīng)過(guò)這兩次坐標(biāo)變換，即可由橢圓弧A1A2的方程得到橢圓弧B1B2的方程，在此基礎(chǔ)上，再以O(shè)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，即可由橢圓弧B1B2的方程得到橢圓弧C1C2的方程.(在此不再逐一推導(dǎo))

將坐標(biāo)原點(diǎn)D平移至正△ABC的中心O，再以O(shè)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，經(jīng)過(guò)這兩次坐標(biāo)變換，即可由橢圓弧B1C2的方程得到橢圓弧A2C1的方程，在此基礎(chǔ)上，再以O(shè)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，即可由橢圓弧B1B2的方程得到橢圓弧A1B2的方程.(在此不再逐一推導(dǎo))

(2)當(dāng)正△ABC中頂點(diǎn)A沿BC邊上的高AD方向運(yùn)動(dòng)時(shí)“果圓”的變化情況

圖2

如圖2，設(shè)AD的長(zhǎng)度為h，當(dāng)h變化時(shí)，我們研究這六段弧的變化情況.

橢圓弧B1C2的長(zhǎng)軸為：

橢圓弧B1B2的長(zhǎng)軸為

橢圓弧C1C2的長(zhǎng)軸為

綜上所述，當(dāng)A點(diǎn)沿AD方向向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，橢圓弧B1B2、A2C1、C1C2、A1B2的長(zhǎng)軸均增大，離心率均減小，橢圓弧均變圓，弧長(zhǎng)均變短，橢圓弧A1A2的長(zhǎng)軸、焦距、離心率均不變，弧長(zhǎng)變長(zhǎng)，橢圓弧B1C2的長(zhǎng)軸變長(zhǎng)、焦距不變，離心率變小，而弧長(zhǎng)變長(zhǎng)，當(dāng)A點(diǎn)移動(dòng)到D點(diǎn)與B點(diǎn)C點(diǎn)在同一直線上時(shí)，橢圓弧B1B2、A2C1、C1C2、A1B2的弧長(zhǎng)均變?yōu)?，A1A2弧與B1C2弧連成一個(gè)完整的橢圓.

(3)三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成任意三角形

當(dāng)三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成任意三角形時(shí)，將繩套套在三角形上，環(huán)繞一周得出的軌跡仍是由六段橢圓弧構(gòu)成的封閉曲線即“果圓”，利用GeoGebra畫出軌跡如圖3.

圖3

設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為BC=a,CA=b,AB=c,周長(zhǎng)p=a+b+c,繩套的長(zhǎng)為l,且l>p.

橢圓弧A1A2是以B、C為焦點(diǎn)，以l-a為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線AA1與射線AA2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧B1C2是以B、C為焦點(diǎn)，以l-b-c為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線AB1與射線AC2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧B1B2是以A、C為焦點(diǎn)，以l-b為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線BB1與射線BB2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧A2C1是以A、C為焦點(diǎn)，以l-a-c為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線BA2與射線BC1之間的那段橢圓弧.

橢圓弧C1C2是以A、B為焦點(diǎn)，以l-c為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線CC1與射線CC2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧A1B2是以A、B為焦點(diǎn)，以l-a-b為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線CA1與射線CB2之間的那段橢圓弧.

理論上，即便對(duì)于不共線的任意三點(diǎn)，如圖2的情形，我們?nèi)匀荒軌蚪⑸鲜隽螜E圓弧的方程，但是由于參數(shù)過(guò)多，建立起來(lái)的方程極其復(fù)雜，形式也不美觀，應(yīng)用價(jià)值不大，我們?cè)诖司筒辉俳o出它們的方程.用GeoGebra直接作出它們的軌跡，同樣是描述軌跡的一種重要方式，且直觀生動(dòng)，易于推廣.

利用GeoGebra的動(dòng)畫和動(dòng)態(tài)的功能，當(dāng)A、B、C三點(diǎn)在平面上隨機(jī)移動(dòng)時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“果圓”的形狀也在相應(yīng)改變；當(dāng)A、B、C三點(diǎn)不動(dòng)、讓繩套的長(zhǎng)度連續(xù)變化時(shí)，也會(huì)發(fā)現(xiàn)“果圓”的形狀同樣在相應(yīng)改變；當(dāng)A、B、C三點(diǎn)在平面上隨機(jī)移動(dòng)、繩套的長(zhǎng)度連續(xù)變化時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“果圓”的形狀也在相應(yīng)改變.

通過(guò)GeoGebra的動(dòng)態(tài)演示，我們也會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，“果圓”變成一個(gè)完整的橢圓.

(4)四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成凸四邊形

如圖4，如果四點(diǎn)A、B、C、D構(gòu)成凹四邊形時(shí)，繩套始終不能套到點(diǎn)D，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的用繩套套三角形的問(wèn)題，所以我們只研究四點(diǎn)構(gòu)成凸四邊形的情形.對(duì)于其他多邊形也是如此，凹進(jìn)去的點(diǎn)總是套不到，所以我們只要研究凸多邊形即可.

圖4

對(duì)于任意四邊形的情形，問(wèn)題變得更為復(fù)雜，經(jīng)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)其復(fù)雜性在于：對(duì)于有些四邊形，只能套住3個(gè)點(diǎn)或4個(gè)點(diǎn)兩種情形，而對(duì)于另外一些四邊形，卻能套住2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)或4個(gè)點(diǎn)三種情形.要想建立所套出軌跡的一般方程，幾乎是不可能的.但是用GeoGebra卻能十分方便地探究其軌跡，并且能夠作出任意給定四邊形所能套出的動(dòng)態(tài)軌跡.

下面圖5就是用給定長(zhǎng)度繩套來(lái)套四邊形ABCD所得到的“果圓”，它是由8段橢圓弧組成.當(dāng)改變繩套的長(zhǎng)度或四邊形的形狀時(shí)，“果圓”的形狀也在相應(yīng)地變動(dòng)，請(qǐng)演示GeoGebra文件，感受這種動(dòng)態(tài)變化過(guò)程.

注意 由于圖形中隱藏的點(diǎn)、線太多，在GeoGebra文件中調(diào)整繩套線長(zhǎng)度或四邊形的形狀時(shí)務(wù)必微調(diào).

圖5

設(shè)四邊形ABCD的四邊長(zhǎng)分別記為AB=a,BC=b,CD=c,DA=d. 其周長(zhǎng)記為p=a+b+c+d,繩套的周長(zhǎng)為l(l>p).下面對(duì)圖5中的8段橢圓弧予以說(shuō)明.

同時(shí)約定：l>a+b+c+AE+DE且l>b+c+d+AF+BF,否則橢圓弧E1E2與F1F2就會(huì)落在有限區(qū)域△ADE和△ABF內(nèi).

橢圓弧E1E2是以B、C為焦點(diǎn)，以l-b為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線EE1與射線EE2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧E2F1是以B、D為焦點(diǎn)，以l-b-c為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線FF1與射線EE2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧F1F2是以C、D為焦點(diǎn)，以l-c為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線FF1與射線FF2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧F2A1是以A、C為焦點(diǎn)，以l-c-d為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線FF2與射線BA1之間的那段橢圓弧.

橢圓弧A1C1是以B、C為焦點(diǎn)，以l-c-d-a為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線BA1與射線CC1之間的那段橢圓弧.

橢圓弧C1C2是以A、D為焦點(diǎn)，以l-a-d為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線CC1與射線CC2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧C2A2是以C、D為焦點(diǎn)，以l-a-b-d為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線CC2與射線DA2之間的那段橢圓弧.

橢圓弧A2E1是以A、C為焦點(diǎn)，以l-a-b為長(zhǎng)軸且?jiàn)A在射線EE1與射線DA2之間的那段橢圓弧.

(5)n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成凸n邊形

利用幾何畫板進(jìn)行深入探究，我們得出以下一般結(jié)論：

在凸n邊形A1A2…An中，記A1A2=a1,A2A3=a2,A3A4=a3,…,AnA1=an，其周長(zhǎng)為p，繩套的長(zhǎng)度為l.

①用繩套套此n邊形，得到的軌跡是一個(gè)由2n段橢圓弧構(gòu)成的“果圓”；

②凸n邊形A1A2…An的n條邊所在直線把平面恰好劃分出2n個(gè)無(wú)限區(qū)域；

③當(dāng)l充分大(或l遠(yuǎn)大于p)時(shí)，“果圓”的各段橢圓弧恰好落在上述2n個(gè)無(wú)限區(qū)域；

④若凸n邊形A1A2…An的n條邊所在直線沒(méi)有任何2條是平行的，且l充分大(或l遠(yuǎn)大于p)，則“果圓”的各段橢圓弧恰好兩兩成對(duì)地落于對(duì)角形的無(wú)限區(qū)域內(nèi)(共n對(duì))，這成對(duì)的橢圓弧具有相同的焦點(diǎn)但長(zhǎng)軸長(zhǎng)不同，其上的點(diǎn)套住的n邊形頂點(diǎn)數(shù)之和為n+2.(如，圖5中區(qū)域A1BFF2與區(qū)域A2DEE2就是位于對(duì)角形的一對(duì)無(wú)限區(qū)域，其他類似)

(6)空間推廣

在(5)中，把“n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成凸n邊形”改為“n條平行線構(gòu)成凸n直棱柱面”，“繩套”改換成“帶面”，類似地，也可得到相應(yīng)的結(jié)論，此處不一一贅述.

約定：“帶面”就是柔軟而沒(méi)有彈性的圓柱面.“帶面”的周長(zhǎng)大于凸n直棱柱面的周長(zhǎng)，否則套不上去.

用“帶面”去套凸n直棱柱面得到的軌跡是由2n片橢圓弧面構(gòu)成的曲面，它也是柱面，我們不妨稱之為“果圓柱面”.

3 進(jìn)一步研究的展望

本研究得出的結(jié)論主要利用GeoGebra實(shí)驗(yàn)探究得到的，某些關(guān)鍵結(jié)論還缺少嚴(yán)格的演繹證明，這是我們后續(xù)要做的研究.

本研究提出的“果圓”與“果圓柱面”是否還有其他的一些深層次性質(zhì)，也是進(jìn)一步研究的課題.

我們認(rèn)為，“果圓”與“果圓柱面”在工業(yè)設(shè)計(jì)中肯定有用，比如產(chǎn)品可以設(shè)計(jì)成這種形狀等，它們?cè)谏a(chǎn)、生活和科學(xué)研究中的其他用途，也值得我們?nèi)ヌ剿骱屯诰?

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合肥師范學(xué)院2016年重點(diǎn)課題(項(xiàng)目編號(hào)：2016JCJY07)，合肥師范學(xué)院2017年研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：2017YJS11)

2017-02-06)