郝連軍

遼寧石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院

微分法求切線方程在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

郝連軍

遼寧石化職業(yè)技術(shù)學(xué)院

高等數(shù)學(xué)中求曲線（或曲面）的切線（或切面）方程是學(xué)生必須掌握的知識(shí)，但是對(duì)于初學(xué)者掌握起來(lái)有一定難度，隨著學(xué)習(xí)的深入我們可以利用更簡(jiǎn)潔的方法來(lái)解決這一方面的問(wèn)題。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在很小的范圍內(nèi)，可以利用切線代替小曲線，也就是以直帶曲。這樣可以利用微分學(xué)的知識(shí)化微分為增量（差分）的方法，求曲線（或曲面）的切線（或切面）方程。本文向大家介紹一種簡(jiǎn)便方法——改微分求切法線（或切面）法．這個(gè)方法簡(jiǎn)便易行，是以直代曲的一個(gè)典型方法．我們從四個(gè)方面舉例說(shuō)明．

微分；切線；法線；微分求切線；高等數(shù)學(xué)

1、改微分求切法線（或切面）的原理和步驟

定理：光滑曲線y=f(x)在x0點(diǎn)與其切線有相同的微分，且這個(gè)微分就是對(duì)應(yīng)切線的增量。

證明：曲線y=f(x)在(x0,y0)點(diǎn)切線的斜率k=f′(x0)；

曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)(x0,y0)的切線方程是Y=y0+f′(x0)(x-x0)；

該切線方程在點(diǎn)(x0,y0)處的微分為dY=f′(x0)dx與曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,y0)處的微分是dy=f′(x0)dx相等。

再有Y=y0+f′(x0)(x-x0)是關(guān)于x的線性函數(shù)，且dx=△x，故△y=dy，所以△y=dy=dY=△Y。

這其實(shí)就是微分的幾何解釋，不過(guò)現(xiàn)在我們是換了一個(gè)角度來(lái)看這個(gè)事實(shí)，從而為求切線鋪平了道路，根據(jù)這個(gè)定理，曲線y=f(x)在點(diǎn)x0的微分可以看作其切線在該點(diǎn)的微分，進(jìn)而可看成切線在x0點(diǎn)對(duì)應(yīng)于dx=△x的增量，然后把增量改成對(duì)應(yīng)的差的形式，就得到曲線過(guò)(x0,y0)點(diǎn)的切線的方程。

由此可給求出曲線切線及曲面切平面的一個(gè)簡(jiǎn)單方法——改微分求切法線（或切面）法，這個(gè)方法不論是對(duì)曲線或曲面，也不論其形式是方程或方程組，都照樣適用。

改微分求切法線（或切面）的步驟如下：

(1)先求曲線(或曲面)方程在給定點(diǎn)微分；

(2)再將微分改為增量，進(jìn)而改為相應(yīng)的差式便得到切線(或切平面)方程；

(3)借助解析幾何知識(shí)，進(jìn)而得到與其相關(guān)的法平面(或法線)的方程。

2、改微分求切法線（或切面）法的應(yīng)用

（一）求顯函數(shù)曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)p0(x0,y0)的切線方程和法線方程。

（1）對(duì)曲線方程y=f(x)在點(diǎn)p0(x0,y0)處微分得dy=f′(x0)dx

式子（1）就是所求的切線方程。

因?yàn)檫^(guò)p0(x0,y0)點(diǎn)的法線斜率于此切線斜率互為負(fù)倒數(shù)，故所求法線方程為：

當(dāng)f′(x0)=0時(shí)，法線方程為x=x0。

例1、求曲線y=x3+3x-8在x=2處的切線的方程和法線方程。

解：改微分求切法線法。

對(duì)曲線y=x3+3x-8在x=2處求微分得：

dy=3×4dx+3dx即15dx-dy=0。

改微分為增量得15(x-2)-(y-6)=0即15x-y-24=0這就是所求的切線方程。

（二）求隱函數(shù)曲線F(x,y)=0過(guò)點(diǎn)p0(x0,y0)的切線方程和法線方程。

（1）對(duì)曲線方程F(x,y)=0在點(diǎn)p0(x0,y0)處求微分得：

F′x(x0,y0)dx+F′y(x0,y0)dy=0

（2）改微分為增量得：

式子（2）就是所求的切線方程。

由此可得所求法線的法向量為：

化簡(jiǎn)得：5x+2y-7=0

（三）求顯函數(shù)曲面z=f(x,y)過(guò)點(diǎn)p0(x0,y0,z0)的切平面和法線方程。

（1）若方程z=f(x,y)在點(diǎn)p0(x0,y0,z0)存在偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)方程z=f(x,y)在p0(x0,y0,z0)點(diǎn)微分得:

dz=f′x(x0,y0)dx+f′y(x0,y0)dy

（2）改微分為增量得

式子（3）就是所求的切平面方程。

例2求曲線y3+y2=2x在（1，1）點(diǎn)處的切線和法線方程。

解：改微分求切法線。

對(duì)曲線y3+y2=2x在（1，1）點(diǎn)處求微分得：

3dy+2dy=2dx

即：

2dx-5dy=0

改微分為增量得：

2(x-1)-5(y-1)=0

即：

2x-5y+3=0

這就是所求的切線方程。

法線方程為因?yàn)槠矫娣ㄏ蛄繛椋?/p>