關(guān)勁文

[摘 要] 將孤立的知識(shí)點(diǎn)、技能點(diǎn)，重新編織成網(wǎng)，使題與題串聯(lián)，知識(shí)點(diǎn)深化，并將各知識(shí)點(diǎn)中的信息準(zhǔn)確地、簡(jiǎn)捷地進(jìn)行交流、轉(zhuǎn)化和重組，從而建立思維模型，理清基本思路及解題的應(yīng)對(duì)策略。

[關(guān)鍵詞] 整合；融通；建模

中考數(shù)學(xué)考什么，有課程標(biāo)準(zhǔn)；中考數(shù)學(xué)怎么考，有中考數(shù)學(xué)試卷。在這里，我們只關(guān)心中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)怎么教——就是如何把中考數(shù)學(xué)的問(wèn)題一節(jié)一節(jié)地落實(shí)到我們的復(fù)習(xí)過(guò)程當(dāng)中。筆者認(rèn)為中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的目的就是要深化、綜合、提高。怎樣才能達(dá)到這個(gè)目的呢？這就需要我們細(xì)心地梳理專(zhuān)題，使知識(shí)能夠整合、遷移，把知識(shí)間的縱橫聯(lián)系適度綜合，當(dāng)然也要優(yōu)化習(xí)題設(shè)計(jì)，從而提高能力。具體來(lái)說(shuō)，要提高復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)效率和教學(xué)效益或教學(xué)效果，可抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)——整合、融通、建模。

一、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要注重整合

整合是將孤立的知識(shí)點(diǎn)、技能點(diǎn)，重新編織成網(wǎng)。

筆者認(rèn)為，復(fù)習(xí)絕不是重來(lái)一遍。而是將知識(shí)點(diǎn)整合，在舊中有新，讓學(xué)生感受到每一節(jié)復(fù)習(xí)課都是有新意的，絕不是他想象的那樣：你已經(jīng)會(huì)了。哪個(gè)層次的學(xué)生都是這樣，他來(lái)的時(shí)候是有困惑的，走的時(shí)候原來(lái)的困惑解決了，又有了新的困惑，把所學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，包括考試內(nèi)容的富礦面，包括學(xué)生在復(fù)習(xí)階段知識(shí)能力的滑坡點(diǎn)，以及學(xué)科成績(jī)的提升點(diǎn)，重新鏈接——以新的線索把它鏈接起來(lái)。

波利亞的《怎樣解題》里面有一句話：最糟糕的老師，讓學(xué)生聽(tīng)起來(lái)數(shù)學(xué)課就是每一課是每一課，每一節(jié)是每一節(jié)，每一題是每一題，沒(méi)有任何聯(lián)系；高明的數(shù)學(xué)老師會(huì)讓數(shù)學(xué)和生活發(fā)生聯(lián)系，讓這一節(jié)的知識(shí)只是和上一節(jié)的知識(shí)發(fā)生聯(lián)系。一旦聯(lián)系起來(lái)了，那么就簡(jiǎn)單了。比如面積的求法，要加以總結(jié)的話，很簡(jiǎn)單，無(wú)外乎就是哪幾種——這里筆者舉一個(gè)微課的例子來(lái)說(shuō)明。課題名稱(chēng)：注重?cái)?shù)學(xué)思想，巧求陰影面積。

題目1：如圖1，在大圓O與小圓O1相切于C點(diǎn)，大圓半徑與小圓半徑相切于F點(diǎn)，且AB∥CD，AB=4cm，求陰影部分的面積。

其實(shí)陰影面積分兩類(lèi)：一類(lèi)是規(guī)則的，所謂規(guī)則就是學(xué)生熟識(shí)的，有公式計(jì)算的。第二類(lèi)是不規(guī)則的，就是沒(méi)有公式直接計(jì)算的。由于陰影面積不規(guī)則，那么方法有三種。

第一種是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想求解，就是化為學(xué)生熟識(shí)的。比如題目1中的這個(gè)圖形可運(yùn)用平移，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)同心半圓的問(wèn)題——這樣原來(lái)不熟識(shí)的陰影部分就變成了學(xué)生非常熟識(shí)的一個(gè)圖形，然后利用垂徑定理來(lái)求得圓環(huán)的面積，這樣就顯得非常簡(jiǎn)單。

第二種方法是運(yùn)用方程的思

想求解。

題目2：如圖2，正方形的邊長(zhǎng)為a，以個(gè)邊長(zhǎng)為直徑在正方形內(nèi)畫(huà)半圓，求圖中陰影部分的面積。

雖然這個(gè)花瓣陰影部分的面積是不規(guī)則的，如果用轉(zhuǎn)化的方法也能求得正確答案，但是更好的辦法，筆者認(rèn)為是用方程的思想。

第三種方法是運(yùn)用整體思想求解。

題目3：如圖3，⊙A、⊙B、⊙C兩兩不相交，且半徑都為0.5cm，求圖中的三個(gè)扇形陰影的面積之和。

我們可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移，把這三個(gè)扇形“挪”在一起，這樣三個(gè)扇形就組合成了一個(gè)半圓了，從而求解。

筆者認(rèn)為，求陰影部分的面積可歸結(jié)為四種方法。第一種，利用公式直接計(jì)算；第二種，轉(zhuǎn)化思想，利用平移、旋轉(zhuǎn)進(jìn)行計(jì)算——就是把不會(huì)的變成會(huì)的，把未知的變成已知的；第三種，巧設(shè)未知數(shù)，利用方程思想求陰影部分的面積——這就是數(shù)形結(jié)合最完美的時(shí)刻，也是代數(shù)與幾何融為一體的一個(gè)關(guān)鍵；第四種方法：整體思想——縱觀全局進(jìn)行整體計(jì)算。

把以上四種方法教給學(xué)生后，學(xué)生將受益無(wú)窮——我們不用再做那么多題了！所有題都考不出這四種方法之外。

從以上微課的例子可以看出，整合就是要題從教材當(dāng)中，從習(xí)題編制的共性和解題的相識(shí)點(diǎn)中，從題與題方法之間，能夠串聯(lián)，使很多知識(shí)點(diǎn)可以深化、結(jié)合。換句話說(shuō)，我們要從雜亂無(wú)章的習(xí)題中，概括出一般的原理來(lái)，只有這樣，才能遷移和應(yīng)用。要想“舉一反三”，前提是“舉三反一”。

二、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要注重融通

數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，它的知識(shí)是鏈條化的，環(huán)環(huán)相扣，不斷延伸。知識(shí)之間就像藤蔓一樣，盤(pán)根錯(cuò)節(jié)，你中有我，我中有你，不斷發(fā)展。所以說(shuō)，數(shù)學(xué)是一門(mén)關(guān)系學(xué)。比如：方程與不等式解扯上關(guān)系，與函數(shù)又有關(guān)系……如果我們把這個(gè)都研究透了，內(nèi)化成了自己的東西，然后交給學(xué)生，學(xué)生就不用死記硬背。

當(dāng)知識(shí)越來(lái)越豐富時(shí)，聯(lián)系就越來(lái)越復(fù)雜。新知識(shí)不但豐富了原有的知識(shí)，新知識(shí)在沿襲原有知識(shí)的一些特殊同時(shí)，又會(huì)發(fā)生重要變化。

例如，相似三角形和全等三角形，全等三角形是相似三角形的特殊情況——先接觸特殊，再去弄清一般，掌握這一根鏈條，學(xué)生學(xué)起來(lái)就會(huì)輕松一些。把一個(gè)知識(shí)點(diǎn)及其中的信息準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷地進(jìn)行交流、傳輸、轉(zhuǎn)化和重組，學(xué)生學(xué)起來(lái)就覺(jué)得有味。

復(fù)習(xí)課要融通，就是將各知識(shí)點(diǎn)及其中的信息準(zhǔn)確地、簡(jiǎn)捷地進(jìn)行交流、傳輸、轉(zhuǎn)化和重組。融通要做到兩個(gè)方面：第一是講解與訓(xùn)練，就是講練結(jié)合，理順?biāo)鶎W(xué)知識(shí)點(diǎn)，理順解題方法，理清解題規(guī)律；第二是把課內(nèi)與課外融通，對(duì)于教材和試卷，教材和試題之間要搭建橋梁。我們的本和根都在教材，其他都是枝葉。

題目（1），如圖4，圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)G，求證：陰影部分四邊形的面積是△ABC的面積的。

題目（2），如圖5，若∠DOE保持1200角度不變，求證：當(dāng)∠DOE繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，由半徑OE、OD和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的。

其實(shí)這樣的題目，如果我們平時(shí)給學(xué)生灌輸好數(shù)學(xué)習(xí)慣——搞特殊，問(wèn)題就迎刃而解。特殊情況是：一般情況下圖形的位置發(fā)生變化，結(jié)論有時(shí)候不變，有時(shí)候是有規(guī)律地變化。

這道題在復(fù)習(xí)的時(shí)候，筆者將其豐富了：

（1）將正三角形換成圓內(nèi)接正方形，其他的條件不變。

（2）換成圓內(nèi)接正五邊形。

（3）換圓內(nèi)接正六邊形。

最后，擴(kuò)展為圓內(nèi)接正n邊形。里面的陰影部分的面積與這個(gè)正多邊形的面積的關(guān)系也跟著有規(guī)律地變化——和邊長(zhǎng)有關(guān)系。

三、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要滲透建模思想

建模思想是數(shù)學(xué)科中非常重要的思想。在復(fù)習(xí)課中如何建模？這里談兩個(gè)方面，第一個(gè)是要有思維模型，就是學(xué)生遇到這樣的問(wèn)題，要有基本思路和應(yīng)對(duì)策略。要讓學(xué)生的思維要有落腳點(diǎn)，有出發(fā)點(diǎn)也要有落腳點(diǎn)，知道他的思維落到何處去。第二個(gè)是要有答案模型。就是老師為什么要在黑板上示范呢？更多時(shí)候是給學(xué)生示范答案模型——這一類(lèi)問(wèn)題，就是這樣解決的。因此，我們要優(yōu)化講課的模式。在復(fù)習(xí)課當(dāng)中，內(nèi)容要全，當(dāng)然不是指面面俱到。這里說(shuō)的是知識(shí)點(diǎn)，思想方法，包括規(guī)律，這些每節(jié)課都要揭示出來(lái)，時(shí)間要足（學(xué)生訓(xùn)練時(shí)間要足），解題方法要靈活。反對(duì)三點(diǎn)：（1）蜻蜓點(diǎn)水式講評(píng)；（2）就題論題式講評(píng)；（3）面面俱到式講評(píng)。

例如：解直角三角形這一章的復(fù)習(xí)，歸根到底，就是要揭示它的模型和方法。

例如：圖6，在ABC中，∠A=30゜，tanB=，AC=2，求AB。

學(xué)生在復(fù)習(xí)課堂上，出現(xiàn)的第一類(lèi)錯(cuò)誤：有的學(xué)生想當(dāng)然的∠C=90゜；第二類(lèi)錯(cuò)誤：認(rèn)為tanB=是錯(cuò)誤的。教師請(qǐng)學(xué)生來(lái)說(shuō)，問(wèn)題在哪里？他是怎么做的。多數(shù)學(xué)生回答說(shuō)，題目中沒(méi)有直角，所以要作垂線，教師鼓勵(lì)他想法很好，你是怎么做的呢？他說(shuō)過(guò)點(diǎn)C作高。教師追問(wèn)，為什么選C呢？過(guò)點(diǎn)A作高，過(guò)點(diǎn)B也可以呀，他就回答不出來(lái)了。教師又問(wèn)：其他同學(xué)是不是過(guò)點(diǎn)C作高？做出來(lái)的同學(xué)都是選過(guò)點(diǎn)C作高，教師問(wèn)他為什么過(guò)點(diǎn)C作高？學(xué)生回答說(shuō)AB水平，教師說(shuō)，你可以把作業(yè)本轉(zhuǎn)一下，那樣做行不行？大家一致認(rèn)為：可以。這就出問(wèn)題了。教師說(shuō)：不行！理由是過(guò)點(diǎn)A作高，把已知∠A=30゜的條件破壞了，過(guò)點(diǎn)B作高，也把條件tanB=破壞了，學(xué)生才恍然大悟，他們知道了為什么要作垂線，目的就是要構(gòu)造直角三角形。為什么要構(gòu)造直角三角形，因?yàn)樵陬}目中，30゜這個(gè)條件經(jīng)常會(huì)和直角三角形聯(lián)系，尤其是∠B的正切，它出現(xiàn)的前提條件，背景必須是直角三角形，所以我們要這樣做，而且為什么過(guò)C點(diǎn)作，已經(jīng)說(shuō)清楚了。這樣就引導(dǎo)學(xué)生觀察求AB，AB由于過(guò)點(diǎn)C的垂線分成了AD、DB兩段了，是兩條線段的和，同時(shí)AD和BD是極為特殊的線段，因?yàn)樗鼈兌荚谥苯侨切沃小D(zhuǎn)化為解直角三角形，所以這個(gè)問(wèn)題可以解決了。學(xué)生把這道題解完后，覺(jué)得很滿足。因?yàn)槠綍r(shí)作業(yè)沒(méi)有這樣做過(guò)。

總之，在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，教師要關(guān)注學(xué)生的薄弱在哪里，不光是知識(shí)上的欠缺，還有解釋模塊上的一些薄弱點(diǎn)，包括思維方式上的習(xí)慣錯(cuò)誤，整個(gè)解決應(yīng)用問(wèn)題一些錯(cuò)誤的定勢(shì)，我們都要把它牢牢地掌握。將那些若明若暗的知識(shí)、若斷若續(xù)的線索、若即若離的知識(shí)，用一條明線串起來(lái)。那些五花八門(mén)、錯(cuò)綜復(fù)雜的題目，是做不完的——但我們可用一條暗線貫穿其中，那就是思想和方法。所以說(shuō)：中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課大有作為。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]劉案清.如何讓中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)更“專(zhuān)”[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2015（05）.

[2]陳紅云.初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生“自主”學(xué)習(xí)能力初探[J].課程教材教學(xué)研究，2014（04）.

[3]翟友勇.重視解題后反思，讓思維繼續(xù)飛翔[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（10）.

（責(zé)任編輯：張華偉）