☉江蘇省如東高級中學 郭 偉

立體幾何規(guī)則課教學“三化”策略

☉江蘇省如東高級中學 郭 偉

通常我們把數(shù)學中關(guān)于公式、定理、法則等內(nèi)容的課堂教學稱為“規(guī)則課”，公理、定理、推論貫穿高中立體幾何的始終，因此，規(guī)則課是立體幾何的主要課型，在教學中處于核心地位.眾所周知，新課程降低了立體幾何嚴謹“邏輯推理”的教學難度，對其中涉及的定理與推論基本不作嚴格證明要求，而是要求在加強“幾何直觀”與“空間觀念”的基礎上，主張采用“直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質(zhì)”.在實際教學中，相當數(shù)量的教師認為空間觀念和幾何直觀固然重要，但它們只能作為發(fā)現(xiàn)命題的一種方式，相比之下，邏輯推理更加容易操作，定理的證明過程還是“唱主角”，立體幾何規(guī)則課教學又回到了“老路”.若讓立體幾何的教學承載太多的邏輯推理功能，而忽視空間想象與空間觀念的培養(yǎng)，就容易導致學生用“生硬的推理”詮釋復雜的空間關(guān)系.因此，在立體幾何規(guī)則課教學中，如何能夠凸顯新課程理念，并且實現(xiàn)有效教學是擺在我們面前的一道“難題”.下面筆者就以“平面與平面平行的判定定理”為例，談談對此的看法.

一、生活化——借助實物道具，提出問題

我們生活在一個空間世界，時時刻刻都被幾何現(xiàn)象與模型所包圍，大到高樓大廈、公路橋梁，小到橡皮鉛筆、螺絲尺具，這些都是實實在在的幾何模型，是發(fā)現(xiàn)幾何直觀與空間觀念的現(xiàn)成載體.不僅如此，還有很多行業(yè)本身就與幾何相關(guān)，其中傳統(tǒng)的木工行業(yè)與立體幾何聯(lián)系最緊密.比如，立體幾何的三大公理都能在木工活中找到其“影子”，木工通常用一把直尺在桌面上處處置放，以檢驗桌面是否平整.如果尺上有兩點在桌面上，而有其他點不在桌面上，則就說明桌面不平整，否則桌面就是平的，木工利用的就是“公理1”；在裝箱子的蓋子時，往往用到兩塊鉸鏈與一把鎖，這就體現(xiàn)了“公理2”的思想；在拼接兩塊木板時，通常在其中一塊上開一個“凹槽”，在另一塊上造出一個“凸起”，然后兩塊木板就可以榫合在一起了，這不就是“公理3”的真實寫照嗎？因此，現(xiàn)實模型是發(fā)現(xiàn)幾何定理及性質(zhì)的絕好載體，通過對解決生活中具體問題的思考，從中就可以提出具有價值的數(shù)學問題.

師：這是一個同學制作的一條小木凳，你們能否想辦法判斷它是否平穩(wěn)？

生：測量一下小木凳的凳腿，看它們的長度是否一樣.（根據(jù)生活經(jīng)驗，學生很快想到了辦法.）

師：需要測量幾條凳腿的長度？

生1：四條凳腿.

生2：不對，三條凳腿就夠了.

生3：兩條好像也可以.

……

（經(jīng)過學生討論，最終需要測量三條凳腿長度就行了.）

師：這個問題反映了立體幾何中的什么性質(zhì)，你能把這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題嗎？

生4：木凳是否平穩(wěn)取決于凳面與地面是否平行，這個問題可以轉(zhuǎn)化為立體幾何中面面平行問題.

師：能否借助凳面與地面平行的方法來判斷空間中平面與平面平行.

生5：若一個面中有不共線的三個點到另一個面的距離相等，則這兩個平面平行.

師：這個判定方法正確嗎？

當學生對空間圖形認識不清時，基于錯誤的空間認識進行推理就會得到錯誤的結(jié)論.借助現(xiàn)實的具體模型不僅有利于促進學生對于空間問題的理解，而且有利于架起學生的生活經(jīng)驗與數(shù)學原理聯(lián)系的橋梁，這充分體現(xiàn)了“數(shù)學的學習建立在學生原有的認知的基礎上”的建構(gòu)主義教學理念.

二、公理化——立足知識體系，尋覓線索

立體幾何是以公理化的方法構(gòu)建的邏輯嚴密的學科體系，是數(shù)學邏輯嚴謹性的明顯體現(xiàn).公理化方法的作用在于，由一組公理作為出發(fā)點，以推演規(guī)則為工具，把某一范圍內(nèi)（或系統(tǒng)）的真命題推演出來，從而構(gòu)建出龐大而復雜的理論體系.高中的立體幾何教材的設計也體現(xiàn)了公理化的思想.教材開門見山地給出平面的定義，將關(guān)于點、線、面之間位置關(guān)系的一些基本命題作為公理，然后由公理出發(fā)得到一系列定理，再由定理推出更多定理與推論，依次類推……這種“以少搏多，以先前內(nèi)容推出后續(xù)內(nèi)容”的公理化思想貫穿立體幾何的始終，因此，立體幾何的各部分內(nèi)容可以視為公理系統(tǒng)具有相似結(jié)構(gòu)的子系統(tǒng)，各子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的思想方法基本相同.這對于立體幾何學習的啟示就是梳理回顧前面的知識，發(fā)掘蘊藏其中的數(shù)學思想與方法，從而為后續(xù)教學的有序展開提供有價值的線索.

經(jīng)過學生討論，發(fā)現(xiàn)這個判定方法不成立，并且舉出了反例，如圖1所示，當兩個平面相交時，在其中一個平面中，同樣可以找到不共線的三點（到交線距離相等）到另一個面的距離相等，即便增加“到面的距離相等”的點的個數(shù)也無濟于事.

圖1

師：為什么這種方法對于小木凳有效，而對于平面平行的判定卻無效呢？

生：凳面是有限的，而平面卻可以無限延伸，你無法知道在無限遠處兩個平面到底會發(fā)生什么.

師：要解決面面平行的判定問題，我們可以回憶一下線面平行的判定原理.

生：利用線線平行來判斷線面平行.

師：這其中蘊含著什么數(shù)學思想？其實是利用了“降維”的數(shù)學思想，把“高維”問題轉(zhuǎn)為“低維”問題.在線面平行的判定中，把維度相對高的“線面平行”轉(zhuǎn)化為維度相對低的“線線”平行來判定.在立體幾何中，“降維”思想無處不在.比如，線與線的位置關(guān)系往往用“點”來刻畫，判斷線是否在面內(nèi)，只需“兩個點”在面內(nèi)；面與面的位置關(guān)系往往用“線”來刻畫，判斷面與面是否相交，只需存在一條“公共直線”就行了.用“點”刻畫線，用“線”刻畫面，用“一維”來刻畫“二維”，用“二維”刻畫“三維”……用“低維”刻畫“高維”這才是公理化的神奇所在，我們常說的“空間問題平面化”也運用了這個原理.

師：現(xiàn)在你們知道如何判定面面平行了嗎？

生：可以通過線面平行來判定.

于是，本節(jié)課的探究方向得到明確，定理的獲得自然水到渠成.

“公理化”可以揭示一個數(shù)學系統(tǒng)或分支的內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化、邏輯化，不僅有利于學生學習和掌握知識，而且對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力具有重要意義.

三、模型化——開展變式教學，內(nèi)化認知

數(shù)學家戈爾丁認為，為了了解周圍世界，人們把自己的觀點以及思想組織成概念的體系，這種概念體系就是模型，而用數(shù)學的語言、方法對各種對象構(gòu)建出來的模型就是數(shù)學模型.模型是把對象實體通過恰當?shù)倪^濾，用適當?shù)谋憩F(xiàn)規(guī)則描繪出的簡潔的模仿品，通過這個模仿品，我們可以了解到所要研究實體的本質(zhì)，并且在形式上更便于人們對實體進行分析和處理.因此，“模型化”是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑.對于高中立體幾何而言，盡管涉及的空間模型千變?nèi)f化，但這些模型都可以看作是長方體、正方體、四面體等幾個基本模型的“變體”，因此，立體幾何學習在很大程度上就歸結(jié)為對于這幾個基本模型中的點、線、面等位置關(guān)系的探索，而以基本模型為載體開展變式教學更能夠把空間問題的靈活性與復雜性展現(xiàn)得淋漓盡致，從而有助于促進學生知識的內(nèi)化.

在面面平行判定定理的理解與應用環(huán)節(jié)中，我們不妨以正方體這個基本模型為載體，設置以下變式問題.

例1如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面AB1D1∥平面C1BD.

圖2

圖3

變式1：如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分別為AA1，AB，AD的中點.求證：平面PQR∥平面CB1D1.

變式2：如圖4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，M分別是棱A1B1，AA1，B1C1的中點，在此正方體中，是否存在過點E，M且與平面BFD1平行的平面？若存在，請作出并證明；若不存在，請說明理由.

圖4

“模型化”的目的就是在已有的幾何模型基礎上，再創(chuàng)造性地利用這些模型理解與解決更多的幾何問題，從而實現(xiàn)思維上的“以不變應萬變”.

康德認為，人類的一切知識都是從直觀開始.立體幾何的教學也應如此，定理的發(fā)現(xiàn)、理解、證明與運用，只有在充分感知與理解空間圖形關(guān)系時才能準確地用邏輯語言表達出來，空間觀念的理解和把握是在對周圍的環(huán)境直接感知的基礎上，通過觀察、比較、想象、綜合、抽象、分析，不斷由低到高發(fā)展的過程.理性和思維不是空中樓閣、無根之木，它只有在“幾何直觀”的土壤中才能生根發(fā)芽，茁壯成長.立體幾何規(guī)則課的“三化”策略正是上述理念的具體寫照.