☉浙江省杭州市余杭實驗中學 王國軍

一道課本習題的探究及思考

☉浙江省杭州市余杭實驗中學 王國軍

一、背景

著名數(shù)學教育家波利亞說：“一個專心認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義的但不復雜的題目去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”學生的思維是靈動的和多向的，教師要不斷地激發(fā)他們的興趣，拓展他們的思維空間，使他們的潛能得到最大限度的發(fā)展.而對課本習題進行變式探究是一條十分有效的途徑.通過改變條件，讓學生對滿足不同條件的情況作出正確的分析；通過改變結論等培養(yǎng)學生推理、探索的能力；通過推廣引申，使學生在深入探究中認清問題的本質(zhì).這些變式探究可以培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力，使學生的認知能力得到較大地提高，有效地提升學生的數(shù)學思維能力.下面筆者以一道解析幾何題為例，談一談變式探究的方法和自己的教學思考.

二、題目

已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0），試探求頂點C的軌跡.（新人教A版高中課本選修2-1第80頁復習參考題A組第10題）

三、探究過程

在講這道題目之前，我讓學生預習了這道題目，許多學生運用直接法順利地完成了解答.

解：設頂點C的坐標為（x，y），

化簡，得mx2-y2=25m（x≠±5，m≠0）.

分類討論如下：

（1）當m=-1時，得x2+y2=25（x≠±5），此時C的軌跡是圓心在原點，半徑為5的圓（不含A和B兩點）；

講完這道題后，我試著問學生：分類（1）反過來成立嗎？

探究1：圓x2+y2=25上任意一點（除A，B之外）與A，B的連線的斜率之積為定值嗎？

學生開始積極思考和演算，很快得出結論：

當在圓x2+y2=25上任取異于A（5，0）和B（-5，0）的一點M，因為AB是直徑，直徑所對圓周角為直角，AM和BM互相垂直.所以AM與BM的斜率乘積為定值-1.

在學生嘗到一點收獲的甜頭后，我拋出了一個問題：圓和橢圓有非常密切的關系，橢圓是否和圓具有類似的性質(zhì)？學生在討論后形成了以下問題：

學生們經(jīng)過一番思索和演算后，形成下面的解答過程：

解：設M（x0，y0）是=1上任意一點，則1.①

假設kMA×kMB=m，即=m，所以

此時，我引導學生觀察這個定值的特征：a2=25，b2= 16，即m=-于是拋出了又一個問題：是否可以猜想：在任意橢圓的情況下也有類似結論？隨后我將問題展示在屏幕上：

在幾番討論和爭執(zhí)后，學生們得出了結果，我請一位學生把過程板書了出來：

解：設橢圓上任意一點M的坐標為（x0，y0），則=1.①

由題意知，A（1-a，0），A（2a，0），

沒有想到，這名學生還沒有寫完，下面就有個同學站起來說：我發(fā)現(xiàn)焦點在y軸上的橢圓上任意一點與長軸端點連線的斜率乘積也是定值！我把他提出的問題展示在屏幕上：

然后請他上來板書過程如下：

解：設橢圓上任意一點M的坐標為（x0，y0），則=1.①由題意知，A1（0，a），A2（0，-a），

結果，學生們通過自己的探索得到這樣的結論：

（1）焦點在x軸上的橢圓上任意一點與長軸端點連線的斜率乘積為定值

（2）焦點在y軸上的橢圓上任意一點與長軸端點連線的斜率乘積為定值

雖然下課鈴聲響了，但學生們還沉浸在發(fā)現(xiàn)新知識的喜悅當中，討論不休，幾個學生沖到我面前，提出了兩個新的問題：

我特別肯定了他們的積極參與思考，鼓勵他們動手先自己算一下，然后再師生一起討論.結果第二天剛進教室，許多學生就把他們的探究結果給我看：

解：設雙曲線上任意一點M的坐標為（x0，y0），則

由題意知，A1（-a，0），A2（a，0），

于是，他們得到的結論是：焦點在x軸上的雙曲線上任意一點與長軸端點連線的斜率乘積為定值.同時他們也推證了：焦點在y軸上的雙曲線上任意一點與長軸端點連線的斜率乘積為定值.因為在前面我和學生一起用“點差法”推證過橢圓和雙曲線中點弦公式，學生們還提出了橢圓和雙曲線的這四個結論和它們的中點弦公式完全對應的看法.

這些結果是讓我始料不及的，盡管這些要推出來并不是很難，但學生并沒有因為我沒有要求就停止探索，這種精神出現(xiàn)在我的學生身上，我非常激動！如果說前邊的探究1到3是我提出問題，學生分析回答問題，那么后面的則完全是學生積極主動探索的結果.雖然我任教的兩個班學生的數(shù)學素養(yǎng)并不高，但現(xiàn)在他們積極參與的態(tài)度和獲得的結果來看，說明他們對數(shù)學的興趣很高，而且可以模仿提出一些類似的新問題，有了一定探索意識.

四、幾點思考和感悟

通過該例題的深度剖析和變式探究，不僅鞏固、加深已學過的知識，而且汲取主干中的營養(yǎng)，生發(fā)出新的枝葉，進而能培育出知識和能力的參天大樹.基于以上案例分析，筆者認為在變式教學中應遵循如下原則.

1.內(nèi)容要有針對性

變式要有的放矢，應根據(jù)教學目標變式，應根據(jù)知識點在整個知識結構中的紐帶作用進行變式，要充分了解學生的知識、方法、經(jīng)驗、興趣和思維特點等，遵循學生的認知規(guī)律，在知識的易錯、易混淆處變式，在知識交匯處變式，在思想方法交融處變式，在知識拓展延伸處變式.本題變式探究的內(nèi)容（定值問題）既是解析幾何中的核心知識點，并蘊含著重要的數(shù)學思想方法，同時也是解析幾何中能推廣引申、揭示數(shù)學本質(zhì)的典型素材.

2.內(nèi)容難度應該可行

教師應在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)進行變式，過分簡單的變式題組會影響學生的思維質(zhì)量，思維活動未得到充分展開，缺乏應有的激勵作用，難度太大的變式題組容易挫傷學生的積極性，學生難以獲得成功的喜悅.變式題組的設計要注意小坡度、密臺階，層層遞進，螺旋上升，有利于學生逐步深入，變式既要注重面上拓展，又要注意縱向深入，發(fā)揮例題的輻射作用，促進技能思維定式的正遷移，有效地將知識深化，把握形同質(zhì)異題的處理策略，從而達到通一類、帶一串、建構知識網(wǎng)絡揭示解題規(guī)律，使探究教學有效、高效.例如圍繞本題的第一問證明，筆者編制三道符合學生認知水平、層層遞進的變式，這三道變式題都是定值問題，筆者引導學生展開遞進式探究，從而歸納提煉出解決這類問題的基本方法和策略：引進適當?shù)膮?shù)，運用設而不求、整體代換的策略.

3.習題的結論可以推廣

猜想是對研究的對象和問題進行觀察、實驗、比較、歸納等，依據(jù)已有的知識作出符合一定經(jīng)驗與事實的推測性想象的方式.在教學中，教師要創(chuàng)設學習契機引導學生進行發(fā)散性思考，培養(yǎng)學生勇于猜想、推理，通過觀察、分析、比較、聯(lián)想等方式，實現(xiàn)對已有事實和結論的推廣.本題在進行了一題多變后沒有結束探究，而是此基礎上引導學生猜想、引申、推廣，從而發(fā)現(xiàn)本題的一般性規(guī)律，揭示了問題的本質(zhì)，找到了該題的“題根”及源頭.學生的創(chuàng)新思維得到了升華，這對于培養(yǎng)學生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力具有重要的作用.

波利亞曾形象地指出：“好的問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.”創(chuàng)新的程度直接依賴于努力鉆研的堅韌程度.高三數(shù)學解題教學中由一個基本問題出發(fā)，運用特殊化、一般化、分解、重組、增加背景、改編要素以及類比、聯(lián)想等思維方法，探索問題的發(fā)展變化，使我們發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，主動地克服思維的心理定勢，變中求進，進中求通，常給人以新鮮感，能夠喚起學生的好奇心和求知欲，激發(fā)其參與教學活動的興趣和熱情，讓學生感悟到數(shù)學課堂的獨特魅力，從而拓展了學生的思維空間.