☉浙江臨海市大田初級(jí)中學(xué) 應(yīng)躍飛

☉浙江臨海市第五中學(xué) 李夢(mèng)虎

一道新概念型試題的命制過(guò)程及思考

☉浙江臨海市大田初級(jí)中學(xué) 應(yīng)躍飛

☉浙江臨海市第五中學(xué) 李夢(mèng)虎

新概念型問(wèn)題是指給出一個(gè)學(xué)生末曾學(xué)過(guò)的新概念，要求學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)新概念，并根據(jù)新概念進(jìn)行判斷、計(jì)算、推理、遷移的一種新題型.新概念型問(wèn)題能有效地檢測(cè)出數(shù)學(xué)閱讀、信息獲取和加工、反思概括及自主探究等數(shù)學(xué)核心能力，備受各地命題專家的青睞.2017年1月，筆者參與了學(xué)校七年級(jí)上冊(cè)期末模擬試題的命制工作.下面結(jié)合本次命題中一個(gè)新概念型問(wèn)題的命制過(guò)程，淺談新概念型試題命制的一些想法與思考.

一、試題呈現(xiàn)

概念：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，AC=nAB時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的點(diǎn)值，記作dC-AB=n.

應(yīng)用：

（1）如圖1，點(diǎn)C在線段AB上.

若dC-AB=，則AC=____AB；

圖1

若AC=3BC，則dC-AB=____.

（2）已知線段AB=10cm，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，相向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

①若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，試用含t的式子表示dP-AB和dQ-AB，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系；

②若點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度分別為1cm/s和2cm/s，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后立即以原速返回，t為何值時(shí)，dP-AB+dQ-AB=？

拓展：

（3）如圖2，在三角形ABC中，AB=AC=6，BC=4，點(diǎn)P、 Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AB勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，點(diǎn)Q沿線段AC、CB勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，且點(diǎn)P、Q同時(shí)到達(dá)點(diǎn)B，設(shè)dP-AB=n.當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到線段CB上時(shí)，請(qǐng)用含n的式子表示dQ-CB.

圖2

二、命制過(guò)程

1.命題立意，確定方向.

命題之前，筆者先查閱了近幾年臨海市七年級(jí)上冊(cè)期末調(diào)研測(cè)試的數(shù)學(xué)試卷，發(fā)現(xiàn)2012學(xué)年和2013學(xué)年的壓軸題分別是線段上和數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，2014學(xué)年和2015學(xué)年的壓軸題都是角的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，這些題目往往會(huì)涉及數(shù)與代數(shù)、方程、分類討論等七年級(jí)上冊(cè)的核心內(nèi)容.作為期末模擬測(cè)試試題的壓軸題，若只是簡(jiǎn)單如法炮制，勢(shì)必會(huì)降低這份試卷的信度、效度和區(qū)分度.

在對(duì)教育行為的反思中改善教育實(shí)踐。美國(guó)學(xué)者波斯納曾對(duì)教師成長(zhǎng)提出了一個(gè)極為明確的公式：教師成長(zhǎng)＝經(jīng)驗(yàn)＋反思。

再綜觀近年來(lái)臺(tái)州中考的壓軸題，新概念型試題已成為臺(tái)州近幾年中考一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的題型，也是各地中考的熱點(diǎn)題型.考慮到壓軸題要有較好的信度、效度和區(qū)分度，并兼顧數(shù)學(xué)中考的導(dǎo)向性，因此，筆者設(shè)想命制一道新概念型問(wèn)題作為壓軸題，旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、知識(shí)遷移能力及分類討論思想和方程思想.

2.他山之石，可以攻玉.

合適的素材是新概念型問(wèn)題命制成功的關(guān)鍵，新概念型問(wèn)題的素材選取，往往需要靈感.筆者就是在下面兩個(gè)素材的啟發(fā)下構(gòu)思謀劃的.

素材1：在幾何畫(huà)板5.0的版本中，線段上的任意一個(gè)點(diǎn)可以度量它的點(diǎn)值，這個(gè)值在0到1之間；反過(guò)來(lái)，給定任何一個(gè)0到1之間的實(shí)數(shù)，都可以在線段上畫(huà)出一個(gè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn).這樣，線段上的點(diǎn)值類似于數(shù)軸上的點(diǎn)，可以把0至1之間的任何一個(gè)實(shí)數(shù)與線段上的點(diǎn)建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.在素材遴選過(guò)程中，筆者就想借鑒幾何畫(huà)板的點(diǎn)值概念給出一個(gè)新概念“點(diǎn)值”，用“點(diǎn)值”來(lái)解決兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的“精彩瞬間”.事實(shí)上，由于考慮到整份試卷閱讀量等因素，新概念型試題往往讓學(xué)生從抽象定義出發(fā)來(lái)學(xué)習(xí)新概念.由奧蘇伯爾的有意義接受學(xué)習(xí)理論可知，要使學(xué)生順利地習(xí)得新概念，新概念必須具有邏輯意義，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須具備同化新概念的適當(dāng)知識(shí)，這就需要體現(xiàn)“題在書(shū)外，根在書(shū)內(nèi)”的命題原則，使試題源于教材又高于教材.

素材2：如圖3，點(diǎn)M把線段分成相等的兩條線段AM與BM，點(diǎn)M叫線段AB的中點(diǎn).類似地，還有三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等（如圖4、圖5）.

圖3

圖4

圖5

教材中關(guān)于中點(diǎn)、三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)的概念，都包含有兩個(gè)要素：（1）位置要素，即點(diǎn)在線段上；（2）數(shù)量要素，如圖4中的點(diǎn)N，對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系可以表示為AN=AB.由此得到啟發(fā)，只要保持位置要素不變，對(duì)數(shù)量要素稍作延伸，把式子改成“AC=nAB”，點(diǎn)C與數(shù)字n就可建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣就可以得到與等分點(diǎn)類似但又不同的新概念“點(diǎn)值”，體現(xiàn)了“題在書(shū)外，根在書(shū)內(nèi)”的命題思想.借鑒幾何畫(huà)板的點(diǎn)值概念，給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，AC=nAB時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的點(diǎn)值，記作dC-AB=n.這樣教材中的等分點(diǎn)概念就被一般化了，等分點(diǎn)就成為新概念“點(diǎn)值”在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的固著點(diǎn).至此，材料部分的構(gòu)思初見(jiàn)雛形.

C-AB一般情形“：dC-AB=n”與“AC=nAB”具有相同的含義.目的是引導(dǎo)學(xué)生把符號(hào)與其所代表的實(shí)質(zhì)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，有利于學(xué)生看到符號(hào)就能聯(lián)想符號(hào)所代表的實(shí)質(zhì)意義，進(jìn)一步揭示了“點(diǎn)值”概念的內(nèi)涵.

細(xì)化2：為降低符號(hào)語(yǔ)言的抽象性，在“應(yīng)用”的第（1）題，通過(guò)設(shè)置“dC-AB=____，則AC=AB；若AC=3BC，則dC-AB=____”的問(wèn)題，進(jìn)一步揭示概念的外延來(lái)強(qiáng)化對(duì)符號(hào)“dC-AB=n”的理解，目的是進(jìn)一步突出實(shí)例在概念習(xí)得過(guò)程中的作用，使實(shí)例成為理解概念的一種思維載體.同時(shí)也可以考查新概念在知覺(jué)水平的應(yīng)用能力.

這樣的新概念經(jīng)歷三次閱讀：首先是概念的概括性的閱讀，其次是特例的理解，最后是另一個(gè)特例的簡(jiǎn)單應(yīng)用，能夠更好地幫助學(xué)生理解概念，建立良好的答題信心，不致于因?yàn)閷忣}障礙導(dǎo)致解題受阻.細(xì)化概念后

3.細(xì)化概念，以人為本.

“點(diǎn)值”概念會(huì)涉及文字、符號(hào)和圖形等多種語(yǔ)言，學(xué)生能否順利地把文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化是準(zhǔn)確理解“點(diǎn)值”概念的前提.考慮到七年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力還處于起步階段，學(xué)生在理解上會(huì)有一定的難度，筆者決定在概念的內(nèi)涵和外延的揭示上再作細(xì)化.的試題，更加符合七年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀理解的作答能力，貼近七年級(jí)學(xué)生新概念型問(wèn)題的作答心理.

4.創(chuàng)設(shè)情境，回歸常態(tài).

“點(diǎn)值”的背景知識(shí)是線段及等分點(diǎn)，如果只是考查線段和差及中點(diǎn)等知識(shí)，那么這樣的壓軸題就會(huì)顯得單薄.筆者認(rèn)為新概念型壓軸題，要把新概念應(yīng)用到具體問(wèn)題中去，一方面，來(lái)檢測(cè)新概念的理解層次；另一方面，還應(yīng)讓新概念型問(wèn)題承載考查對(duì)七年級(jí)上冊(cè)其他核心知識(shí)的掌握情況，當(dāng)然這個(gè)“具體問(wèn)題”也應(yīng)是本冊(cè)的核心內(nèi)容.基于這樣的認(rèn)識(shí)，我們就想到讓點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)起來(lái)，用速度和時(shí)間來(lái)表示“點(diǎn)值”，這樣就可以用到七年級(jí)上冊(cè)另兩個(gè)核心知識(shí)整式和方程，使“應(yīng)用”環(huán)節(jié)的問(wèn)題設(shè)置回歸常態(tài).

第（2）①題需用含時(shí)間t的整式來(lái)表示點(diǎn)P和點(diǎn)Q在AB上的點(diǎn)值，使對(duì)“點(diǎn)值”概念的理解，從具體的特例判斷過(guò)渡到更為一般的情形（用含t的整式來(lái)表示點(diǎn)值），從而實(shí)現(xiàn)“點(diǎn)值”在知覺(jué)水平較低層次的應(yīng)用過(guò)渡到較高層次的應(yīng)用.

為使考查內(nèi)容涉及方程思想和分類思想，筆者把第（2）①題中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度改為2cm/s，且點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A后以原速返回，旨在考查“點(diǎn)值”在思維水平的應(yīng)用能力，同時(shí)還自然地回歸到對(duì)方程、分類討論等核心思想的考查.

為了有效地檢測(cè)出學(xué)生能否把新概念遷移到其他情境中去，筆者在“拓展”環(huán)節(jié)中，將動(dòng)點(diǎn)P、Q放置在一個(gè)三角形中，把運(yùn)動(dòng)的速度和時(shí)間換成“dP-AB=n”，所求的問(wèn)題設(shè)置成“當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到線段CB上時(shí)，請(qǐng)用含n的式子表示dQ-CB”.在這樣的問(wèn)題情境中，符號(hào)“dP-AB=n和dQ-CB”所代表的實(shí)質(zhì)意義更難把握，使得問(wèn)題解決更具挑戰(zhàn)性.至此，一個(gè)完整的新概念型壓軸題命制完成.

總之，命制新概念型試題時(shí)，概念的名稱、定義、實(shí)例和屬性的呈現(xiàn)都要符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，體現(xiàn)以人為本；問(wèn)題設(shè)置應(yīng)緊扣新概念的內(nèi)容，注意引導(dǎo)學(xué)生思維的延續(xù)性，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力及解決問(wèn)題能力的考查，體現(xiàn)“不僅要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的發(fā)展和變化”的評(píng)價(jià)理念.

1.曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

2.李夢(mèng)虎，蔣榮清.學(xué)習(xí)型試命制實(shí)踐與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2011（10）.

3.李夢(mèng)虎.基于“四基”考查的數(shù)學(xué)命題及感悟——以2015年臺(tái)州市中考?jí)狠S題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2016（4）.