☉湖北秭歸縣教育科研信息中心 何訓(xùn)光

☉湖北宜昌市夷陵區(qū)教師教育教學(xué)研究中心高先敏

☉湖北秭歸縣郭家壩中學(xué)顏昭英

問題出在哪兒

☉湖北秭歸縣教育科研信息中心 何訓(xùn)光

☉湖北宜昌市夷陵區(qū)教師教育教學(xué)研究中心高先敏

☉湖北秭歸縣郭家壩中學(xué)顏昭英

試題再現(xiàn)：已知AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC.

（1）如圖1，若△ABC中，∠B＜90°，D為BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC的外部，求證：AD=AB.

（2）若△ABC中，∠B＞90°，D在CB的延長線上，點(diǎn)E在△ABC的下方，則（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出圖形，并加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

圖1

圖2

這是某地八年級(jí)上冊(cè)《長江全能學(xué)案同步練習(xí)冊(cè)》中的一道題，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了全等三角形四個(gè)判定方法后選配的一道習(xí)題.命題者意圖很明顯：以全等三角形和全等變換為背景，目的是培養(yǎng)學(xué)生基本的畫圖能力和全面提升學(xué)生的推理論證能力.

此題的第（1）問很簡單，學(xué)生也都能正確解答，但是第（2）問的答案卻是五花八門，很多老師都沒有當(dāng)一回事而默認(rèn)了學(xué)生的錯(cuò)誤解答，這樣的錯(cuò)誤若流傳下去，會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生什么樣的不良影響？這題的錯(cuò)誤又在哪里？為什么連教師都難以發(fā)現(xiàn)問題或錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因？

還是先請(qǐng)讀者找一找下面給出的學(xué)生解答和他們所畫圖形的錯(cuò)誤在哪里.

筆者調(diào)查了部分師生，很多師生是這樣思考的：因?yàn)锳E=AC，所以可以通過在圖2的基礎(chǔ)上把AE繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)來畫出需要的圖形，當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)到圖3時(shí)，此時(shí)E與C正好重合，顯然與點(diǎn)E在△ABC的下方這個(gè)條件不符，故舍去；再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖4所示的位置，此時(shí)EA在∠BAC的內(nèi)部，點(diǎn)E在△ABC的下方，符合題意；繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖5所示的位置，此時(shí)E正好落在∠BAC的AB邊及其延長線上，也符合題意；再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)便得到圖6，此時(shí)AE在∠BAC的外部.所以，此題應(yīng)分三種情況來證明.

圖3

圖4

圖5

圖6

（2）證明：（i）AE在∠BAC的內(nèi)部.

如圖4，設(shè)AE與BC交于點(diǎn)F，因?yàn)椤螮AC+∠C+∠AFC=∠EDF+∠E+∠DFE，而∠EAC=∠EDC，∠AFC=∠DFE，所以∠C=∠E.因?yàn)椤螧AD=∠EAC，所以∠BAD+∠EAB=∠EAC+∠EAB，從而∠DAE=∠BAC.又已知AC= AE，所以△ABC≌△ADE，從而得到AB=AD.

（ii）AE在∠BAC的AB邊及其延長線上.

如圖5，同（i）可證得∠C=∠E.又因?yàn)锳C=AE，所以△BAC≌△DAE，同樣可得到AB=AD.

（iii）AE在∠BAC的外部.

如圖6，設(shè)AE與DC交于F，同（i）可證得∠C=∠E.又因?yàn)椤螧AD=∠EAC，所以∠BAD-∠EAB=∠EAC-∠EAB，從而∠BAC=∠DAE.又已知AC=AE，所以△BAC≌△DAE，同樣得到AB=AD.

以上給出的是學(xué)生中比較完整的解法，還有很多學(xué)生的解答就是以上三種情況中的一種，當(dāng)然，多數(shù)師生畫的圖為圖4或圖6，其解答是第（i）種或第（iii）種情況的證明過程.

錯(cuò)因分析：初看起來，解答者考慮問題全面，思考問題過程中把各種不同的情況全部作了分析，而且因?yàn)楹竺娣项}意的三種情況的證明方法和過程有不同之處，所以把三種情況進(jìn)行了分類證明，三種情況的證明也步步推理嚴(yán)密、有根有據(jù).看起來似乎很完美.

但是，只要讀者仔細(xì)觀看一下學(xué)生所畫的圖4至圖6，不用分析就可以發(fā)現(xiàn)明顯的錯(cuò)誤，即可以明顯地看出AD≠AB，或者說可以明顯看出AB＞AD.

那么問題到底出在哪兒呢？

此題是要在給定的圖2上畫圖，即說明圖2是固定圖形，題目還要求D在CB的延長線上，點(diǎn)E在△ABC的下方，那么這個(gè)圖形就不能是隨便一畫或任意一旋轉(zhuǎn)AE就能符合題干條件的.因而只能靠推理來畫出圖形.

多數(shù)師生是從先定E點(diǎn)，即從已知AE=AC來確定E點(diǎn)出發(fā)畫圖的，那么這樣的E點(diǎn)是有很多的（以A為圓心、AC的長為半徑，且在△ABC的下方的圓弧上的所有點(diǎn)），若在△ABC的下方的圓弧上任意取一符合AE=AC的點(diǎn)E，那么接下來就只能在AE的左側(cè)作∠AED=∠C，使ED交CB的延長線于D點(diǎn)，再連接AD，這樣雖然有∠EDC=∠EAC，但不能保證∠BAD=∠EAC也成立，如部分師生所作的以上的圖4至圖6都可以保證∠EDC=∠EAC，但都不能保證∠BAD=∠EAC.上面解答的錯(cuò)誤就在于學(xué)生自己隨便畫一個(gè)圖形并且承認(rèn)它符合題干的所有條件，這樣的情況若有，也只能是某種巧合或者說是某種特殊圖形的情況，并沒有一般性，更不能作為已知條件而當(dāng)作證明的依據(jù).這就是以上各種所畫圖形和證明不正確的根本原因.

由此可知：從點(diǎn)E出發(fā)作圖不能保證原題干中的已知條件都成立.

這樣，我們就只能從先找點(diǎn)D出發(fā)來畫圖了，要使AD=AB，且D點(diǎn)在CB的延長線上，那么這一點(diǎn)只能是在以A為圓心、AB的長為半徑的弧與CB的延長線的交點(diǎn)（如圖7中的點(diǎn)D），除這點(diǎn)和點(diǎn)B以外的其他任何一點(diǎn)都不會(huì)有“AD=AB”.所以D點(diǎn)也不是隨便就可以畫出來的，它是CB的延長線上唯一的一點(diǎn).接下來確定E點(diǎn)，在AC的左側(cè)作∠EAC=∠BAD，再在∠CAE的AE邊上截取AE=AC，從而得到AE（如圖7），再連接DE，這樣連接雖然不能直接看出“∠EDC=∠BAD或∠EDC=∠EAC”，但是可以證明其相等.并且這樣作出來的圖形應(yīng)該是唯一的，是不需要通過分類討論來證明的.

圖7

那么此題到底如何來解答？筆者認(rèn)為關(guān)鍵是要能畫出圖形來，圖形畫不出來，也就不能正確解答.下面筆者就從“先作圖、再說理、最后證明”的方法來解答此題.

（2）解：當(dāng)∠B＞90°，D在CB的延長線上，點(diǎn)E在△ABC的下方時(shí)，AB=AD仍然成立.

作圖：以A為圓心、AB的長為半徑畫弧交CB的延長線于點(diǎn)D，再以A為頂點(diǎn)、AC為一邊，在AC的左側(cè)作∠CAE=∠BAD，并在AE上截取AE=AC，再連接DE.圖7即為所畫圖形.

由作圖可知：AC=AE，∠BAD=∠EAC.

則∠BAD-∠BAE=∠EAC-∠BAE.

即∠DAE=∠BAC.

又所作線段AD=AB，則△BAC≌△DAE，∠ADB=∠ABD.

則∠ADE=∠ABC.

則∠ADB+∠BDE=∠ADB+∠BAD.

則∠BDE=∠BAD，則∠BDE=∠EAC.

所以，以上所作的圖形既滿足原題題干中的已知條件“AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC”，也滿足該問中的附加條件“∠B＞90°，D在CB的延長線上，點(diǎn)E在△ABC的下方”，按上述第（iii）種方法即可證明結(jié)論成立.證明過程略.

到此，本題應(yīng)該是解答完畢，但還得回答老師一個(gè)問題.

問題：有沒有“AE在∠BAC的AB邊及其延長線上或AE在∠BAC的內(nèi)部”的情況？

這就要看給定的鈍角三角形ABC了，如圖8或圖9所示的鈍角三角形ABC就是AE在∠BAC的AB邊及其延長線上或者AE在∠ABC的內(nèi)部的情況，但這樣的情況也只一種，絕對(duì)不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)三種情況.

這樣的鈍角三角形ABC，我們可以按如下的方法作出來：

先任意畫一個(gè)等腰銳角三角形ABD，使AB=AD，再把BD向兩側(cè)延長；以A為頂點(diǎn)、AB為一邊在AB的右側(cè)作∠BAC=∠BAD，使邊AC交DB的延長線于C，再在線段AB的延長線上截取AE=AC，連接DE，這樣就能畫圖8所示的圖形了.讀者可以按上述方法畫出圖9所示的圖形.

圖8

圖9