☉江蘇省宜興市和橋高級(jí)中學(xué) 杜健

公式課不能淪為習(xí)題課
——基于核心素養(yǎng)下的公式課教學(xué)思考

☉江蘇省宜興市和橋高級(jí)中學(xué) 杜健

解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容，但不是數(shù)學(xué)教學(xué)的全部，但鑒于解題在應(yīng)試中的重要作用，相當(dāng)多的教師把解題視為壓倒一切的重要任務(wù)，從而導(dǎo)致“新課習(xí)題化”傾向嚴(yán)重.最近筆者觀摩了一節(jié)市級(jí)公開課——“同角三角函數(shù)基本關(guān)系”，恰恰反映了上述傾向.

一、公式課內(nèi)容簡(jiǎn)單，不能這樣上

在評(píng)課環(huán)節(jié)中，授課教師介紹了自己的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，他認(rèn)為本堂課的教學(xué)內(nèi)容實(shí)在太簡(jiǎn)單了，就兩個(gè)公式而已，學(xué)生很容易理解掌握，并且學(xué)生在初中銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中已經(jīng)知道了這兩個(gè)公式，所以這兩個(gè)公式?jīng)]什么好講的.公式的證明思路也簡(jiǎn)單，所以他就把重點(diǎn)放在公式的應(yīng)用上，盡可能讓學(xué)生接觸更多類型的題目，從而掌握公式的應(yīng)用技巧.

二、公式課還可以這樣上

說實(shí)話，跟這位教師存在相同想法的教師不在少數(shù)，但仔細(xì)斟酌后，這樣的想法是有問題的.最糟糕的是犯了“就課論課”的錯(cuò)誤，本節(jié)課內(nèi)容看似簡(jiǎn)單，但要知道數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目的不僅僅是傳授基本的知識(shí)，更重要的讓學(xué)生體會(huì)一般數(shù)學(xué)的研究過程，感悟其中的數(shù)學(xué)思想與方法.把結(jié)論直接拋給學(xué)生，舍棄自主探究、獨(dú)立思考的過程，過度夸大練習(xí)強(qiáng)化的教育功能，這絕對(duì)不是我們數(shù)學(xué)公式教學(xué)“常態(tài)”，更是與當(dāng)前提倡的高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)相違背.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是人們能夠用數(shù)學(xué)的眼光來觀察世界，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的內(nèi)在素養(yǎng)，由數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法、數(shù)學(xué)能力與觀念等組成.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的依據(jù).下面筆者就立足數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對(duì)這節(jié)課進(jìn)行重新設(shè)計(jì).

1.公式的發(fā)現(xiàn)：以數(shù)學(xué)運(yùn)算為手段激活邏輯推理問題1計(jì)算下列三角函數(shù)值并思考：

（1）sin30°=________，cos30°=________，tan30°= ________=________，sin230°+cos230°=_______.

（2）sin45°=________，cos45°=________，tan45°= ________=________，sin245°+cos245°=_______

（3）sin60°=________，cos60°=________，tan60°= ________=________，sin260°+cos260°=_______

思考：通過上述計(jì)算，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題2：在初中學(xué)習(xí)的公式sin2x+cos2x=1，tanx=，角x應(yīng)滿足什么條件？

問題3：若對(duì)任意角x，上述公式還成立嗎？

意圖：一方面在復(fù)習(xí)舊知識(shí)的基礎(chǔ)上由特殊角三角函數(shù)值為切入點(diǎn)，讓學(xué)生通過運(yùn)算，驗(yàn)證關(guān)系、發(fā)現(xiàn)規(guī)律；另一方面由于筆者所在學(xué)校學(xué)生基礎(chǔ)比較差，所以采用由簡(jiǎn)單到較復(fù)雜的問題串形式更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，降低學(xué)習(xí)的門檻，這也充分體現(xiàn)螺旋上升的教學(xué)理念.

點(diǎn)評(píng)：這樣的設(shè)計(jì)一方面發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，另一方面在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上依據(jù)運(yùn)算法則激活邏輯推理的過程，從而使學(xué)生進(jìn)入公式猜想的思維歷程.

2.公式證明：以直觀想象為突破口實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象

問題4：在初中時(shí)怎么證明公式sin2x+cos2x=1，tanx=

意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧銳角三角函數(shù)的定義過程，滲透證明公式要回歸定義的思想.

問題5：任意角三角函數(shù)是如何定義的？

問題6：任意角三角函數(shù)的幾何意義是什么？

問題7：公式sin2x+cos2x=1，tanx=怎么證明？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生用單位圓表示點(diǎn)的坐標(biāo)的方法進(jìn)行證明，因?yàn)閱挝粓A在三角函數(shù)一章的學(xué)習(xí)中發(fā)揮重要的作用，包括后續(xù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，兩角差的余弦公式推導(dǎo)，所以課堂教學(xué)還是要引導(dǎo)學(xué)生使用單位圓進(jìn)行推導(dǎo)，理解單位圓在學(xué)習(xí)中的價(jià)值.

點(diǎn)評(píng)：引導(dǎo)學(xué)生借助單位圓及三角函數(shù)線，通過直觀想象發(fā)現(xiàn)公式證明的方法，以初中的同角函數(shù)關(guān)系為基礎(chǔ)進(jìn)一步抽象出高中的同角三角函數(shù)公式.但數(shù)學(xué)抽象并不是“自動(dòng)化”的過程，需要教師提供足夠的學(xué)習(xí)、想象素材，從數(shù)量與數(shù)量、圖形與圖形的關(guān)系中，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu).

3.公式應(yīng)用：以數(shù)學(xué)運(yùn)算為平臺(tái)開展數(shù)學(xué)建模

問題8：如何理解“同角”的含義？說說你對(duì)公式的理解.

意圖：在公式應(yīng)用前要給學(xué)生一點(diǎn)感悟理解的時(shí)間，公式sin2x+cos2x=1，tanx=容易使學(xué)生產(chǎn)生思維定式，以為角只能是“x”.讓學(xué)生按自己的方式體會(huì)公式、理解公式，有助于知識(shí)的內(nèi)涵.實(shí)際上“同角”就是同一個(gè)角，可以是α，可以是2α，也可以是，也可以是α+等

等.只要角存在（且有意義），就有這兩個(gè)關(guān)系成立.

編題：利用公式sin2x+cos2x=1，tanx=編題.

學(xué)生編題題3：已知tanx=2，求另外兩個(gè)三角函數(shù)值.

意圖：通過自主編題，體會(huì)公式在計(jì)算中的重要作用；通過計(jì)算，三角函數(shù)基本關(guān)系中明確“知一求二”基本原理.

（1）sinαcosα；

（2）sinα-cosα；

（3）sin3α+cos3α.

例2已知tanα=2，分別求以下三角函數(shù)式的值：

意圖：在運(yùn)算中進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)基本關(guān)系，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).在此基礎(chǔ)上，再對(duì)解題方法進(jìn)行歸納總結(jié)，從中提煉出一般的數(shù)學(xué)模型.比如，sinα+cosα、sinαcosα、sinα-cosα三者可以相互表示與轉(zhuǎn)換，可以做到“知一求二”；對(duì)于類似于的齊次式，可以直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanx的代數(shù)式.這些模型對(duì)于后續(xù)的學(xué)習(xí)具有非常積極的意義.

三、公式課中如何落實(shí)核心素養(yǎng)

1.公式課教學(xué)應(yīng)立足核心素養(yǎng)的養(yǎng)成

相比其他課型，數(shù)學(xué)公式課相對(duì)簡(jiǎn)單，學(xué)生往往記住公式后，就能夠直接應(yīng)用公式進(jìn)行數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，這就容易給教師錯(cuò)覺，以為“記住公式=真正理解”.眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)是以數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、技能的學(xué)習(xí)逐步展開的，而在知識(shí)、方法、技能、思想的累積過程中，應(yīng)始終把相關(guān)的核心素養(yǎng)蘊(yùn)含其中.從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)，而不是直接把公式“灌輸”給學(xué)生，通過引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探究、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，逐步建立和形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.公式課教學(xué)要凸顯主要核心素養(yǎng)

一般說來，高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算六大素養(yǎng)組成.這六大核心素養(yǎng)之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，既各有側(cè)重又形成體系，因此，很難實(shí)現(xiàn)在一節(jié)課中同時(shí)使這六大素養(yǎng)得到凸顯和培養(yǎng).課堂教學(xué)究竟要落實(shí)和培養(yǎng)哪個(gè)核心素養(yǎng)是由課型與教學(xué)內(nèi)容決定的.當(dāng)然，在一節(jié)課中教師既要培養(yǎng)盡量多的核心素養(yǎng)，也要使主要核心素養(yǎng)得以進(jìn)一步凸顯與落實(shí)，也就是說教師應(yīng)基于教學(xué)內(nèi)容，開發(fā)具有明確目標(biāo)指向的教學(xué)資源及素材，突出數(shù)學(xué)的主要核心素養(yǎng).對(duì)本節(jié)課來說，數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)貫穿整個(gè)教學(xué)過程，在落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的過程中，使得數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)也同時(shí)獲得提升.

數(shù)學(xué)公式課當(dāng)然離不開習(xí)題的講解與練習(xí)，關(guān)鍵要控制習(xí)題訓(xùn)練在整堂課比重，公式的發(fā)現(xiàn)、證明、理解是整堂課的主旋律，而公式的應(yīng)用或者說習(xí)題訓(xùn)練只是實(shí)現(xiàn)公式理解的一種手段，否則就容易偏離教學(xué)的軌道，陷入“題?！敝?，那么這就與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本理念背道而馳了.

1.彭翕成.例說數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［J］.教育研究與評(píng)論·中學(xué)教育教學(xué)，2016（5）.

2.華志遠(yuǎn).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與構(gòu)成［J］.教育研究與評(píng)論·中學(xué)教育教學(xué)，2016（5）.