高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題分析及應(yīng)對(duì)策略

☉廣東省鶴山市第二中學(xué) 李立美

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容，其觀(guān)點(diǎn)和方法也經(jīng)常用于解決其他非函數(shù)類(lèi)型的問(wèn)題.其主要從以下幾點(diǎn)進(jìn)行考查：1.導(dǎo)數(shù)的概念以及利用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單類(lèi)型的題目，如求極值，最值，切線(xiàn)方程，單調(diào)區(qū)間等；2.綜合考查，將導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容與其他知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，設(shè)計(jì)綜合題.

從近幾年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的大題得分情況來(lái)看，考生的得分普遍偏低.筆者通過(guò)近幾年的教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的題目，學(xué)生普遍反映的主要問(wèn)題有兩個(gè)：一是思路不清晰；二是對(duì)解答函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題目的方法掌握得不夠，即使知道有幾種方法，但是遇到具體題目時(shí)無(wú)從下手，不知選擇何種方法.筆者從近幾年的高考卷中選擇幾道壓軸題，利用思路線(xiàn)幫助厘清答題思路，并且探討高考數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的答題方法.

策略一、轉(zhuǎn)化與化歸的運(yùn)用

例1已知函數(shù)（fx）=2x3-3x.若過(guò)點(diǎn)P（1，t）存在3條直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=（fx）相切，求t的取值范圍.

解：設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，t）的直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=（fx）相切于點(diǎn)（x0，y0），則y0=2-3x0，即切線(xiàn)的斜率為k=6-3，所以切線(xiàn)方程為y-=（6-3）（x-x）.將點(diǎn)P（1，t）代入，得t-y=（6x2-000 3）（1-x），整理得4-6+t+3=0.于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為此方程

0有三個(gè)不同的解.設(shè)g（x）=4x3-6x2+t+3，則“過(guò)點(diǎn)P（1，t）存在3條直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=（fx）相切”等價(jià)于“函數(shù)g（x）有3個(gè)不同零點(diǎn)”.

因?yàn)間′（x）=12x2-12x=12x（x-1），

當(dāng)x變化時(shí)，g（x）與g′（x）的變化情況如下：

x（-∞，0）0（0，1）1（1，+∞）g′（x）+0-0+ g（x）↗t+3↘t+1↗

所以，g（0）=t+3是g（x）的極大值，g（1）=t+1是g（x）的極小值.

當(dāng)g（0）＞0且g（1）＜0，即-3＜t＜-1時(shí)，因?yàn)間（-1）=t-7＜0，g（2）=t+11＞0，由于g（x）在區(qū)間（-∞，0），（0，1），（1，+∞）上單調(diào)，故g（x）分別在區(qū)間（-1，0），（0，1）和（1，2）上各有1個(gè)零點(diǎn)，即g（x）分別在區(qū)間（-∞，0），（0，1），［1，+∞）上各有1個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P（1，t）存在3條直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=f（x）相切時(shí)，t的取值范圍是（-3，-1）.

在研究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段或方法，使問(wèn)題從一種情形轉(zhuǎn)化為另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情景使問(wèn)題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的有效策略，同時(shí)也是一種成功的思維方式.轉(zhuǎn)化具有多樣性、層次性和重復(fù)性的特點(diǎn)，遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀(guān)化的原則.本題的轉(zhuǎn)化，使切線(xiàn)的條數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，為解題鋪平了道路

策略二、分離參數(shù)

分析：已知f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍，無(wú)法直接求解，需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化.函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)?導(dǎo)數(shù)f′（x）=0在（0，2）內(nèi)有兩解?分離參數(shù)?y=k與y=g（x）在（0，2）內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)?由g（x）的導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)作出滿(mǎn)足條件的圖像?求出參數(shù)范圍.

解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

當(dāng)x變化時(shí)，g′（x）與g（x）的變化情況列表如下：

（0，1）1（1，2）g′（x）-0+ g（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

分離參數(shù)法是我們經(jīng)常用到的一種方法.在解答的過(guò)程中思路清晰，其關(guān)鍵同樣在于轉(zhuǎn)化以及利用極值作出函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合.

策略三、最值法

（1）求a，b；

（2）證明：f（x）＞1.

分析：由題可得f（1）=2，f′（1）=e，進(jìn)而求出a，b；第（2）問(wèn)題屬于證明題，不等式左邊比較麻煩，需要對(duì)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再證明.

解：（1）略.

（2）證明：將不等式轉(zhuǎn)換成g（x）＞h（x）的形式?［g（x）］min＞［h（x）］max.

所以g（x）＞h（x），即f（x）＞1.

此種方法對(duì)于一些既含有指數(shù)函數(shù)，又含有對(duì)數(shù)函數(shù)的題目比較實(shí)用，通過(guò)化簡(jiǎn)將它們分離，對(duì)于后面求最值降低難度.但此種方法需要進(jìn)行合適的變形，這時(shí)需要讀者多嘗試幾種變形.

策略四、構(gòu)造函數(shù)

例4已知函數(shù)f（x）=-2（x+a）lnx+x2-2ax-2a2+a，其中a＞0.

（1）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；

（2）證明：存在a∈（0，1）使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解.

解析：（1）（略）.

（2）證明：由f（′x）=2（x-a）-2lnx-2（ 1+）=0，解得a=

當(dāng)a=a0時(shí)，有f′（x）=0，f（x0）=φ（x0）=0，由（1）知，f′（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，f′（x）＜0，從而f（x）＞f（x0）=0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，從而f（x）＞f（x0）=0.所以，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）≥0.

綜上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解.

構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常用手段，巧妙地構(gòu)造函數(shù)能使我們對(duì)問(wèn)題有更加深刻的認(rèn)識(shí)，是解題的銳利武器.常用的構(gòu)造方法有移項(xiàng)作差、結(jié)構(gòu)抽象、確定主元等.本題的匠心之處在于兩次構(gòu)造函數(shù).尤其是第一次以解代參，即以f′（x）=0時(shí)的a值代替f（x）中的參數(shù)a構(gòu)造函數(shù)φ（x），它在（1，e）上有零點(diǎn)，且當(dāng)a=a0時(shí)，有f′（x）=0，f（x0）=φ（x0）=0是解題的關(guān)鍵.

策略五、設(shè)而不求

又f′（-1）＜0，f′（0）＞0，故f′（x）=0在（-2，+∞）上有唯一實(shí)根x0，且x0∈（-1，0）.當(dāng)x∈（-2，x0）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，從而當(dāng)x=x0時(shí)，f（x）取得最小值.

由f（′x）0=0，得ex0 =，ln（x0+2）=-x0，故（fx）≥（fx）0

例5已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）＞0.

證明：當(dāng)m≤2，x∈（-m，+∞）時(shí)，ln（x+m）≤ln（x+2），故只需證明當(dāng)m=2時(shí)，f（x）＞0.當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)f′（x）=ex-

綜上，當(dāng)m≤2時(shí)，f（x）＞0.

求方程f′（x）=0的根在解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中是承上啟下的一步，此時(shí)受阻，解題將難以為繼.像本題中，雖然f′（x）= 0的根的確存在，可無(wú)論如何都求不出來(lái).怎么處理？上述解答告訴我們，可以虛設(shè)零點(diǎn)，但設(shè)而不求，只利用其滿(mǎn)足的條件就能到解題目的.這種“設(shè)而不求”的方法，在數(shù)學(xué)中是經(jīng)常遇到的，特別是解析幾何中直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn).

策略六、分類(lèi)討論

例6已知函數(shù)（fx）=x2-ax（3a＞0），x∈R.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）對(duì)于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）·f（x2）=1，求a的取值范圍.解：（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）和（，+∞），單調(diào)遞增為

+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得（fx）1·（fx）2=1”等價(jià)于A?B，顯然，0?B.

下面分三種情況討論：

分類(lèi)討論是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思維策略.分類(lèi)討論要堅(jiān)持不重不漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一的原則.分類(lèi)討論的步驟是：確定對(duì)象、合理分類(lèi)、逐類(lèi)討論、歸納總結(jié).本題中，兩個(gè)集合A、B中的元素是倒數(shù)關(guān)系，能否取導(dǎo)數(shù)取決于它是否為零.又因?yàn)閤1∈（2，+∞），∈（1，+∞），所以按照＞2、1≤≤2、＜1三種情況討論.

總之，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).在高考試卷上，它是以壓軸題的形式呈現(xiàn)的.由于其信息量、思維量、運(yùn)算量都比較大，需要較高的數(shù)學(xué)分析、解決問(wèn)題的能力.由以上各例可以看出，上述幾種方法不是相互排斥的，而是相輔相成的.在具體問(wèn)題中，往往是幾種方法互相配合、共同發(fā)力.只要運(yùn)用得當(dāng)，就能收到良好的效果.