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        高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題分析及應(yīng)對(duì)策略

        2017-03-10 11:09:31
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年3期
        關(guān)鍵詞:極值零點(diǎn)單調(diào)

        高考函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題分析及應(yīng)對(duì)策略

        ☉廣東省鶴山市第二中學(xué) 李立美

        函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容,其觀(guān)點(diǎn)和方法也經(jīng)常用于解決其他非函數(shù)類(lèi)型的問(wèn)題.其主要從以下幾點(diǎn)進(jìn)行考查:1.導(dǎo)數(shù)的概念以及利用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單類(lèi)型的題目,如求極值,最值,切線(xiàn)方程,單調(diào)區(qū)間等;2.綜合考查,將導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容與其他知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái),設(shè)計(jì)綜合題.

        從近幾年高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的大題得分情況來(lái)看,考生的得分普遍偏低.筆者通過(guò)近幾年的教學(xué)實(shí)踐,發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的題目,學(xué)生普遍反映的主要問(wèn)題有兩個(gè):一是思路不清晰;二是對(duì)解答函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題目的方法掌握得不夠,即使知道有幾種方法,但是遇到具體題目時(shí)無(wú)從下手,不知選擇何種方法.筆者從近幾年的高考卷中選擇幾道壓軸題,利用思路線(xiàn)幫助厘清答題思路,并且探討高考數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的答題方法.

        策略一、轉(zhuǎn)化與化歸的運(yùn)用

        例1已知函數(shù)(fx)=2x3-3x.若過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=(fx)相切,求t的取值范圍.

        解:設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,t)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=(fx)相切于點(diǎn)(x0,y0),則y0=2-3x0,即切線(xiàn)的斜率為k=6-3,所以切線(xiàn)方程為y-=(6-3)(x-x).將點(diǎn)P(1,t)代入,得t-y=(6x2-000 3)(1-x),整理得4-6+t+3=0.于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為此方程

        0有三個(gè)不同的解.設(shè)g(x)=4x3-6x2+t+3,則“過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=(fx)相切”等價(jià)于“函數(shù)g(x)有3個(gè)不同零點(diǎn)”.

        因?yàn)間′(x)=12x2-12x=12x(x-1),

        當(dāng)x變化時(shí),g(x)與g′(x)的變化情況如下:

        x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)g′(x)+0-0+ g(x)↗t+3↘t+1↗

        所以,g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1)=t+1是g(x)的極小值.

        當(dāng)g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1時(shí),因?yàn)間(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,由于g(x)在區(qū)間(-∞,0),(0,1),(1,+∞)上單調(diào),故g(x)分別在區(qū)間(-1,0),(0,1)和(1,2)上各有1個(gè)零點(diǎn),即g(x)分別在區(qū)間(-∞,0),(0,1),[1,+∞)上各有1個(gè)零點(diǎn).

        綜上可知,當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=f(x)相切時(shí),t的取值范圍是(-3,-1).

        在研究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),采用某種手段或方法,使問(wèn)題從一種情形轉(zhuǎn)化為另一種情形,也就是轉(zhuǎn)化到另一種情景使問(wèn)題得到解決,這種轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的有效策略,同時(shí)也是一種成功的思維方式.轉(zhuǎn)化具有多樣性、層次性和重復(fù)性的特點(diǎn),遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀(guān)化的原則.本題的轉(zhuǎn)化,使切線(xiàn)的條數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),為解題鋪平了道路

        策略二、分離參數(shù)

        分析:已知f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求k的取值范圍,無(wú)法直接求解,需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化.函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)?導(dǎo)數(shù)f′(x)=0在(0,2)內(nèi)有兩解?分離參數(shù)?y=k與y=g(x)在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)?由g(x)的導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)作出滿(mǎn)足條件的圖像?求出參數(shù)范圍.

        解:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),

        當(dāng)x變化時(shí),g′(x)與g(x)的變化情況列表如下:

        (0,1)1(1,2)g′(x)-0+ g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

        分離參數(shù)法是我們經(jīng)常用到的一種方法.在解答的過(guò)程中思路清晰,其關(guān)鍵同樣在于轉(zhuǎn)化以及利用極值作出函數(shù)圖像,利用數(shù)形結(jié)合.

        策略三、最值法

        (1)求a,b;

        (2)證明:f(x)>1.

        分析:由題可得f(1)=2,f′(1)=e,進(jìn)而求出a,b;第(2)問(wèn)題屬于證明題,不等式左邊比較麻煩,需要對(duì)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn),再證明.

        解:(1)略.

        (2)證明:將不等式轉(zhuǎn)換成g(x)>h(x)的形式?[g(x)]min>[h(x)]max.

        所以g(x)>h(x),即f(x)>1.

        此種方法對(duì)于一些既含有指數(shù)函數(shù),又含有對(duì)數(shù)函數(shù)的題目比較實(shí)用,通過(guò)化簡(jiǎn)將它們分離,對(duì)于后面求最值降低難度.但此種方法需要進(jìn)行合適的變形,這時(shí)需要讀者多嘗試幾種變形.

        策略四、構(gòu)造函數(shù)

        例4已知函數(shù)f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.

        (1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;

        (2)證明:存在a∈(0,1)使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解.

        解析:(1)(略).

        (2)證明:由f(′x)=2(x-a)-2lnx-2( 1+)=0,解得a=

        當(dāng)a=a0時(shí),有f′(x)=0,f(x0)=φ(x0)=0,由(1)知,f′(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,故當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),f′(x)<0,從而f(x)>f(x0)=0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f′(x)>0,從而f(x)>f(x0)=0.所以,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)≥0.

        綜上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,且f(x)=0在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有唯一解.

        構(gòu)造函數(shù)是解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常用手段,巧妙地構(gòu)造函數(shù)能使我們對(duì)問(wèn)題有更加深刻的認(rèn)識(shí),是解題的銳利武器.常用的構(gòu)造方法有移項(xiàng)作差、結(jié)構(gòu)抽象、確定主元等.本題的匠心之處在于兩次構(gòu)造函數(shù).尤其是第一次以解代參,即以f′(x)=0時(shí)的a值代替f(x)中的參數(shù)a構(gòu)造函數(shù)φ(x),它在(1,e)上有零點(diǎn),且當(dāng)a=a0時(shí),有f′(x)=0,f(x0)=φ(x0)=0是解題的關(guān)鍵.

        策略五、設(shè)而不求

        又f′(-1)<0,f′(0)>0,故f′(x)=0在(-2,+∞)上有唯一實(shí)根x0,且x0∈(-1,0).當(dāng)x∈(-2,x0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f′(x)>0,從而當(dāng)x=x0時(shí),f(x)取得最小值.

        由f(′x)0=0,得ex0 =,ln(x0+2)=-x0,故(fx)≥(fx)0

        例5已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).當(dāng)m≤2時(shí),證明f(x)>0.

        證明:當(dāng)m≤2,x∈(-m,+∞)時(shí),ln(x+m)≤ln(x+2),故只需證明當(dāng)m=2時(shí),f(x)>0.當(dāng)m=2時(shí),函數(shù)f′(x)=ex-

        綜上,當(dāng)m≤2時(shí),f(x)>0.

        求方程f′(x)=0的根在解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中是承上啟下的一步,此時(shí)受阻,解題將難以為繼.像本題中,雖然f′(x)= 0的根的確存在,可無(wú)論如何都求不出來(lái).怎么處理?上述解答告訴我們,可以虛設(shè)零點(diǎn),但設(shè)而不求,只利用其滿(mǎn)足的條件就能到解題目的.這種“設(shè)而不求”的方法,在數(shù)學(xué)中是經(jīng)常遇到的,特別是解析幾何中直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn).

        策略六、分類(lèi)討論

        例6已知函數(shù)(fx)=x2-ax(3a>0),x∈R.

        (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

        (2)對(duì)于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)·f(x2)=1,求a的取值范圍.解:(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)和(,+∞),單調(diào)遞增為

        +∞),都存在x2∈(1,+∞),使得(fx)1·(fx)2=1”等價(jià)于A?B,顯然,0?B.

        下面分三種情況討論:

        分類(lèi)討論是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題,通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思維策略.分類(lèi)討論要堅(jiān)持不重不漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一的原則.分類(lèi)討論的步驟是:確定對(duì)象、合理分類(lèi)、逐類(lèi)討論、歸納總結(jié).本題中,兩個(gè)集合A、B中的元素是倒數(shù)關(guān)系,能否取導(dǎo)數(shù)取決于它是否為零.又因?yàn)閤1∈(2,+∞),∈(1,+∞),所以按照>2、1≤≤2、<1三種情況討論.

        總之,導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).在高考試卷上,它是以壓軸題的形式呈現(xiàn)的.由于其信息量、思維量、運(yùn)算量都比較大,需要較高的數(shù)學(xué)分析、解決問(wèn)題的能力.由以上各例可以看出,上述幾種方法不是相互排斥的,而是相輔相成的.在具體問(wèn)題中,往往是幾種方法互相配合、共同發(fā)力.只要運(yùn)用得當(dāng),就能收到良好的效果.

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