透過(guò)“影響”表象厘清“獨(dú)立”本質(zhì)*

☉福建省廈門(mén)第一中學(xué) 王淼生

一、提出問(wèn)題

前不久考試中有一道看似簡(jiǎn)單卻引起爭(zhēng)論的選擇題，原題如下（下稱(chēng)案例1）：

案例1現(xiàn)有以下三個(gè)命題：

（1）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件M：出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)；事件N：出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù).

（2）袋中有大小相同的5個(gè)紅色、5個(gè)黃色，依次不放回地摸兩球.事件M：第1次摸到紅球；事件N：第2次摸到紅球.

（3）分別拋擲2枚均勻硬幣，事件M：第1枚正面向上；事件N：兩枚結(jié)果相同.

其中事件M與事件N相互獨(dú)立的有（）個(gè).

A.3B.2C.1D.0

命題專(zhuān)家給出的答案為D.

二、剖析緣由

對(duì)于（1），容易判斷事件M與事件N是對(duì)立事件，顯然不是相互獨(dú)立事件.對(duì)于（2），因不放回，顯然事件M發(fā)生對(duì)N有影響，故事件M與N不是相互獨(dú)立.可對(duì)于（3），老師們之間產(chǎn)生較大分歧，爭(zhēng)議的焦點(diǎn)在于：事件M的發(fā)生對(duì)事件N的發(fā)生是否有“影響”.

觀點(diǎn)1：一部分教師觀點(diǎn)如下：文［1］將“事件的相互獨(dú)立性”編排在“條件概率”之后，也就是說(shuō)“事件的相互獨(dú)立性”是緊接著“條件概率”之后學(xué)習(xí)的.而條件概率的本質(zhì)就是事件M的發(fā)生對(duì)事件N的發(fā)生有直接“影響”，故而形象地記作P（N|M），因此獨(dú)立事件的核心就是事件M的發(fā)生對(duì)事件N的發(fā)生沒(méi)有“影響”.簡(jiǎn)而言之，事件之間沒(méi)有“影響”就是獨(dú)立事件.這是一線教師普遍觀點(diǎn)，正是從這個(gè)指導(dǎo)思想出發(fā)，上述（3）中事件M發(fā)生前提下，事件N只發(fā)生“正面、正面”一種情況，從而認(rèn)定“影響”了事件N發(fā)生，因此判定（3）中事件M與事件N不是相互獨(dú)立.

觀點(diǎn)2：另一部分教師觀點(diǎn)如下：兩個(gè)事件是否獨(dú)立，不能僅僅憑表面是否“影響”，而是要通過(guò)具體的計(jì)算才能確定，即需要驗(yàn)證：

P（MN）=P（M）P（N）.①

若滿足上述①，則相互獨(dú)立；否則，不是相互獨(dú)立.事實(shí)上，由計(jì)算易得

顯然滿足上述①，說(shuō)明上述（3）中的事件M與事件N相互獨(dú)立，故答案為C.

表面上看，爭(zhēng)議的焦點(diǎn)似乎答案到底是選C還是D的問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)在于厘清判斷獨(dú)立事件的標(biāo)準(zhǔn)是什么？理論依據(jù)是什么？

三、厘清概念

1.模棱兩可——質(zhì)疑是研究的源動(dòng)力

筆者覺(jué)得觀點(diǎn)似乎有道理.因?yàn)闆](méi)有事件M時(shí)，事件N包含“正面、正面”與“反面、反面”兩種情況.而在事件M發(fā)生的前提下，事件N只能發(fā)生“正面、正面”這一種情況.事實(shí)明擺著：事件M的發(fā)生對(duì)事件N的發(fā)生確實(shí)有“影響”，這是不可否認(rèn)的.但上述觀點(diǎn)2是通過(guò)定量計(jì)算，符合中學(xué)教科書(shū)（文［1］）獨(dú)立性定義，顯然是正確的，不容置疑.哪到底哪一種觀點(diǎn)正確呢？

2.精準(zhǔn)定義——概念教學(xué)的首要原則

美國(guó)加州伯克利大學(xué)伍鴻熙教授認(rèn)為概念教學(xué)有五個(gè)相關(guān)聯(lián)的基本原則，其中首要原則就是概念必須精確定義.遇到棘手問(wèn)題，尤其涉及概念問(wèn)題，一線教師首先想到的是仔細(xì)、慎重、全面查閱該概念的原始定義，當(dāng)然是從最權(quán)威的教科書(shū)入手.

文［1］（中學(xué)教科書(shū)）第54頁(yè)是這樣定義獨(dú)立事件的：

定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P（AB）=P（A）P（B），則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立.

文［2］（大學(xué)教科書(shū)）第21頁(yè)的定義與文［1］完全相同，而且文［2］還給出以下定理：

定理：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，P（A）＞0，P（B）＞0.若A，B相互獨(dú)立，則P（B|A）=P（B）；反之亦然.

上述定義與定理為判斷獨(dú)立事件提供了理論依據(jù)，同時(shí)也是具體操作步驟.

依據(jù)：當(dāng)P（A）＞0，P（B）＞0，則有事件A，B相互獨(dú)立?P（AB）=P（A）P（B）.②

上述②并不奇怪，因?yàn)閿?shù)學(xué)定義中很多就是充要條件.據(jù)此可知上述觀點(diǎn)2正確，毫無(wú)疑問(wèn)案例1的答案為C，也就是說(shuō)上述案例1中的（3）中事件M與事件N相互獨(dú)立.

其實(shí)，上述案例1中的（3）并非新題，在教科書(shū)上可以找到“影子”，比如文［1］第55頁(yè)第1題，還有文［2］第20頁(yè)例1，原題如下（以下分別稱(chēng)案例2、案例3）：

案例2分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣.設(shè)“第1枚為正面”為事件A，“第2枚為正面”為事件B，“2枚結(jié)果相同”為事件C.試問(wèn)A，B，C中哪兩個(gè)相互獨(dú)立？

案例3設(shè)試驗(yàn)E為拋甲、乙兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況.設(shè)事件A為“甲幣出現(xiàn)正面”，事件B為“乙?guī)懦霈F(xiàn)正面”.試問(wèn)事件A與事件B是否相互影響？

3.深度剖析——厘清“影響”的本來(lái)面目

我們知道定量分析具有精確、嚴(yán)謹(jǐn)特征，但由于定量分析需要進(jìn)行詳細(xì)的推理、運(yùn)算，因此過(guò)程略顯復(fù)雜一些.相對(duì)來(lái)說(shuō)，定性分析則簡(jiǎn)捷、明了，但遇到較為復(fù)雜的問(wèn)題容易因表面現(xiàn)象蒙蔽而出現(xiàn)錯(cuò)誤.其實(shí)，上述觀點(diǎn)1就是定性分析，上述觀點(diǎn)2才是定量分析.哪為何定性分析容易出現(xiàn)錯(cuò)誤呢？到底問(wèn)題出在哪兒呢？

查閱百度可知“影響”是指以間接或無(wú)形的方式來(lái)作用或改變?nèi)嘶蚴碌男袨?、思想，哪具體到數(shù)學(xué)概念“獨(dú)立事件”中的“影響”又該如何界定呢？

其實(shí)，我們平常所說(shuō)的事件M發(fā)生是否“影響”事件N，不能僅僅從表面，不要以為事件N所含基本事件個(gè)數(shù)在表面上的減少就是受到了“影響”.上述觀點(diǎn)1就是受表面誘惑，即“所含基本事件個(gè)數(shù)較少”而導(dǎo)致錯(cuò)誤.當(dāng)總的基本事件個(gè)數(shù)減少（即樣本空間縮?。r(shí)，概率計(jì)算

上述分子、分母確實(shí)發(fā)生變化，即表面上似乎有“影響”，但“成比例”變化，因而沒(méi)有改變最終比值，即概率根本沒(méi)有受到“影響”，故兩個(gè)事件相互獨(dú)立.

綜上所述，獨(dú)立事件中的“影響”并不僅僅是指“過(guò)程”，而是最終的“結(jié)果”；獨(dú)立事件中的“影響”盡管影響了“表象”，但只要不妨礙最終的結(jié)果即本質(zhì)，依然是獨(dú)立事件；獨(dú)立事件中的“影響”并不僅僅是指表面的基本事件個(gè)數(shù)（即樣本空間）變化，而是指最終概率是否滿足上述②.對(duì)于具體的獨(dú)立事件相關(guān)問(wèn)題，不能僅憑定性分析下結(jié)論，還要進(jìn)行定量分析.從定性到定量分析不僅是實(shí)施宏觀到微觀的必由之路，而且是實(shí)現(xiàn)“估值”到“精算”的必經(jīng)之道.因此上述②既是判斷獨(dú)立事件理論依據(jù)，也是判斷獨(dú)立事件具體操作過(guò)程.

四、感悟體會(huì)

公式中分母變小，還應(yīng)該看到其分子同時(shí)也在相應(yīng)減少.當(dāng)分子、分母同時(shí)減少，只要其比值不變，我們就認(rèn)為是不受“影響”，即認(rèn)為是獨(dú)立事件.

以上述案例1中的（3）為例，由計(jì)算可得

1.捫心自問(wèn)——錯(cuò)誤不是學(xué)生“專(zhuān)利”

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和“錯(cuò)誤”是一個(gè)相伴過(guò)程，“錯(cuò)誤”是數(shù)學(xué)研究中永恒話題.不少教師以為這是學(xué)生的“專(zhuān)利”，其實(shí)教師也不例外（如文［3］）.從認(rèn)知角度分析，教師在概念教學(xué)過(guò)程中犯錯(cuò)誤是難免的.教師也是在不斷地犯錯(cuò)、不斷地糾錯(cuò)中成長(zhǎng)的.正是因?yàn)榻處煂?duì)數(shù)學(xué)概念的理解出現(xiàn)偏差甚至錯(cuò)誤，才能對(duì)數(shù)學(xué)概念的把握愈加精準(zhǔn)，教師才會(huì)變得更加成熟.

“錯(cuò)誤素材”是難得的、寶貴的教學(xué)資源.文［4］指出應(yīng)該“照照鏡”——教師深刻反思概念教學(xué)的失誤之處，誠(chéng)懇看作檢查自己教學(xué)效果的一面鏡子；“治治病”——順著錯(cuò)誤思路，深究錯(cuò)誤起因、深挖錯(cuò)誤根源、深思錯(cuò)誤預(yù)防，從本源上找出“元兇”、鏟除“土壤”，肅清“根基”，真正厘清概念、吃透概念.正如黑格爾指出：“錯(cuò)誤本身乃是達(dá)到真理的一個(gè)必然的環(huán)節(jié).”概念教學(xué)不僅是教學(xué)生的過(guò)程，更是教師提高自身業(yè)務(wù)水平，尤其是夯實(shí)自身功底的絕佳歷程.難怪不少名家大師說(shuō)“聽(tīng)聽(tīng)數(shù)學(xué)概念課就知道一名數(shù)學(xué)教師業(yè)務(wù)功力”是多么經(jīng)典的感悟??！

2.追根溯源——越辯論越清晰

數(shù)學(xué)顯著特征之一就是高度抽象，這就決定數(shù)學(xué)概念的深?yuàn)W.在集體備課中，教師之間需要辯論；在實(shí)施教學(xué)中，師生之間、生生之間需要辯論；在公開(kāi)教學(xué)中，教師與專(zhuān)家、專(zhuān)家與學(xué)者之間需要辯論.上述案例1就在筆者備課組及教研組中展開(kāi)激烈爭(zhēng)論，觀點(diǎn)1與觀點(diǎn)2就是當(dāng)時(shí)的真實(shí)記錄.數(shù)學(xué)概念需要辨析，越辯越明、越爭(zhēng)越清.概念既可以從“正面”辨析，也可以從“方面”即借助錯(cuò)誤案例剖析，在“錯(cuò)誤”中“辨析”，在“反例”中“爭(zhēng)論’’.對(duì)于有些概念，反面案例更能一針見(jiàn)血剖析概念內(nèi)涵，其效果甚至遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過(guò)正面案例（如文［4］）.筆者近年對(duì)概念進(jìn)行了一些研究并取得一點(diǎn)成果（如文［3］～［8］等），其中文［3］、［4］、［7］被全文轉(zhuǎn)載在人大報(bào)刊復(fù)印資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》.

3.概念教學(xué)——本質(zhì)是“玩”概念

李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也.”足以說(shuō)明概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)舉足輕重地位.章建躍博士在文［9］中明確指出，概念教學(xué)研究是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的主要任務(wù)之一.數(shù)學(xué)概念表明所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象“是什么”，這是“玩概念”的基礎(chǔ).沒(méi)有對(duì)概念內(nèi)涵的把握，對(duì)概念的性質(zhì)研究就會(huì)成為無(wú)本之木、無(wú)源之水、無(wú)米之炊.從定性到定量地展開(kāi)研究而獲得數(shù)學(xué)概念的性質(zhì)，這是“玩概念”的重要一步.只有這樣才能構(gòu)建概念與概念之間的縱橫網(wǎng)絡(luò)，才能真正理解概念.

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是思維的細(xì)胞.但因受到篇幅限制，教科書(shū)歷來(lái)惜字如金.對(duì)一些概念的表述有時(shí)僅僅一句話，甚至一個(gè)符號(hào)而已，這表面上給一線教師理解概念，尤其是把握概念的內(nèi)涵增加了不少難度.但從另一個(gè)角度看，正是因?yàn)榻炭茣?shū)沒(méi)有詳細(xì)解釋?zhuān)炊o一線教師留下無(wú)限的探究、思考空間，這正是我們常說(shuō)的要吃透教材，深入解讀教材，對(duì)教科書(shū)有獨(dú)到的、創(chuàng)造性的剖析，從而達(dá)到適合自己也符合學(xué)生更順應(yīng)課改理念的個(gè)性化教學(xué)，這正是對(duì)章建躍先生提倡的“不是教教材而是用教材教”最佳詮釋.

4.哲學(xué)原理——升華MPCK理論

自舒爾曼提出學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（PCK）理論，從而使數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)研究從PCK泛學(xué)科研究中獨(dú)立出來(lái)，成為專(zhuān)門(mén)研究數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)（MPCK）理論依據(jù)，是數(shù)學(xué)教師從事專(zhuān)業(yè)教學(xué)所應(yīng)具備的核心知識(shí).MPCK不僅要求數(shù)學(xué)教師有厚實(shí)的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)（MK），還要有先進(jìn)的教學(xué)方法策略（PK），還要有豐富的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)（CK）.從集合文氏圖角度發(fā)現(xiàn)，MK、PK、CK越大，其交集部分也會(huì)越來(lái)越大，形成數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)就會(huì)越來(lái)越豐富.筆者在教學(xué)一線忠實(shí)踐行MPCK理論，越發(fā)感受到將這些知識(shí)有機(jī)融為一體的推動(dòng)力正是辯證唯物主義哲學(xué)觀，遺憾的是，數(shù)學(xué)教學(xué)中的哲學(xué)觀還沒(méi)有引起足夠重視.數(shù)學(xué)教學(xué)，尤其是概念教學(xué)，不僅要有數(shù)學(xué)眼光，更要有哲學(xué)視野，以發(fā)揮哲學(xué)的靈魂與統(tǒng)帥作用.站在哲學(xué)高度來(lái)高屋建瓴地指導(dǎo)具體的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)，這正是MPCK理論升華與創(chuàng)新.

在上述獨(dú)立事件中的“影響”折射了哲學(xué)原理：運(yùn)動(dòng)（如樣本空間變化）是絕對(duì)的，靜止（如比值不變）是相對(duì)的.動(dòng)中有靜，靜中含動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合，和諧統(tǒng)一.正是因?yàn)楠?dú)立事件中蘊(yùn)含著這一哲學(xué)原理，因此主編在編寫(xiě)教科書(shū)（文［1］）時(shí)特意將獨(dú)立事件緊緊安排在條件概率之后，從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明了獨(dú)立事件也可以看作特殊條件概率，即當(dāng)事件M發(fā)生前提下，對(duì)事件N發(fā)生的“影響”很小很?。ū戎迪嗖詈苄。?，當(dāng)“影響”小到幾乎忽略不計(jì)時(shí)，我們就認(rèn)為是獨(dú)立，這正是辯證法量變到質(zhì)變?cè)淼木唧w體現(xiàn).同樣的道理，我們也可以將互斥事件看作特殊獨(dú)立事件，即當(dāng)事件M發(fā)生對(duì)事件N發(fā)生不僅有影響而且影響很大，大到足以讓另一個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，我們就認(rèn)為是互斥.盡管中學(xué)一線教師甚至不少專(zhuān)家學(xué)者都認(rèn)為互斥與獨(dú)立事件毫不相干.通過(guò)事物之間普遍聯(lián)系觀點(diǎn)，深刻揭示這些概念之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)，這正是概念教學(xué)重中之重，這其中滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、有限與無(wú)限、或然與必然等數(shù)學(xué)思想.像這樣的案例在高中數(shù)學(xué)中處處可見(jiàn)，比如，切線是割線極限位置就徹底解決了一直困擾師生“切線與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題”.其實(shí)切線與曲線的公共點(diǎn)可以是一個(gè)、二個(gè)乃至無(wú)數(shù)多個(gè)，換句話說(shuō)，是否為切線與公共點(diǎn)個(gè)數(shù)毫無(wú)關(guān)系，由此進(jìn)一步詮釋了初中時(shí)所學(xué)的切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的特例只是表明圓是一種特殊曲線而已.再如，圓臺(tái)上底面無(wú)限縮小的極限位置就是圓錐特例、圓臺(tái)上下底面逐步相等時(shí)就是圓柱特例，這樣就將三者緊緊聯(lián)系在一起，從而有效地破解了學(xué)生記不住三者的側(cè)面積、全面積、體積等一堆公式的煩惱.再如，圓錐曲線的原始定義，即動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離的和（差）為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓（雙曲線），本身就蘊(yùn)含著運(yùn)動(dòng)中有靜止，靜止之中時(shí)刻在運(yùn)動(dòng)，因此幾乎所有的解析幾何綜合問(wèn)題的最后落腳點(diǎn)都是涉及定值、定點(diǎn)問(wèn)題就不足為怪，其本源就在于其自身定義本來(lái)就蘊(yùn)含豐富的哲學(xué)觀.再如，一直“折磨”一線教師的《任意角三角函數(shù)》為何與《解三角形》被教科書(shū)主編“活生生”拆開(kāi)并被編排在不同的模塊之中，就是因?yàn)槿我饨侨呛瘮?shù)的產(chǎn)生并不是因?yàn)榻馊切蔚男枰皇浅踔袖J角三角函數(shù)的推廣，而是為了描述客觀世界無(wú)處不在的周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)的周期現(xiàn)象，說(shuō)到底，任意角三角函數(shù)是為研究“周期現(xiàn)象”而生，而圓周運(yùn)動(dòng)則是最佳的模型，因此新課標(biāo)教科書(shū)采用“單位圓定義法”而摒棄長(zhǎng)期以來(lái)并被大家熟悉的“終邊定義法”就是順應(yīng)時(shí)代的發(fā)展、順應(yīng)課改的理念，這就是章建躍博士在很多文章、著作及講座中一直呼吁一線教師回歸三角函數(shù)本質(zhì)的緣由所在.由此可見(jiàn)，在實(shí)施數(shù)學(xué)概念教學(xué)中不僅要滲透數(shù)學(xué)思想方法，更要加強(qiáng)辯證唯物主義哲學(xué)原理的有機(jī)融合，特別是聯(lián)系與發(fā)展的觀點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)與靜止的觀點(diǎn)、量變與質(zhì)變的觀點(diǎn)，從而為MPCK理論注入新鮮血液，為數(shù)學(xué)概念教學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

1.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修2-3（人教A版）［M］.北京：人民教育出版社，2009.

2.盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2010.

3.王淼生.追尋三角學(xué)發(fā)展史領(lǐng)悟主編意圖厘清教學(xué)困惑［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2016（1-2）.

4.王淼生.概念教學(xué)不妨嘗試“事后補(bǔ)救”［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2015（12）：40-43.

5.王淼生.論文《這個(gè)看似簡(jiǎn)單的概率題目，答案到底是多少？》［J］.數(shù)學(xué)通訊（教師刊），2014（1）：34.

6.王淼生.感悟課改理念洞察教材意圖開(kāi)展解題教學(xué)——從空間向量安排在立幾中的先后次序說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（5）：1-5.

7.王淼生.利用定積分概念解題的幾個(gè)注意點(diǎn)［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2014（5）：57-60.

8.王淼生.深刻領(lǐng)悟編者意圖深入領(lǐng)會(huì)課標(biāo)教材——對(duì)誘導(dǎo)公式的一點(diǎn)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2015（10）.

9.章建躍.如何理解“數(shù)學(xué)是玩概念的”［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2015（1-2）：封底.

10.王淼生.基于的數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略——有意差錯(cuò)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版），2016（9）.

11.王淼生.透過(guò)現(xiàn)象追根溯源看清本質(zhì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（12）.

*本文系全國(guó)教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度單位資助教育部規(guī)劃課題“基于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（MPCK）視角下的概念教學(xué)案例研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)FHB150464）研究成果.