例談高考中導(dǎo)數(shù)和函數(shù)綜合題的考查

☉湖南省長沙市雅禮中學(xué) 匡一為

導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重要知識點，每年的高考試題中小題、大題都有出現(xiàn)，是高考數(shù)學(xué)中的重點、難點、熱點.特別是近年來導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的綜合問題幾乎成了每年高考的壓軸題，對于那些掌握了方法的學(xué)生，解決此問題就較為容易.但是對于沒有掌握方法的學(xué)生，解決此問題就較為困難.下面筆者結(jié)合自己的經(jīng)驗淺談一點心得和體會.

一、關(guān)于單調(diào)性、零點、分類討論的問題的考查

例1已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（（x-1）2.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

解：（1）可以通過導(dǎo)數(shù)來討論單調(diào)性，f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.

（i）設(shè)a≥0，則當(dāng)x∈（-∞，1）時，f′（x）＜0；則當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0；所以，則f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

（ii）設(shè)a＜0，由f′（x）=0得到x=1或x=ln（-2a）.

（2）①設(shè)a＞0，則由（1）知，f（x）當(dāng)（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，又有f（1）=-e，f（2）=a，取b滿足b＜0且b＜ln，則有

所以，f（x）有兩個零點.

②設(shè)a=0，則f（x）=（x-2）ex，所以f（x）只有一個零點.

綜上所述，a的取值范圍為（0，+∞）.

當(dāng)遇到參數(shù)，在求解問題時不確定下一步如何解決時，則考慮分類討論.

二、關(guān)于單調(diào)性、最值的問題的考查

函數(shù)的單調(diào)性和最值問題也是高考中考查的重點.

例2已知函數(shù)f（x）＝ex-e-x-2x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)g（x）＝f（2x）-4bf（x），當(dāng)x＞0時，g（x）＞0，求b的最大值；

解法一：（1）f′（x）＝ex＋e-x-2≥0，等號僅當(dāng)x＝0時成立.

所以f（x）在（-∞，＋∞）單調(diào)遞增.

（2）g（x）＝f（2x）-4bf（x）＝e2x-e-2x-4b（ex-e-x）＋（8b-4）x，

g′（x）＝2［e2x＋e-2x-2b（ex＋e-x）＋（4b-2）］

＝2（ex＋e-x-2）（ex＋e-x-2b＋2）.

①當(dāng)b≤2時，g（′x）≥0，等號僅當(dāng)x=0時成立，所以g（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增.

而g（0）=0，所以對任意x＞0，g（x）＞0.

②當(dāng)b＞2時，若x滿足2＜ex+e-x＜2b-2，

綜上，b的最大值為2.

解法二：（2）由g′（x）=0，即2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）= 0，

得ex+e-x-2=0或ex+e-x-2b+2=0，由ex+e-x-2=0得x=0，

①當(dāng)b≤2時，g′（x）≥0，等號僅當(dāng)x=0時成立，所以g（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增.

而g（0）=0，所以對任意x＞0，g（x）＞0.

②當(dāng)b＞2時，由ex+e-x-2b+2=0，解得ex=b-1±■b2-2b＞0，

令m（x）=ex+e-x，m（′x）=ex-e-x=0，得x=0，

易知x＞0時，m（′x）＞0，x＜0時，m（′x）＜0，

即m（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，∞）上是增函數(shù)，

所以x∈（0，x）1時，ex+e-x-2b+2＜0，

則x∈（0，x）1時，g′（x）＜0，即g（x）在（0，x1）上單調(diào)遞減，而g（0）=0，故x∈（0，x1）時，g（x）＜0.所以b＞2不符合題意.

綜上，b的最大值為2.

解法一中，當(dāng)b＞2時，令2＜ex+e-x＜2b-2，在原點右側(cè)附近探究遞減區(qū)間，簡潔明快.解法二則是通法.

三、關(guān)于切線、新定義、最值、零點的問題的考查

綜合切線、新定義、最值、零點等問題一直是新課標卷的熱點，好多問題的設(shè)計打破常規(guī)，在探究極值點時頻頻出現(xiàn)超越方程，致使落腳點不在函數(shù)最值的具體數(shù)值上，而在函數(shù)取得最值時相應(yīng)自變量所滿足的數(shù)量關(guān)系上，再利用這一關(guān)系解決問題，具有較高的技巧.

（1）求b；

（2）f（x）的定義域為（0，+∞），由（1）知，f（x）=alnx+

故當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增.

所以，存在x0≥1，使得（fx0）＜的充要條件為（f1）

＜0，

四、關(guān)于單調(diào)性、不等式恒成立及構(gòu)造函數(shù)的問題的考查

以導(dǎo)數(shù)為工具，通過探究函數(shù)性質(zhì)并利用性質(zhì)求解不等式是新課標卷的一個新亮點.對于復(fù)雜的超越不等式，如ex-x-1＞0，往往需要探究相應(yīng)函數(shù)的零點、單調(diào)性等性質(zhì)，再借助這些性質(zhì)求解不等式.2015年的新課標文理兩卷均考查了該種類型.

例4設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2-mx.

（1）證明：f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；

（2）若對于任意x1，x2∈［-1，1］，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范圍.

解：（1）f′（x）=m（emx-1）+2x，

若m≥0，則當(dāng)x∈（0，+∞）時，emx-1≥0，f′（x）＞0；

當(dāng)x∈（-∞，0）時，emx-1≤0，f′（x）＜0.

若m＜0，則當(dāng)x∈（0，+∞）時，emx-1＜0，f′（x）＞0；

當(dāng)x∈（-∞，0）時，emx-1＞0，f′（x）＜0.

所以f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，對任意實數(shù)m，f（x）在［-1，0］上單調(diào)遞減，在［0，1］上單調(diào)遞增，故f（x）在x=0處取得最小值.

所以對于任意的x1，x2∈［-1，1］，

|f（x1）-f（x2）|≤e-1等價于即

令g（m）=em-m-e+1，則g′（m）=em-1，

易知g（m）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增.

又g（1）=0，g（-1）=e-1+2-e＜0，故m∈［-1，1］時，g（m）≤0，符合題意；

當(dāng)m＞1時，由g（m）（0，+∞）上單調(diào)遞增，則g（m）＞0，不合題意；

當(dāng)m＜-1時，則g（-m）＞0，即e-m+m＞e-1，不合題意.

綜上，m的取值范圍是［-1，1］.

五、關(guān)于單調(diào)性、不等式及構(gòu)造函數(shù)、參數(shù)及取值范圍的問題的考查

不等式恒成立求參數(shù)范圍問題常常綜合了函數(shù)的單調(diào)性等多維度知識，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的熱點問題，常規(guī)方法有分參法、函數(shù)最值法.

例5設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍.

方法1：（1）a=0時，f（x）=ex-1-x，f′（x）=ex-1.

當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0.故（fx）在（-∞，0）單調(diào)減少，在（0，+∞）單調(diào)增加

（2）方法1：f（′x）=ex-1-2ax

由（1）知，ex≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立.故f（′x）≥x-2ax=（1-2a）x，

于是當(dāng)x≥0時，（fx）≥0.由ex＞1+x（x≠0）可得e-x＞1-x（x≠0）.從而當(dāng)a＞時，f（′x）＜ex-1+2a（e-x-1）=e-（xex-1）·（ex-2a），

故當(dāng)x∈（0，ln2a）時，f′（x）＜0，而（f0）=0，于是當(dāng)x∈（0，ln2a）時，（fx）＜0.

方法2：f′（x）＝ex-1-2ax，令g（x）=f′（x），則g′（x）=ex-2a.

所以，f（′x）≥0，即（fx）在［0，+∞）上遞增，

故（fx）≥（f0）=e0-1-0-a·02=0，即（fx）≥0成立.

方法1運用了放縮法，技巧性強，解題過程簡練；方法2體現(xiàn)了通法.

以上就高考中幾種常見導(dǎo)數(shù)和函數(shù)壓軸題問題進行了反思和總結(jié)，從中我們可以看到分類討論、構(gòu)造函數(shù)等思想的應(yīng)用.要能比較熟練的解決此類問題除了需要較強的計算能力，還需要掌握一些如分離常數(shù)法、利用函數(shù)圖像與根的分布法等技巧.總之，對導(dǎo)數(shù)和函數(shù)壓軸大題來說，如能熟練的掌握以上解題思想并不斷練習(xí)相關(guān)解題技巧，廣大考生在這類問題上還是能有所作為的.