函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的探究

☉湖北省丹江口市均州中學(xué) 黃立斌

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，而且利用對(duì)稱(chēng)性往往能更簡(jiǎn)捷地使問(wèn)題得到解決，對(duì)稱(chēng)關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.本文就函數(shù)與對(duì)稱(chēng)有關(guān)的性質(zhì)作一些探討.

一、函數(shù)自身的對(duì)稱(chēng)性探究

定理1函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱(chēng)的充要條件是f（x）+f（2a-x）=2b.

證明：先證必要性：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（a，b）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′（2a-x，2by）也在y=f（x）圖像上，所以2b-y=f（2a-x），

即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b.

再證充分性：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，則y0=f（x0），

因?yàn)閒（x）+f（2a-x）=2b，所以f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）.

故點(diǎn)P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于點(diǎn)A（a，b）對(duì)稱(chēng).

推論函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的充要條件是f（x）+f（-x）=0.

定理2函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)的充要條件是f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）.（證明留給讀者）

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是f（x）=f（-x）

定理3①若函數(shù)y=f（x）圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A（a，c）和點(diǎn)B（b，c）成中心對(duì)稱(chēng)（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期.

②若函數(shù)y=f（x）圖像同時(shí)關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對(duì)稱(chēng)（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個(gè)周期.

③若函數(shù)y=f（x）圖像既關(guān)于點(diǎn)A（a，c）成中心對(duì)稱(chēng)又關(guān)于直線x=b成軸對(duì)稱(chēng)（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期.

①②的證明留給讀者，以下給出③的證明：

因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）圖像既關(guān)于點(diǎn)A（a，c）成中心對(duì)稱(chēng)，

所以f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x，得

f（2b-x）+f［2a-（2b-x）］=2c.（*）

又因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）圖像直線x=b成軸對(duì)稱(chēng)，

所以f（2b-x）=f（x）代入（*），得

f（x）=2c-f［2（a-b）+x］.（**）用2（a-b）-x代x，得

f［2（a-b）+x］=2c-f［4（a-b）+x］，代入（**），得

f（x）=f［4（a-b）+x］.

故y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個(gè)周期.

二、不同函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的探究

定理4函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關(guān)于點(diǎn)A（a，b）成中心對(duì)稱(chēng).

定理5①函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱(chēng).

②函數(shù)y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關(guān)于直線x+y=a成軸對(duì)稱(chēng).

③函數(shù)y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖像關(guān)于直線x-y=a成軸對(duì)稱(chēng).

定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③.

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，則y0=f（x0）.記點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線x-y=a的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′（x1，y1），則x1= a+y0，y1=x0-a，

所以x0=a+y1，y0=x1-a代入y0=f（x0）中，得x1-a=f（a+y1）.

所以點(diǎn)P′（x1，y1）在函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上.

同理可證：函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線x-y=a的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在函數(shù)y=f（x）的圖像上.故定理5中的③成立.

三、三角函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性列表

注：上表中k∈Z.

四、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用舉例

例1定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿(mǎn)足：f（10+x）為偶函數(shù)，且f（5-x）=f（5+x），則f（x）一定是（）.

A.是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

B.是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

C.是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

D.是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解析：因?yàn)閒（10+x）為偶函數(shù)，所以f（10+x）=f（10-x）.

所以f（x）有兩條對(duì)稱(chēng)軸x=5與x=10，因此f（x）是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，所以x=0即y軸也是f（x）的對(duì)稱(chēng)軸，因此f（x）還是一個(gè)偶函數(shù).

例2設(shè)（fx）是定義在R上的偶函數(shù)，且（f1+x）=（f1-x），當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，（fx）=-x，則（f8.6）=_________.

解析：因?yàn)閒（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以x=0是y=f（x）對(duì)稱(chēng)軸.

又因?yàn)閒（1+x）=f（1-x），所以x=1也是y=f（x）對(duì)稱(chēng)軸.故y=f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，所以f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3.

例4（2014·全國(guó)卷）奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽.若f（x＋2）為偶函數(shù)，且f（1）＝1，則f（8）＋f（9）＝（）.

A.-2B.-1C.0D.1

解：方法1：因?yàn)閒（x＋2）為偶函數(shù)，所以其對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝0，所以函數(shù)f（x）的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2.又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，其定義域?yàn)镽，所以f（0）＝0，所以f（8）＝f（-4）＝-f（4）＝-f（0）＝0，故f（8）＋f（9）＝0＋f（-5）＝-f（5）＝-f（-1）＝f（1）＝1.

方法2：因?yàn)閒（x＋2）為偶函數(shù)，所以其對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝0，所以函數(shù)f（x）的圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2.又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的圖像的對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn).由定理3中③可知，函數(shù)f（x）的周期是4|2-0|=8，所以f（8）＝f（0）＝0，f（9）＝f（1）＝1.故f（8）＋f（9）＝1.