賞析幾例圓錐曲線切線問題

☉江蘇省南通市通州區(qū)教學(xué)研究室 王惠清

圓錐曲線是一組非常優(yōu)美和諧的曲線，筆者在平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)了其中的一些優(yōu)美性質(zhì)，下面舉幾例，以饗讀者.

一、圓錐曲線切線中的一個(gè)定值問題

設(shè)PA，PB分別是焦點(diǎn)為F的拋物線的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，過拋物線上任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA，PB于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)時(shí)，∠MFN大小不變（如圖1）.

通過探究，對(duì)于橢圓和雙曲線也有同樣的結(jié)論，具體的情形就是本文的定理1，2，3.下面給出幾何法的證明.

圖1

圖2

引理1設(shè)PA，PB分別是焦點(diǎn)為F的拋物線的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，則有∠PFA=∠PFB.

證明：如圖2，設(shè)l為拋物線的準(zhǔn)線，分別過點(diǎn)A，B作l的垂線，垂足D，E.由拋物線的定義及光學(xué)性質(zhì)知，AF= AD，D，F(xiàn)兩點(diǎn)關(guān)于切線PA對(duì)稱（從點(diǎn)F射出的光線經(jīng)拋物線上的點(diǎn)A反射后將垂直于準(zhǔn)線射出，相當(dāng)于從準(zhǔn)線上的點(diǎn)D直接射出），此時(shí)的切線PA相當(dāng)于在點(diǎn)A處的一面平面鏡，所以△PFA與△PDA全等，PD=PF.同理，PE= PF，從而PD=PE，∠1=∠2，∠PDA=∠PEB，即∠PFA=∠PFB得證.

引理2設(shè)PA，PB分別是焦點(diǎn)為F的拋物線的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，則有∠PFA+∠APB=π.

證明：如圖2，夾在兩平行線DA，EB之間的∠PDA+∠PEB+∠3+∠4+∠5+∠6=2π，因?yàn)椤螾DA=∠PEB，∠3=∠4，∠5=∠6，所以∠PDA+∠4+∠5=π，即∠PFA+∠APB=π，得證.

此外，還有△PAF與△BFP相似；PF2=AF·BF；∠AFB=2∠APB等結(jié)論，留給讀者證明.

定理1設(shè)PA，PB分別是焦點(diǎn)為F的拋物線的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，過拋物線上任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA，PB于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)時(shí)，∠MFN大小不變，且∠MFN+∠APB=π，即點(diǎn)P，N，F(xiàn)，M四點(diǎn)共圓.

證明如圖3，由于MA，MC是兩條切線，根據(jù)引理1知，∠AFM=∠CFM.同理NB，NC是兩條切線，根據(jù)引理1知，∠BFN=∠CFN，所以∠CFM+∠CFN=（∠PFA+∠PFB）=∠PFA，即∠MFN=∠PFA，即∠MFN大小不變得證；再由引理2，∠MFN+∠PFA=π，所以點(diǎn)P，N，F(xiàn)，M四點(diǎn)共圓.

引理3設(shè)PA，PB分別是焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的橢圓的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，則有∠PF1A=∠PF1B，∠PF2A=∠PF2B.

圖3

圖4

證明：如圖4，作點(diǎn)F1關(guān)于切線PA的對(duì)稱點(diǎn)D，△PAD與△PAF1全等，∠1=∠2.由橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從F1發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一焦點(diǎn)F2，相當(dāng)于光線從點(diǎn)D直接經(jīng)過A到達(dá)F2，由橢圓定義，DF2=AF1+AF2等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).作點(diǎn)F1關(guān)于切線PB的對(duì)稱點(diǎn)E，△PBE與△PBF1全等，∠3=∠4，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從F1發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一焦點(diǎn)F2，相當(dāng)于光線從點(diǎn)E直接經(jīng)過B到達(dá)F2.由橢圓定義，EF2=BF1+BF2等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).因?yàn)镻D=PE=PF1，DF2=EF2，故△PDF2與△PEF2全等，∠5=∠6，即∠PF2A=∠PF2B得證.同時(shí)得∠1=∠4，從而∠2=∠3，即∠PF1A=∠PF1B得證.

引理4設(shè)PA，PB分別是焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的雙曲線同一支的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，則有∠PF1A=∠PF1B，∠PF2A=∠PF2B.

證明：如圖5，作點(diǎn)F2關(guān)于切線PA的對(duì)稱點(diǎn)D，△PAD與△PAF2全等，∠5=∠7，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，從F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過另一焦點(diǎn)F1，相當(dāng)于光線從點(diǎn)F1經(jīng)過D到達(dá)A，由雙曲線定義，DF1= AF1-AF2等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng).同理得△PBE與△PBF2全等，∠6=∠8，EF1=BF1-BF2等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng).因?yàn)镻D=PE=PF2，DF1=EF1，得△PDF1與△PEF1全等，∠1=∠2，即∠PF1A=∠PF1B得證.同時(shí)得∠3=∠4，從而∠5=∠6，∠7=∠8，即∠PF2A=∠PF2B得證.

圖5

圖6

引理5如圖6，設(shè)PA，PB分別是焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的雙曲線的兩條切線，當(dāng)切點(diǎn)A，B不在同一支上時(shí)，則有PF1平分∠AF1B的外角，PF2平分∠AF2B的外角.

證明與引理4的證明類似，不再贅述.

定理2如圖7，設(shè)PA，PB分別是焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的橢圓的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，A′，B′分別是A，B關(guān)于中心O的對(duì)稱點(diǎn)，若過橢圓上A′，B′之間的實(shí)線部分任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA，PB于M，N兩點(diǎn)，∠MF1N與∠MF2N大小不變，且分別等于∠PF1A與∠PF2A；若過橢圓上A′，B′之間的虛線部分任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA，PB于M，N兩點(diǎn)，∠MF1N與∠MF2N大小不變，且分別等于∠PF1A的補(bǔ)角與∠PF2A的補(bǔ)角.

圖7

圖8

定理3如圖8，設(shè)PA，PB分別是焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的雙曲線的兩條切線，A，B為同一支上切點(diǎn)，A′，B′分別是A，B關(guān)于中心O的對(duì)稱點(diǎn)，若過雙曲線上的實(shí)線部分（以A′，B′為界）任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA，PB于M，N兩點(diǎn)，∠MF1N與∠MF2N大小不變，且分別等于∠PF1A與∠PF2A；若過雙曲線上A′，B′之間的虛線部分任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA，PB于M，N兩點(diǎn)，∠MF1N與∠MF2N大小不變，且分別等于∠PF1A的補(bǔ)角與∠PF2A的補(bǔ)角.

圖9

如圖9，設(shè)PA，PB分別是焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2的雙曲線的兩條切線，當(dāng)切點(diǎn)A，B不在同一支上時(shí)，A′，B′分別是A，B關(guān)于中心O的對(duì)稱點(diǎn)，若過雙曲線上的實(shí)線部分（以A′，B′為界）任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA，PB于M，N兩點(diǎn)，∠MF1N與∠MF2N大小不變，且分別等于∠PF1A與∠PF2A；若過雙曲線上的虛線部分任意一點(diǎn)C作切線分別交直線PA，PB于M，N兩點(diǎn)，∠MF1N與∠MF2N大小不變，且分別等于∠PF1A的補(bǔ)角與∠PF2A的補(bǔ)角.

定理2和定理3的證明過程與定理1的證明過程類似，只要利用引理3，4，5就行了.只是橢圓和雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn)，另外，切點(diǎn)C在實(shí)線上與在虛線上需要討論，還有雙曲線中PA，PB切在同一支上和切在兩支上，情形更多，限于篇幅，不再贅述.

二、與圓錐曲線切線相關(guān)的一組等式

筆者閱讀文［1］后，在教學(xué)中利用GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示對(duì)其驗(yàn)證，并進(jìn)一步探究得到圓錐曲線的另一組等式.

圖10

證明：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x0，y0），則直線PS的參數(shù)方程可設(shè)為（t為參數(shù)），代入橢圓方程整理得

（b2cos2θ+a2sin2θ）t2+2a2b2=0.由韋達(dá)定理知，tR+tS=-，tRtS=.切點(diǎn)弦AB方程為=1，與直線PS方程聯(lián)立解得

若tS＜tQ＜tR＜0，同理可證得

由文［1］知，

0外（雙曲線不含焦點(diǎn)的區(qū)域）一點(diǎn)（不同于原點(diǎn)），過P作雙曲線的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，又過P作任一割線交雙曲線于R，S，交直線AB于點(diǎn)Q.

圖11

圖12

證明：（1）的證明與性質(zhì)1類似，現(xiàn)證明（2）.

如圖12，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x0，y0），則直線PS的參數(shù)方程可設(shè)為（t為參數(shù)），代入雙曲線方程整理得由韋達(dá)定理知.切點(diǎn)弦AB方程為，與直線PS方程聯(lián)立解得

由參數(shù)的幾何意義知，RQ=|tR-tQ|，QS=|tS-tQ|，PQ=|tQ|.若tR＜0＜tS＜tQ，則.若tR＞0＞tS＞tQ，同理可證得

等式3如圖13，設(shè)P是拋物線y2= 2px（p＞0）外（拋物線不含焦點(diǎn)的區(qū)域）一點(diǎn)，過P作拋物線的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，又過P作任一割線交拋物線于R，S，交直線AB于點(diǎn)Q，則

圖13

證明：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x0，y0），則直線PS的參數(shù)方程可設(shè)為（t為參數(shù)），代入拋物線方程整理得sin2θt2+2（y0sinθ-pcosθ）t+-2px0=0.

若tS＞tQ＞tR＞0，則

若tS＜tQ＜tR＜0，同理可證得

由文［1］知，

受研究方法的限制，在解析幾何中探究發(fā)現(xiàn)新性質(zhì)往往比較困難.借助于GeoGebra軟件，我們不僅可以驗(yàn)證結(jié)論，還可以通過動(dòng)態(tài)演示更加深入、更加高效、更加精彩地探究新結(jié)論.

1.徐文春.關(guān)于圓錐曲線切線的又一組性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2013（6）（下半月）.

2.（英）A·科克肖特著；蔣聲譯.圓錐曲線的幾何性質(zhì)［M］.上海：上海教育出版社，2002.2.