數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)教學(xué)的一點(diǎn)建議
——以蘇教版橢圓性質(zhì)教學(xué)為例

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 周愛琴

在高中數(shù)學(xué)某些性質(zhì)、定理的教學(xué)中，部分教師采用讓學(xué)生先記憶，再進(jìn)行解題應(yīng)用訓(xùn)練來達(dá)到熟練程度的辦法，對相關(guān)性質(zhì)、定理的得出并未進(jìn)行推理、說明，學(xué)生往往也是只知道有這個性質(zhì)，但這個性質(zhì)是如何得出的，并不清楚.因此在創(chuàng)新問題的解答中往往找不到問題的切入點(diǎn).

一、引例說明

題目曲線C是平面內(nèi)與定點(diǎn)F（2，0）和定直線x=-2的距離的積等于4的點(diǎn)的軌跡.下列四個結(jié)論：

①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；②曲線C關(guān)于x軸對稱；③曲線C與y軸有3個交點(diǎn)；④若點(diǎn)M在曲線C上，則|MF|的最小值為2（-1）.

其中，所有正確結(jié)論的序號是___________.

定義一個新曲線，考查曲線相應(yīng)的幾何性質(zhì).考查學(xué)生即時學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識.從數(shù)（方程）與形（曲線）兩個角度認(rèn)識事物.解答此題的方法其實在教材中都能找原型，如蘇教版教材“圓錐曲線與方程”橢圓的簡單幾何性質(zhì)一節(jié)中均有詳細(xì)的說明.

二、解法探源

以焦點(diǎn)在x上的橢圓方程為例.

1.橢圓上的點(diǎn)（x，y）的坐標(biāo)范圍

2.橢圓的對稱性

3.橢圓的頂點(diǎn)

4.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最值問題

所以當(dāng)x=-a時，|PF1|min=a-c；當(dāng)x=a時，|PF1|max=a+c.

其實上述性質(zhì)通過直接觀察橢圓的圖形即可得出，也不難理解、容易接受.但是如果我們真的這樣做了，那就失去了培養(yǎng)學(xué)生解題能力的一次有利時機(jī).

三、問題解答

曲線C是平面內(nèi)與定點(diǎn)F（2，0）和定直線x=-2的距離的積等于4的點(diǎn)的軌跡：設(shè)M（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，則有此方程若進(jìn)一步化簡較為復(fù)雜，但這并不影響我們對題目所給結(jié)論正確性的判斷：

對于結(jié)論①，判斷曲線C是否過坐標(biāo)原點(diǎn)，可將x=0， y=0代入方程中，等式成立，故結(jié)論①正確.

說明：此結(jié)論的判斷方法源于橢圓頂點(diǎn)的求解.

對于結(jié)論②，判斷曲線C是否關(guān)于x軸對稱，可令-y代換方程中的y，方程不改變，所以曲線C關(guān)于x軸對稱，故結(jié)論②正確.

說明：此結(jié)論的判斷方法源于橢圓對稱性的判斷.

說明：此結(jié)論的判斷方法源于橢圓頂點(diǎn)的求解.

故結(jié)論④正確.

說明：此結(jié)論的判斷方法源于橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍的確定及橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最值問題的求解.

綜上所述，本題的正確答案為①②④.

四、變式拓展

變式曲線C是平面內(nèi)與三個定點(diǎn)F（1-1，0），F(xiàn)（21，0）和F（30，1）的距離的和等于2的點(diǎn)的軌跡.給出下列四個結(jié)論：①曲線C關(guān)于x軸、y軸均對稱；②曲線C上存在一點(diǎn)P，使得③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2的面積最大值是1；④三角形PF2F3面積的最大值

其中所有真命題的序號是_________.

解析設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)為P（x，y）.由題意可知，C的方程為

對于結(jié)論①，在此方程中，用-x，-y分別取代x，y，可知C只關(guān)于y軸對稱，不關(guān)于x軸對稱.故結(jié)論①錯誤.

對于結(jié)論③，因為|PF1|+|PF2|≤|PF1|+|PF2|+|PF3|=2，所有的P點(diǎn)都應(yīng)該在橢圓D：+y2=1內(nèi)（含邊界），曲線C與D有唯一公共點(diǎn)A（0，1），此時，三角形面積最大，最大值為1.故結(jié)論③正確.

對于結(jié)論④，△PF2F3面積的最大值為此時需要先考慮以F2，F(xiàn)3為焦點(diǎn)、實半軸為的橢圓E，其短軸頂點(diǎn)到直線F2F（3x+y-1=0）距離為，此時△PFF的23面積為，但是曲線C應(yīng)該在此橢圓內(nèi)部，所以三角形PF2F3的面積應(yīng)小于.故結(jié)論④錯誤.

綜上所述，本題正確答案為③.

五、教學(xué)反思

通過上述兩例的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，對于一道所謂的難題，“難”往往只是體現(xiàn)在問題的形式，透過表象，不難發(fā)現(xiàn)問題的求解方法其實都是我們熟悉的內(nèi)容，關(guān)鍵在于有沒有引起我們足夠的重視.

教材是歷代教學(xué)專家智慧的結(jié)晶，是高考命題的主要依據(jù)，很多教師在教學(xué)中對教材內(nèi)容的重視不夠，常常是少講甚至不講，脫離教材.例如很多學(xué)生在學(xué)完了雙曲線的有關(guān)內(nèi)容之后，仍然不知道為什么雙曲線的離心率越大，曲線的開口越大.是教師不知道嗎？當(dāng)然不是，只是他們對這一原理沒有進(jìn)一步解釋，其實道理很簡單，因為離心率，所以離心率越大，越大，曲線的開口越大.

教材中的每一個知識點(diǎn)，甚至每一道例題或習(xí)題都是眾多專家精心編排的，具有典型性、代表性、發(fā)散性，很多高考命題都是在這些內(nèi)容的基礎(chǔ)上衍變而來，即使是綜合題的命制也例外，也是由教材中例題或習(xí)題的組合、深度加工和拓展而來，因此對教材內(nèi)容不能孤立地看待，要抓住重點(diǎn)，并且善于從各個方面精心挖掘其內(nèi)存的潛能，使教材中的每一個知識點(diǎn)、每一道例習(xí)題都能充分發(fā)揮其應(yīng)有的作用.

操作起來其實很簡單，在講解某一知識點(diǎn)時，只要我們講清楚該知識點(diǎn)的來龍去脈，并對教材內(nèi)容進(jìn)行有效的追問、拓展，將問題的背景進(jìn)行引伸，將問題形式進(jìn)行變換，這樣就能有效激活學(xué)生的思維，幫助學(xué)生建立章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的知識網(wǎng)絡(luò)，形成系統(tǒng)，進(jìn)而有效促進(jìn)學(xué)生分析問題能力、解決問題能力的提高與發(fā)展.