朱廣科

摘 要：基于問題引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)是指學(xué)生在問題驅(qū)動(dòng)下開展的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是能最大限度地開發(fā)智力的一種相對(duì)穩(wěn)定的教學(xué)策略.在《直線和圓的位置關(guān)系》教學(xué)中，知識(shí)與問題相結(jié)合，分層設(shè)置問題鏈，層層推進(jìn)，這樣的教學(xué)既建立了知識(shí)間的相互聯(lián)系，又能有效促進(jìn)學(xué)生善思好問、質(zhì)疑反思等良好數(shù)學(xué)習(xí)慣的養(yǎng)成，豐富課堂內(nèi)容.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)；直線與圓；創(chuàng)新課堂

問題驅(qū)動(dòng)策略是指學(xué)生在問題驅(qū)動(dòng)下開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并借助他人的幫助和自身的努力，利用必要的學(xué)習(xí)資源，通過自主、合作、探究學(xué)習(xí)獲得知識(shí)的建構(gòu)和能力提高，高效率地掌握雙基，最大限度地開發(fā)智力的一種相對(duì)穩(wěn)定的教學(xué)策略.問題驅(qū)動(dòng)策略要立足于師生發(fā)展的需要，其實(shí)施者可以是學(xué)習(xí)共同體中的任何成員，即師生、生生之間可以通過問題來相互驅(qū)動(dòng)，其中的問題可以是預(yù)設(shè)的，也可以是動(dòng)態(tài)生成的，最終目的是培養(yǎng)學(xué)生自我內(nèi)驅(qū)動(dòng)力的增強(qiáng)，提高元認(rèn)知能力，實(shí)現(xiàn)由“他驅(qū)動(dòng)”向“自驅(qū)動(dòng)”的轉(zhuǎn)化.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

《直線與圓的位置關(guān)系》是初中數(shù)學(xué)中的重要教學(xué)內(nèi)容之一，在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)實(shí)際中也有非常廣泛的應(yīng)用.一方面，直線與圓的位置關(guān)系是在學(xué)生學(xué)習(xí)了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以后學(xué)習(xí)的又一種圖形與圖形之間的位置關(guān)系，它是對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的鞏固與深化；另一方面，直線與圓的位置關(guān)系又是后面學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)，在其研究過程中涉及歸納、類比以及數(shù)形結(jié)合等諸多重要數(shù)學(xué)思想方法，這些方法對(duì)圓與圓位置關(guān)系的研究也具有很好的啟發(fā)與類比作用；同時(shí)，本節(jié)課的學(xué)習(xí)還可以為高中解析幾何中進(jìn)一步運(yùn)用解析法研究直線與圓的位置關(guān)系提供直觀基礎(chǔ)，可以說本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)起了承上啟下的作用.另外，直線與圓的位置關(guān)系在其他學(xué)科以及我們的現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)實(shí)際中也具有十分廣泛的應(yīng)用.可見，學(xué)好直線與圓的位置關(guān)系，不僅對(duì)本學(xué)科的學(xué)習(xí)具有十分重要的作用，而且對(duì)學(xué)習(xí)其他學(xué)科以及今后從事生產(chǎn)勞動(dòng)都具有非常重要的指導(dǎo)作用.因此，在深入分析教材的基礎(chǔ)上對(duì)本節(jié)課進(jìn)行科學(xué)合理的設(shè)計(jì)，不僅有助于提高本節(jié)課的教學(xué)效率，而且對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)也具有非常深遠(yuǎn)的影響.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.知道直線與圓的三種位置關(guān)系，能根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及“數(shù)量關(guān)系”判斷直線和圓的位置關(guān)系，會(huì)運(yùn)用切線的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題.

2.通過類比點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的探索方法探究直線和圓的位置關(guān)系，從中感受類比及轉(zhuǎn)化的思想方法.

3.在操作、類比、歸納、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，逐步培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心；在感受直線與圓的相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中，逐步培養(yǎng)運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義觀點(diǎn).

（二）目標(biāo)解析

本節(jié)課的主要知識(shí)點(diǎn)包括直線與圓的三種位置關(guān)系及相關(guān)概念、這三種位置關(guān)系的性質(zhì)定理和判定定理等，因此知識(shí)與技能目標(biāo)主要有掌握直線和圓位置關(guān)系的內(nèi)涵（定義）與外延——相交、相切、相離，并根據(jù)定義來判斷直線和圓的位置關(guān)系，學(xué)會(huì)根據(jù)直線和圓相切的定義畫出已知圓的切線；根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系，判斷直線和圓的位置關(guān)系等.

直線與圓的位置關(guān)系的研究主要采取與上一節(jié)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行類比的方法來進(jìn)行，相交、相切、相離這三個(gè)概念的本質(zhì)屬性的探索需要用到歸納思想方法，而這三種位置關(guān)系的性質(zhì)定理和判定定理的探索發(fā)現(xiàn)又要從“形”與“數(shù)”兩方面來進(jìn)行，因此確定本節(jié)課的過程與方法目標(biāo)為經(jīng)歷類比點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的研究過程，從“形”與“數(shù)”兩方面來探究直線和圓的位置關(guān)系，并從中感受歸納、類比及數(shù)形結(jié)合的思想方法.

本節(jié)課中涉及觀察、操作、自主探索、合作交流等諸多學(xué)習(xí)方法，這些方法不僅容易操作，而且貼近學(xué)生的年齡特點(diǎn)，有利于激發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的積極性.因此，本節(jié)課的情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)確定為在經(jīng)歷操作、類比、歸納、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，逐步培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心；在感受直線與圓的相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中，逐步培養(yǎng)運(yùn)動(dòng)變化的辯證唯物主義觀點(diǎn).

直線和圓的三種位置關(guān)系從“形”的方面來看，主要是看它與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由于其比較直觀，這對(duì)學(xué)生來說，并沒有多大困難，而且容易激發(fā)學(xué)生的探究興趣，因此應(yīng)將其作為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)；直線和圓的三種位置關(guān)系從“數(shù)”的方面來看，主要是看圓心到直線的距離與圓的半徑之間的大小關(guān)系，這一點(diǎn)并不像判斷直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)那么直觀，需要通過教師的精心引導(dǎo)和啟發(fā)才能發(fā)現(xiàn)，因此，通過數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系，既是本節(jié)課的重點(diǎn)，同時(shí)也是本節(jié)課的難點(diǎn).

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境 引入課題

我們?cè)谏弦还?jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，那么請(qǐng)同學(xué)們說一說，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有哪幾種？我們又是如何判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的？如果學(xué)生回答有困難，我將向?qū)W生呈現(xiàn)下面的表格，并引導(dǎo)學(xué)生一起完成下面的表格.

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)的目的一方面是為了鞏固上節(jié)課剛學(xué)的知識(shí)，另一方面，也是為新知識(shí)的學(xué)習(xí)提供先行路徑.需要注意的是，在帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時(shí)，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生用點(diǎn)到圓心的距離和圓半徑作比較，來判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，從而為用數(shù)量關(guān)系來判斷直線和圓的位置關(guān)系做好鋪墊.

在復(fù)習(xí)了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系之后，引導(dǎo)學(xué)生欣賞下面的動(dòng)畫：

一輪紅日從海上冉冉升起，它穿過海平面，越升越高，直到最后完全升到海平面以上.

在看完視頻以后，教師立即提問學(xué)生：剛才看到的動(dòng)畫漂亮嗎？你們能看出其中的數(shù)學(xué)問題嗎？

如果學(xué)生不能看出其中的數(shù)學(xué)問題，那么教師可以給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)：“如果把太陽的輪廓當(dāng)作一個(gè)圓，把地平線近似地看作一條直線，那么直線和圓位置關(guān)系有哪些？”這樣可以使學(xué)生的思考方向更加明確.

【設(shè)計(jì)意圖】從人們熟悉的太陽東升西落問題展開，讓學(xué)生感受生活中反映直線與圓的位置關(guān)系的現(xiàn)象，這樣設(shè)計(jì)不僅可以讓學(xué)生親身體會(huì)到現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性，而且可以更好地體現(xiàn)回歸生活的教育理念.同時(shí)，讓學(xué)生從身邊熟悉的現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)問題，更好地培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的態(tài)度.

在回答問題的過程中，學(xué)生一般都能把海平面想象成一條直線，把太陽看作一個(gè)圓，并說出直線與圓可能有三種位置關(guān)系.但是，需要注意的是太陽與海平面本身是不可能相交的，因此，教師要提醒學(xué)生這是想象，而不是太陽與海平面真的相交與相切.

（二）合作交流 探究新知

在學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線與圓有三種不同的位置關(guān)系以后，教師可以進(jìn)一步提問學(xué)生：你判斷直線與圓具有三種不同位置關(guān)系的依據(jù)（或分類標(biāo)準(zhǔn)）是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】提出這一問題的目的，是引導(dǎo)從直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，來判斷直線與圓的位置關(guān)系，由于學(xué)生在上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，因此，只要教師適當(dāng)加以啟發(fā)，學(xué)生通過類比，就發(fā)現(xiàn)可以按照交點(diǎn)個(gè)數(shù)，來對(duì)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行分類.這一探索過程，不僅涉及類比思想，還涉及分類的思想，提出這一問題不僅有助于學(xué)生掌握科學(xué)思維的一般方法，還有利于學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的思維方法分析世界的態(tài)度.

需要注意的是可能有少數(shù)學(xué)生在進(jìn)行分類時(shí)認(rèn)為直線與圓的公共點(diǎn)有可能是一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)或者是沒有公共點(diǎn)，因而提出直線與圓的位置關(guān)系一共有四種關(guān)系，這時(shí)教師要提醒學(xué)生按照?qǐng)A的定義，圓是不包括圓心的，因此，直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能是三個(gè).

弄清楚了直線與圓具有三種不同的位置關(guān)系及其分類標(biāo)準(zhǔn)以后，接下來要做的就是對(duì)這三種關(guān)系分別進(jìn)行命名.雖然命名是數(shù)學(xué)家的事，學(xué)生也很難提出和數(shù)學(xué)家一模一樣的名稱，但是命名本身也是一種發(fā)現(xiàn)，命名在某種意義上來說是思維發(fā)展到一定程度的必然產(chǎn)物，因此，引導(dǎo)學(xué)生自己命名不僅可以讓學(xué)生把自己的思想用精煉、概括的數(shù)學(xué)語言充分地表達(dá)出來，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的意識(shí)，而且通過學(xué)生自己命名，可以激發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的積極性和主動(dòng)性，使學(xué)生體驗(yàn)獲得發(fā)現(xiàn)的成就感.此時(shí)，教師可以嘗試性地提出以下問題：剛才大家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了直線與圓具有三種不同的位置關(guān)系，你們能不能根據(jù)你們自己的經(jīng)驗(yàn)給它們分別取個(gè)名字呢？

在這里，學(xué)生最容易想到的是模仿點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系來進(jìn)行命名，得到直線在圓外、圓上和圓內(nèi)這三種情況，學(xué)生這樣命名也很正常，教師這時(shí)不應(yīng)急于指出學(xué)生的錯(cuò)誤，而應(yīng)首先肯定“直線在圓外”這種說法的合理性，但對(duì)其他兩種名稱則可以通過“你覺得這樣命名合理嗎？”這樣的反問來讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩種命名的不合理之處，然后再通過與直線之間位置關(guān)系的類比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“直線與圓相交”這一名稱，至于“直線與圓相切”這一名稱要學(xué)生來發(fā)現(xiàn)是很困難的，這時(shí)教師可以通過“你們想看看數(shù)學(xué)家們是怎樣命名的嗎？”這樣的問題來自然而然地引出來.

在學(xué)生通過探索發(fā)現(xiàn)直線和圓的三種位置關(guān)系及其名稱以后，接下來教師可以進(jìn)一步提問學(xué)生：“你們還能用別的辦法來判斷直線與圓的位置關(guān)系嗎？”

【設(shè)計(jì)意圖】提出這一問題的目的，是讓學(xué)生在前面已經(jīng)掌握從“形”的角度，來判定直線與圓位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度，來探究直線與圓的位置關(guān)系.在這方面，學(xué)生是有一定基礎(chǔ)的，因?yàn)樵谏弦还?jié)學(xué)生已經(jīng)學(xué)過用點(diǎn)到圓心的距離和圓半徑作比較，來判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的方法，并且經(jīng)歷探索判斷點(diǎn)和圓位置關(guān)系的研究過程；而且在課前，通過提問和學(xué)案，復(fù)習(xí)了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，并且強(qiáng)化了用圓心與點(diǎn)的連線與圓的半徑作比較來判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系這一方法，這些前期準(zhǔn)備工作，可以為學(xué)生的探究提供堅(jiān)實(shí)的類比和聯(lián)想的基礎(chǔ).即使學(xué)生實(shí)在想不到，教師也可以通過“剛才我們是怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系的？”“是從什么角度來思考問題的？”或“上一節(jié)我們是如何判定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的？”“能否類比點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判定方法，來判定直線與圓的位置關(guān)系？”等引導(dǎo)性的提示語來對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)，經(jīng)過這樣的不斷啟發(fā)，學(xué)生基本能夠發(fā)現(xiàn)利用數(shù)量關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系這一方法.

（三）歸納猜想 驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)

剛才大家通過和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷方法進(jìn)行類比，發(fā)現(xiàn)利用圓心到直線的距離與圓半徑之間的大小關(guān)系做比較的方法來判定直線和圓的位置關(guān)系.這個(gè)結(jié)論是通過觀察和實(shí)驗(yàn)得到的，這樣得到的結(jié)論是否一定正確？如何才能確保它的正確性呢？

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)這一問題的目的，是要引導(dǎo)學(xué)生將猜想獲得的結(jié)論通過推理進(jìn)行驗(yàn)證，這種先猜后證的思想不僅是科學(xué)研究的基本方法，而且也是新課程標(biāo)準(zhǔn)大力倡導(dǎo)的教學(xué)理念.

需要注意的是，在這一證明過程中，證明dr時(shí)直線與圓相切比較容易，而證明d=r時(shí)直線與圓相切學(xué)生會(huì)有一定困難，此時(shí)教師應(yīng)適當(dāng)加以引導(dǎo).

講到這里，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的三種判斷方法進(jìn)行歸納，并向?qū)W生說明這三種關(guān)系有且只有一種成立.另外，還應(yīng)該強(qiáng)調(diào)圓心到直線的距離與圓半徑的比較，既可以作為各種位置關(guān)系的判斷方法，也可以看作是各種位置關(guān)系所具有的性質(zhì).同時(shí)可以通過讓學(xué)生填寫下表的方式來鞏固所學(xué)的知識(shí).

（四）課堂小結(jié) 梳理新知

課堂小結(jié)時(shí)，教師可以提出下列問題引導(dǎo)學(xué)生在表格中總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).

（1）通過直線與圓的位置關(guān)系的判斷，你學(xué)到了什么？

（2）判斷直線與圓的位置關(guān)系有幾種方法？它們的特點(diǎn)是什么？

（3）如何求出直線與圓的相交弦長(zhǎng)？

【設(shè)計(jì)意圖】通過這些題目，可以讓學(xué)生系統(tǒng)梳理本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，同時(shí)提問學(xué)生“你學(xué)到了什么？”可以將學(xué)生的收獲延伸到過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面，有利于更好地落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的三維教學(xué)目標(biāo).

四、結(jié)語

作為數(shù)學(xué)教材來說，其編排的內(nèi)容常像數(shù)學(xué)科學(xué)本身一樣具有“二重性”，一方面是數(shù)學(xué)邏輯推理等形成的嚴(yán)謹(jǐn)性；另一方面在艱深的數(shù)學(xué)原理背后常常隱藏著許多生動(dòng)形象的探索故事，而推動(dòng)數(shù)學(xué)家們做出數(shù)學(xué)成功并驅(qū)動(dòng)他們成功的動(dòng)因，卻常常是基于一些樸素的、原始的、簡(jiǎn)單的、本原性的問題.因此，才有問題驅(qū)動(dòng)策略來反思數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu).這不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情感體驗(yàn)，而且也是基于數(shù)學(xué)本質(zhì)——“用問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)”的教學(xué).問題驅(qū)動(dòng)下的課堂教學(xué)，不僅可以創(chuàng)新課堂教學(xué)的方式，而且可以引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，逐步實(shí)現(xiàn)由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)變，有利于學(xué)生今后的終身學(xué)習(xí).