江蘇省南通中學(xué) 李維堅

學(xué)生內(nèi)省驅(qū)動下的生成課堂

江蘇省南通中學(xué) 李維堅

漢語中“省”這個字是個多音字，而數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與這個字息息相關(guān)。?。▁ǐng）：一者，吾日三省吾身，注重學(xué)習(xí)的反思反??；一者，注重自我的內(nèi)省驅(qū)動。?。╯hěng）：減少，精簡，不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)思維方式。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)是一個多維、漸進(jìn)、多層次的空間序列。千姿百態(tài)的生成性資源產(chǎn)生于師生的知識、思維、智慧、情感等多種因素的交織互動。有些優(yōu)質(zhì)有效資源是可遇而不可求的，它稍縱即逝。假如教師能按照學(xué)生認(rèn)知的曲線、考慮思維的張度、情感的特征，在圍繞教學(xué)目標(biāo)精心預(yù)設(shè)的基礎(chǔ)上，開展學(xué)生內(nèi)省驅(qū)動下的生成課堂，以個人扎實(shí)的基礎(chǔ)和靈動的教學(xué)機(jī)智將那些意料之外的包含價值的生成資源敏銳捕捉，并合理有效地納入教學(xué)現(xiàn)場，組織新的教學(xué)流程，則能讓課堂教學(xué)更貼近每個學(xué)生的實(shí)際狀態(tài)，能讓學(xué)生興致高漲、思維盎然，能讓師生、生生有效互動，創(chuàng)造的火花不斷涌現(xiàn)，新的思路、不同的見解層出不窮，這樣的生成課堂才見其精彩有效之處。

一、珍視學(xué)生內(nèi)省驅(qū)動中的錯誤懸念，誘導(dǎo)真知灼見

內(nèi)省驅(qū)動下，學(xué)生犯些錯誤是正常的，因?yàn)閷W(xué)習(xí)本身就是一種通過反復(fù)思考招致錯誤緣由并逐漸消除錯誤的過程。既然學(xué)生犯錯誤是一種普遍且無法回避的事實(shí)，我們就應(yīng)該理性對待生成的錯解，主動探知出錯的原因，深層次地挖掘錯解的教學(xué)功能，這樣才有助于提高數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)效率。建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)習(xí)過程重在質(zhì)變的過程，而非單一的量變過程，這一過程中就包含了錯誤的出現(xiàn)、錯因的分析、錯解的更新。數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容就是“糾錯”，糾錯能力又是數(shù)學(xué)能力的一個重要構(gòu)成。在不斷的糾錯過程中，思維的正確性、嚴(yán)謹(jǐn)性、完整性和批判性就生機(jī)勃勃地發(fā)展起來了。在動態(tài)生成的數(shù)學(xué)課堂中，解題思路、解題方法瞬息萬變，靈感不斷，很多是師生各自或彼此受到啟示的即興之作，但因受到年齡特征、心態(tài)情緒、知識儲備、思維模式等各種因素的影響，一些偏頗的想法、缺陷，甚至錯誤都有出現(xiàn)的可能，但這不妨礙這些錯誤資源的價值利用度。

比如在講授《線性規(guī)劃》這節(jié)課時，面對兩個關(guān)于x，y的二元一次不等式，求解第三個關(guān)于x，y的二元一次代數(shù)式的范圍問題時，絕大部分教師都會面對學(xué)生的一種錯誤處理：將已知的兩個不等式利用不等式的性質(zhì)變形相加，得到第三個不等式的范圍。這種處理一般求出的都是必要條件，放大了范圍。如果教師僅僅宣布該解法的錯誤而不去挖掘錯因，不去利用錯解，那么就失去了一次很好的生成機(jī)會。錯因的挖掘和分析可以讓學(xué)生明確如何等價利用不等式的性質(zhì)；而錯解的利用則可以挖掘出除了線性規(guī)劃以外的另一種方法：即將已知的兩個關(guān)于x，y的二元一次代數(shù)式分別看為一個整體，用它們?nèi)ケ硎镜谌齻€關(guān)于x，y的二元一次代數(shù)式。筆者講授時，還讓學(xué)生類比了平面向量基本定理，這個二元變量的轉(zhuǎn)化過程本質(zhì)上是一樣的。雖然是教學(xué)目標(biāo)為“線性規(guī)劃”的課，但是筆者認(rèn)為這樣的生成并沒有浪費(fèi)時間，反而加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，因而后來學(xué)生在面對2010年江蘇省高考數(shù)學(xué)卷的一道填空題時，幾乎無困難地解決了問題。因此教師應(yīng)學(xué)會直面并審視錯誤，寶貴的教學(xué)資源也許正蘊(yùn)含在這些錯誤資源之中。

二、捕捉瞬間直覺，激發(fā)思維靈感

教育家蘇霍姆林斯基曾說：“教育的技巧并不在于能預(yù)見到課的所有細(xì)節(jié)，而在于根據(jù)當(dāng)時的具體情況，巧妙地在學(xué)生不知不覺中作出相應(yīng)的變動。”因此，教師應(yīng)審時度勢、順勢引導(dǎo)，把學(xué)生的直覺化成充滿靈氣和創(chuàng)造性的教學(xué)資源，讓其在課堂中熠熠發(fā)光。倘若斷然否定、視而不見、置之不理，就將錯失一個絕佳的生成契機(jī)。

比如《幾何概型（二）》這個案例：假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6:30～7:30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7:00～8:00之間，問你父親在離開家之前得到報紙(稱為事件A)的概率是多大？

筆者在第一個班授課時，當(dāng)這個問題提出后，學(xué)生很快展開了思考。有4個同學(xué)說出了自己的答案，在他們的解答過程中，無一例外均是以長度為測度來進(jìn)行計算的。4個人中有三個人的答案是錯誤的，但是一個同學(xué)的答案卻是正確的。筆者當(dāng)時心里咯噔了一下，怎么辦呢？筆者在預(yù)設(shè)中從沒想過這道題的一維解決方案，到底這個學(xué)生的答案是湊巧得出的還是有合理的理由呢？沉思片刻，筆者讓這個學(xué)生說出了自己的式子。

生1：

筆者請生1具體闡述一下來龍去脈，可惜生1的表達(dá)讓人不知所以然。筆者按捺住心中的疑惑，讓學(xué)生一起來研究，同時贏得了時間，自己也開始了對這個解法的重新認(rèn)識。觀察這個式子，生1應(yīng)該是從反面考慮這個問題的，也就是父親拿不到報紙的概率是那么這個式子是什么意思呢？筆者積極地思考起來，忽然間豁然開朗了，感覺這個式子是很有道理的。此時筆者看到下面有學(xué)生舉起了手，于是筆者請他發(fā)表自己的看法。

生2：父親拿不到報紙的情況必須滿足以下條件（筆者暗忖，和自己的想法差不多）：

（1）相對于送報人，送報人的時間是7:00～7：30之間，這個時間段占6:30～7：30這一個小時的

（2）相對于父親，送報人送了報紙但是父親卻離開家的時間是在7:00～7：30，這個時間段占7:00～8：00這一個小時的

（3）相對于兩者而言，送報人必須在父親離開后送到，這樣先后的概率又是

此時筆者心中很興奮，但是新的矛盾又來了，筆者又很困惑，有三個問題需要筆者面對：第一：這個解答是走了正難則反的路，那么如果從正面走，能夠直接加以解答嗎？第二：這種方法能成為解決這類問題的通法嗎？第三：筆者的教學(xué)任務(wù)還沒有完成，教學(xué)目標(biāo)還沒有完全實(shí)現(xiàn)，即建立二維坐標(biāo)系來解決這種二元變量的問題。

很短的時間內(nèi)，筆者決定把第一個和第二個問題拋給學(xué)生，讓他們課后去思考這兩個問題，而把第三個問題在課堂上解決掉。

但此時對于為什么要建二維坐標(biāo)系來解決這個問題，筆者顯然沒有很好的說服力。雖然后來用二維的思想，順利地完成了后來的教學(xué)，但自己感覺很不滿意。于是在去第二個班授課之前，根據(jù)第一個班的意外生成，還來不及總結(jié)這個意外的生成，筆者對教案做了調(diào)整。決定在這個送報的例題之前加入一個例題，換一種教學(xué)情景，把教學(xué)生長點(diǎn)建立在學(xué)生的認(rèn)知沖突上，讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)主動思考，積極探索，而不急于去拓展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

從個人知識水平上來看，學(xué)生已學(xué)過測度是一維的幾何概型的問題（比如長度），但卻未遇見這類有關(guān)二元變量的幾何概型問題，學(xué)生很自然會希望用一維的幾何概型來解決此問題，因此生1、生2的理解雖然出錯，但卻是在情理之中的，而生3發(fā)現(xiàn)的分析又指出了生1、生2的破綻。在學(xué)生的思維陷入了強(qiáng)烈的矛盾沖突中，又苦于找不到解決眼前問題的辦法之時，教師應(yīng)充分發(fā)揮主導(dǎo)作用，合理利用這一認(rèn)知沖突，提高學(xué)生的思維能力，讓課堂有效生成。

筆者提示道：這里涉及兩個變量x，y，而且你們已經(jīng)用不等式將它們的關(guān)系表示了出來，滿足而一維的數(shù)軸無法描述這兩個變量之間的關(guān)系，那我們可以借助怎樣的工具來刻畫它們的關(guān)系呢？

在二元變量范圍問題的刻畫上，類比線性規(guī)劃知識，學(xué)生聯(lián)想平面直角坐標(biāo)系是刻畫x，y的關(guān)系的有效的數(shù)形結(jié)合的工具。畫出平面區(qū)域后，概率為平面區(qū)域的面積比：

此時，學(xué)生撥開云霧見天日，認(rèn)識到這是一個“面積比”的幾何概型，原來的認(rèn)知沖突得以化解，真正是知其然也知其所以然，這為學(xué)習(xí)剛才的送報人的例題奠定了深厚的基礎(chǔ)，學(xué)生一維的定式思維被成功地拓展到二維的空間，此時在這個班對于送報人的這個問題，學(xué)生無一例外地選用了平面直角坐標(biāo)系來解決這個問題。在學(xué)生內(nèi)省驅(qū)動的課堂中，教師要善于從學(xué)生困惑的焦點(diǎn)、認(rèn)識的沖突中去捕捉有效的信息，激發(fā)內(nèi)需，發(fā)展思維，形成教學(xué)生長點(diǎn)，使課堂因?yàn)檎J(rèn)知沖突資源而精彩。根據(jù)這兩節(jié)課，筆者有很多生成性的收獲，但是對于兩課的預(yù)設(shè)心中還是存有很多的疑問，到底怎樣才是更好的呢？

而對于留給第一個班的兩個問題，筆者自己也做了思考，當(dāng)然思考也是不太成熟的。

如果從正面考慮，父親在離開家之前拿到報紙的情況分為以下三類：

（1）送報人在7:00前送到，那么父親一定可以拿到報紙。此時相對于6:30～7：30這一個小時，概率是

（2）送報人在7:00～7：30之間送到報紙，而父親在7：30之后離開，此時這個概率是

（3）送報人在7:00～7：30之間送到報紙，父親也在7:00～7：30之間離開，而且父親比送報人更晚離開，所以此時的概率是

思考后筆者發(fā)現(xiàn)，無論是課上學(xué)生提出的從反面解決還是從正面解決，都可以成為解決這類問題的一個通法，但是相對于二維的平面直角坐標(biāo)系的解題方法來說，這種方法要求思維縝密，一個環(huán)節(jié)考慮不周，就很容易出錯。而在第一節(jié)課上，生1憑借扎實(shí)的知識和迸發(fā)出來思維的火花，在極短的時間內(nèi)回答了這個問題，體現(xiàn)了這個學(xué)生直覺思維的跳躍性。

教育永遠(yuǎn)是一件遺憾的事情，而我們要做的就是如何盡可能地減少遺憾，生成精彩。對于本節(jié)課的預(yù)設(shè)，筆者還在不斷反思中。