山東省壽光現(xiàn)代中學(xué) 任彥旭

復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧

山東省壽光現(xiàn)代中學(xué) 任彥旭

復(fù)數(shù)的運(yùn)算種類雖多，但各種運(yùn)算方式間有聯(lián)系，最本質(zhì)的運(yùn)算方式就是代數(shù)形式的運(yùn)算。多樣性的運(yùn)算使得我們研究復(fù)數(shù)問題時有多種可考慮的途徑，以便從中選擇較好的方式，運(yùn)用常用的結(jié)論或者利用數(shù)學(xué)思想方法來解題，可以簡化運(yùn)算。

一、整體角度巧轉(zhuǎn)化

例1 已知z=2－i，則z6－3z5+z4+5z3+2=________。

分析：如果直接把z=2－i代入，運(yùn)算起來比較繁雜，而根據(jù)題目條件，通過整體角度來轉(zhuǎn)化，方法巧妙，運(yùn)算快捷。

解析：由于z=2－i，則有（z－2）2=（－i）2=－1，即z2－4z+5=0，

所以z6－3z5+z4+5z3+2=（z2－4z+5）（z4+z3）+2=2，故填2。

點評：從整體角度思考，巧妙利用z=2－i轉(zhuǎn)化為（z－2）2=（－i）2=1，即z2－4z+5=0，再通過因式分解來處理即可快捷求解。運(yùn)算時抓住整體，可以高屋建瓴。

二、常見公式妙應(yīng)用

點評：抓住常見公式有時是解決此類復(fù)數(shù)問題的關(guān)鍵，常見的復(fù)數(shù)運(yùn)算公式有：（1）i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，等。運(yùn)算時利用常見公式，可以簡化過程，提升速度。

三、分類討論巧解決

分析：通過復(fù)數(shù)關(guān)系式的轉(zhuǎn)化，化簡為in·[（1＋i）＋（－1）n·（1－i）]＝2，結(jié)合n的奇偶數(shù)取值情況分類討論，進(jìn)而求解最小正整數(shù)n。

點評：在解決復(fù)數(shù)問題中，涉及復(fù)數(shù)的分類、參數(shù)的取值等相關(guān)問題時，往往通過分類討論，結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算來分析與求解。運(yùn)算時結(jié)合分類討論，理清思路，拓展思維。

四、幾何意義妙轉(zhuǎn)化

分析：通過復(fù)數(shù)幾何意義的轉(zhuǎn)化，把求解對應(yīng)復(fù)數(shù)的模的問題轉(zhuǎn)化為解決平面圖形的相關(guān)線段的長度問題。

點評：從復(fù)數(shù)的幾何意義入手來轉(zhuǎn)化，把代數(shù)運(yùn)算問題幾何化，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，利用直觀平面幾何圖形來分析與處理。運(yùn)算時利用復(fù)數(shù)的幾何意義，可以化代數(shù)問題為幾何問題，通過幾何直觀來處理。

復(fù)數(shù)運(yùn)算中，關(guān)鍵是抓住復(fù)數(shù)的加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算，結(jié)合題目條件，利用整體角度、常見公式、分類討論、幾何意義等運(yùn)算技巧加以綜合與處理，達(dá)到快捷求解、正確運(yùn)算的目的。