江蘇省昆山市費俊龍中學 陳 英

淺析求解向量題目常用的妙招

江蘇省昆山市費俊龍中學 陳 英

向量題目是試卷中必定出現(xiàn)的題目，直接解答向量題目，往往找不到入手點，可以從幾何與代數(shù)兩個角度將其進行轉(zhuǎn)化，就可以輕松解答。從代數(shù)角度來講，可以將向量問題實數(shù)化，從而運用數(shù)的性質(zhì)加以處理；從幾何角度來講，向量問題可以運用數(shù)形結(jié)合思想加以處理。文中介紹了求解向量題目常用的妙招，以求能夠更好地解決向量問題。

向量題目；高中數(shù)學；妙招

向量，是指既有大小又有方向的量，它的本質(zhì)解釋了向量具有“數(shù)”和“形”的雙重身份。向量題目的難度并不是很大，而是轉(zhuǎn)化起來存在困難，導致容易出現(xiàn)問題。在解決向量題目時，可以根據(jù)具體問題，從代數(shù)與幾何兩個角度著手轉(zhuǎn)化，在實踐中反思，形成解決向量題目的妙招。

一、靈活“建系”，巧妙解答向量題目

遇到平面圖形的向量問題時，可以根據(jù)需求靈活建立平面直角坐標系，然后再通過向量坐標運算巧妙地解決問題，這正是體現(xiàn)向量“代數(shù)化”手段的重要性，更是解決向量問題的妙招。

例1 在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，點M，N分別是AB，BC的中點。若點P是△ABC內(nèi)部任意一點，那么的取值范圍是 。

圖 1

【分析】 該題目解決之前，首先要根據(jù)題意構(gòu)建一個平面坐標系xcy，且將等腰直角三角形ABC置放于平面坐標系xcy中（如 圖1）。根據(jù)圖1可以發(fā)現(xiàn)，點A（1,0），N（0,1/2），M（1/2,1/2）。設(shè)點P的坐標為（x，y），則可以得出y-1/2）。由此可解出答案。

【評注】 該題目是一道綜合性的題目，通過抽象思維很難找到出路，而通過建立一個平面直角坐標系，就能夠找到解題思路，同時還能夠找到切入點?！捌揭啤笔沁\用線性規(guī)劃解題過程中常常用到的技巧，在此題目中，就是運用“平移”技巧建立不等式，最終解決問題。

二、構(gòu)造“基底”，巧妙解答向量題目

平面向量問題往往較為抽象，看到題目只覺得眼花繚亂，根本不能夠抓住題目的切入點，更不能正確、省時地解決問題。如若遇到平面向量的相關(guān)問題，能夠根據(jù)具體情況，選擇一組恰當基底，就能夠?qū)┈嵉膯栴}化為簡單的問題。選擇基底不能夠隨便選擇，而是要依據(jù)平面向量的基本定理和向量相關(guān)的知識點。選擇恰當基底e1、e2，就可以將原來的向量問題轉(zhuǎn)化成為e1、e2的代數(shù)運算的問題。

圖2

三、借助“圖形”，巧妙解答向量題目

向量具有“數(shù)”和“形”的雙重身份，因此在遇到向量問題時，不僅要能夠靈活地運用平面向量的加法法則和減法法則，還要能夠明確其幾何意義，且能夠結(jié)合題意恰當運用。因為對于抽象的問題，往往可以通過圖形進行簡化，且有助于找到正確的解題思路，從而順利地完成題目。

例3 在平面直角坐標系xoy中，O為原點，A（-1,0）,B（0，的最大值是 。

【分析】 該題目單純依據(jù)思維，根本不能夠找到一個明確的解題思路。本題目可以根據(jù)題意將圖形畫在一個平面直角坐標系中（如圖3），將其抽象為一個以點O和點C為圓心的兩個圓。

圖 3

【評注】 將題意形成具體的某個圖形并不是解題的關(guān)鍵，該題目根據(jù)題意繪制圖形，處理的關(guān)鍵在于：將分別轉(zhuǎn)化成為與兩個向量；二，做，且使三，靈活運用向量不等式：取等號的充分必要條件。

向量題目可以通過轉(zhuǎn)化的方式，化難為易，化繁為簡，概括來講，就是從代數(shù)和幾何兩個角度進行解答。從代數(shù)角度來講，可以將向量問題實數(shù)化，從而運用數(shù)的性質(zhì)加以處理；從幾何角度來講，向量問題可以運用數(shù)形結(jié)合思想加以處理。

[1]滕傳民.平面向量題目的求解策略[J].中學數(shù)學，2012（09）.

[2]蔣明建.破解向量難題…挖掘潛在信息[J].中學數(shù)學，2013（09）.