哈爾濱師范大學(xué)研究生 馬正方

“好玩”的數(shù)列接龍

哈爾濱師范大學(xué)研究生 馬正方

數(shù)列接龍是成語接龍的好伙伴，有如文理互補(bǔ)，恰似山水相依，可刺激人左右腦的良性互動。引成語接龍之淡泊以明志，導(dǎo)數(shù)列接龍之寧靜以致遠(yuǎn)。文科有成語接龍，而數(shù)列接龍?zhí)钛a(bǔ)了理科方面沒有接龍的空白，不失為素質(zhì)教育的好教材。

數(shù)列接龍；奇數(shù)定律；剩余定律；減1定律；三項(xiàng)制

數(shù)學(xué)大師陳省身說“數(shù)學(xué)好玩”。有一種游戲叫成語接龍。筆者搞出一種數(shù)學(xué)游戲，叫數(shù)列接龍。例如：推出一個(gè)三項(xiàng)等比數(shù)列1、2、4（公比為2），在此基礎(chǔ)上連接三項(xiàng)等差數(shù)列。如何連接呢？首先，4-2=2，以2這個(gè)差數(shù)作為公差進(jìn)行計(jì)算：4+2=6，從而在等比數(shù)列1、2、4之后添上6，這樣1、2、4、6就成為所要求的數(shù)列接龍了。再例如：推出一個(gè)四項(xiàng)等差數(shù)列1、2、3、4（公差為1），在此基礎(chǔ)上連接四項(xiàng)等比數(shù)列。如何連接呢？首先，4÷3=4/3，以4/3這個(gè)商數(shù)作為公比進(jìn)行計(jì)算：4×4/3=16/3，16/3×4/3=64/9，從而在四項(xiàng)等差數(shù)列1、2、3、4之后添上16/3和64/9，這樣1、2、3、4、16/3、64/9就成為所要求的數(shù)列接龍了。必須指出：推出的數(shù)列是幾項(xiàng)，就必須連接成幾項(xiàng)的相同項(xiàng)數(shù)的等差或者等比數(shù)列。例如：第一個(gè)例子所推出的三項(xiàng)等比數(shù)列為1、2、4，連接的三項(xiàng)等差數(shù)列就是2、4、6（公差為2）。第二個(gè)例子所推出的四項(xiàng)等差數(shù)列為1、2、3、4，連接的四項(xiàng)等比數(shù)列就是3、4、16/3、64/9，該數(shù)列從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)除以前項(xiàng)所得的商數(shù)成為公比4/3（4÷3=4/3，16/3÷4=16/3×1/4=4/3，64/9÷16/3=64/9×3/16=4/3）。

如上所述可知：成語接龍沒有唯一性，就是說所連接的成語不只有一個(gè)。例如光明正大這個(gè)成語，可以連接“大展宏圖”、“大有所為”、“大智若愚”等。然而數(shù)列接龍有唯一性，就是所連接的數(shù)列只有一個(gè)符合要求。

數(shù)列接龍可以一個(gè)數(shù)列繼續(xù)連接一個(gè)數(shù)列或者任意幾個(gè)數(shù)列。以下介紹數(shù)列接龍的兩個(gè)例子。

例1 數(shù)列接龍（等比等差兩種數(shù)列均為三項(xiàng)數(shù)列，即“三項(xiàng)制”）1、2、4、6、9、12、16、20、25、30。其中，1、2、4等比，2、4、6等差，4、6、9等比，6、9、12等差，9、12、16等比，12、16、20等差，16、20、25等比，20、25、30等差。如上所述，等比的公比依次是：2/1（公比2寫成2/1）、3/2、4/3、5/4，如此這般存在規(guī)律：前一個(gè)公比的分子成為后一個(gè)公比的分母了，各個(gè)分母和分子均構(gòu)成自然數(shù)列：1、2、3、4和2、3、4、5。同時(shí)，如例題所述，等差的公差依次是2、3、4、5，從而和各個(gè)公比的分子一樣構(gòu)成自然數(shù)列。另外，該數(shù)列之中的1、4、9、16、25形成自然數(shù)的平方數(shù)走向。

例2 數(shù)列接龍（三項(xiàng)制）1、3、9、15、25、35、49、63、81、99。其中，1、3、9等比，3、9、15等差，9、15、25等比，15、25、35等差，25、35、49等比，35、49、63等差，49、63、81等比，63、81、99等差。如上所述，等比的公比依次是3/1（公比3寫成3/1）、5/3、7/5、9/7，如此這般，存在和例1相同的規(guī)律：前一個(gè)公比的分子成為后一個(gè)公比的分母了，各個(gè)分母和分子均構(gòu)成等差數(shù)列：1、3、5、7和3、5、7、9。同時(shí)，如例題所述，等差的公差依次是6、10、14、18，從而各數(shù)分別是公比的分子3、5、7、9的2倍并且構(gòu)成等差數(shù)列了。另外，如例1所示，等比的公比依次是2/1、3/2、4/3、5/4，如果例1的數(shù)列接龍無限的可持續(xù)連接下去，那么，該等比數(shù)列的公比也可持續(xù)發(fā)展下去，5/4再往下發(fā)展就成為6/5、7/6、8/7之類，分子逐項(xiàng)變?yōu)榉帜福黜?xiàng)的分母和分子均構(gòu)成等差數(shù)列。如此這般涉及數(shù)學(xué)的極值問題：第一個(gè)公比2/1是數(shù)值最大者，往下的公比3/2、4/3、5/4的走向表明其數(shù)值越來越無限地逐項(xiàng)變小。又如例1所示，等差的公差依次是2、3、4、5，如果例1的數(shù)列接龍無限的可持續(xù)連接下去，那么，該等差數(shù)列的公差也可持續(xù)發(fā)展下去，5再往下發(fā)展就成為6、7、8、9之類的自然數(shù)列。如此這般也涉及數(shù)學(xué)的極值問題：第一個(gè)公差2是數(shù)值最小者，往下的公差3、4、5的走向表明其數(shù)值越來越無限地逐項(xiàng)變大。如例1所示的規(guī)律性，例2也具有同理不同數(shù)的規(guī)律性，限于篇幅，不詳述了。

數(shù)列接龍具有極強(qiáng)的彈性，可短可長。擬短只要一個(gè)數(shù)列再連接一個(gè)數(shù)列，這樣兩個(gè)數(shù)列即可，擬長則具有無限的可持續(xù)連接的張力，要連接多少個(gè)數(shù)列都可以。數(shù)字較大可充分發(fā)揮計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的作用。例如以“1、2、4”、“1、3、9”、“1、4、16”、“1、5、25”之類的三項(xiàng)等比數(shù)列開頭進(jìn)行“三項(xiàng)制”的可短可長乃至可無限持續(xù)連接的數(shù)列接龍。

前面說過，成語接龍沒有唯一性，具有多樣性的發(fā)散思維，然而數(shù)列接龍具有唯一性，連接的每個(gè)數(shù)列只有一個(gè)。各有千秋，良性互補(bǔ)，對于培養(yǎng)學(xué)生的語感和理性思維大有益處。成語接龍和數(shù)列接龍都是龍的傳人進(jìn)行素質(zhì)教育的好教材?。?/p>

數(shù)列接龍的方法：進(jìn)行等比等差這兩種數(shù)列的數(shù)列接龍，則針對已經(jīng)成立的（或者說確定的，或者說給定的）N項(xiàng)等比數(shù)列，該數(shù)列的尾項(xiàng)減去前項(xiàng)之差作為公差，從而尾項(xiàng)加上公差之和就是所要連接的等差數(shù)列的第三項(xiàng)；根據(jù)N項(xiàng)的需要，該第三項(xiàng)加上公差之和就是第四項(xiàng)，以此類推。緊接著，對于已經(jīng)成立的等差數(shù)列，該數(shù)列的尾項(xiàng)除以前項(xiàng)之商作為公比，從而尾項(xiàng)乘以公比之積就是所要連接的等比數(shù)列的第三項(xiàng)；根據(jù)N項(xiàng)的需要（也就是根據(jù)“N項(xiàng)制”的需要），第三項(xiàng)乘以公比之積就是第四項(xiàng)，以此類推。數(shù)列接龍并不難，簡便易行（尤其都是三項(xiàng)數(shù)列的“三項(xiàng)制”）。以此進(jìn)行速算競賽的游戲，玩中學(xué)，學(xué)中樂，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

等比數(shù)列好比奇數(shù)，等差數(shù)列好比偶數(shù)（古代把奇數(shù)稱為陽數(shù)，索性把等比數(shù)列稱為雄性數(shù)列；古代把偶數(shù)稱為陰數(shù)，索性把等差數(shù)列稱為雌性數(shù)列），如同奇數(shù)偶數(shù)在自然數(shù)列之中交替間隔出現(xiàn)一樣（暗藏玄機(jī)），項(xiàng)數(shù)相同的N項(xiàng)等比等差兩種數(shù)列也交替間隔出現(xiàn)在數(shù)列接龍之中。以前已經(jīng)介紹過，如此這般，上不封項(xiàng)的高次方程應(yīng)運(yùn)而生了。

奇數(shù)定律：數(shù)列接龍a1、a2、a3、a4、a5，其中a1、a2、a3為等比數(shù)列，a2、a3、a4為等差數(shù)列，a3、a4、a5又為等比數(shù)列，從而（a2×a4）-（a1×a5）=（a1）2×（x-1）2×某一個(gè)奇數(shù)（a5除以a1所得的商數(shù)再進(jìn)行開方運(yùn)算），x為a1、a2、a3的公比。

例1 數(shù)列接龍0.5、1、2、3、4.5，其中，0.5、1、2為等比數(shù)列（公比是2），1、2、3為等差數(shù)列（公差是1），2、3、4.5是等比數(shù)列（公比是1.5），從而（1×3）-（0.5×4.5）=0.52×（0.5、1、2的公比2-1）2×3（4.5÷0.5所得的商數(shù)9，然后開方）=0.75。

例2 數(shù)列接龍5、20、80、140、245，其中，5、20、80為等比數(shù)列（公比是4），20、80、140為等差數(shù)列（公差是60），80、140、245又為等比數(shù)列（公比為），從而（20×140）-（5×245）=52×（4-1）2×7=1575，其中，5為數(shù)列接龍的首項(xiàng)，4為5、20、80的公比，7為245除以5的商數(shù)49進(jìn)行開方。

剩余定律：數(shù)列各數(shù)在正整數(shù)范圍內(nèi)，數(shù)列接龍a1、a2、a3、a4、a5，其中，a1、a2、a3為等比數(shù)列，a2、a3、a4為等差數(shù)列，a3、a4、a5又為等比數(shù)列，從而（a2×a5）-（a1×a4）=ax2+2x（能整除情況下“+2x”取消，實(shí)際上，2x是“（a2×a5）-（a1×a4）”的結(jié)果數(shù)再除以x2而不能整除的余數(shù)，故此稱為剩余定律），x為a1、a2、a3的公比并且公比為正整數(shù)，a為x2的系數(shù)。

例1 數(shù)列接龍5、20、80、140、245，其中，5、20、80為等比數(shù)列（公比是4），20、80、140為等差數(shù)列（公差是60），80、140、245又為等比數(shù)列（公比是），從而（20×245）-（5×140）=（262×42）+（2×4）=4200，4為5、20、80的公比，262為42的系數(shù)。

例 2 數(shù)列接龍 4、20、100、180、324，其中 4、20、100為等比數(shù)列（公比是5），20、100、180為等差數(shù)列（公差是80），100、180、324又為等比數(shù)列（公比是），從而（20×324）-（4×180）=（23×52）+（2×5）=5760，5為4、20、100的公比，23為 52的系數(shù)。

減 1定律：數(shù)列接龍 a1、a2、a3、a4、a5、a6，其中，a1、a2、a3為等比數(shù)列，a2、a3、a4為等差數(shù)列，a3、a4、a5又為等比數(shù)列，a4、a5、a6又為等差數(shù)列，從而（a2×a6）-（a1×a5）= （a1）2×（x4-1），其中x為a1、a2、a3的公比并且公比僅限于2和3。由于“x4-1”，故此稱為減1定律。

例1 數(shù)列接龍4、12、36、60、100、140，其中，4、12、36為等比數(shù)列（公比是3），12、36、60為等差數(shù)列（公差是24），36、60、100又為等比數(shù)列（公比是），60、100、140又為等差數(shù)列（公差是40），從而（12×140）-（4×100）=42×（34-1）=1280。

例2 數(shù)列接龍0.5、1、2、3、4.5、6，其中，0.5、1、2為等比數(shù)列（公比是2），1、2、3為等差數(shù)列（公差是1），2、3、4.5是等比數(shù)列（公比是1.5），3、4.5、6又是等差數(shù)列（公差是1.5），從而（1×6）-（0.5×4.5）=0.52×（24-1）=3.75。