江蘇省常州市新北區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 潘麗琴

蘇教版初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值問(wèn)題解法

江蘇省常州市新北區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 潘麗琴

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，特別是它的最值問(wèn)題，更是教師“教”與學(xué)生“學(xué)”的重難點(diǎn)。筆者通過(guò)調(diào)查法、歸納總結(jié)等方法，對(duì)蘇教版初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法進(jìn)行了歸納，以期學(xué)生能夠從容不迫地面對(duì)、解決二次函數(shù)的最值問(wèn)題。

蘇教版；二次函數(shù)；最值問(wèn)題；解法

二次函數(shù)的最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)，而大部分學(xué)生在面對(duì)“二次函數(shù)最值問(wèn)題”的時(shí)候，往往找不到“著手點(diǎn)”，導(dǎo)致思維不暢，進(jìn)而影響學(xué)生學(xué)習(xí)的質(zhì)量，長(zhǎng)此以往，同樣不利于學(xué)生樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。為了拓展學(xué)生的思維，鍛煉和提升學(xué)生的分析能力和解題能力，實(shí)現(xiàn)“柳暗花明又一村”，筆者舉例說(shuō)明了常用的解法，具體如下：

一、換元法

二次函數(shù)最值問(wèn)題已經(jīng)成為當(dāng)前中考的熱點(diǎn)之一，它出現(xiàn)在試卷中的樣式呈現(xiàn)多樣性，因此，作為一線的教育工作者，要充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)和指導(dǎo)作用，讓學(xué)生掌握解決最值問(wèn)題的方法，從而抓住著手點(diǎn)，輕松解決問(wèn)題。這樣不僅能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，還能夠拓展學(xué)生的思維。通過(guò)研讀中考試卷發(fā)現(xiàn)，其中有一類題目考查的知識(shí)點(diǎn)確實(shí)是“二次函數(shù)”，但是從表面來(lái)看，其涉及很多未知量，導(dǎo)致學(xué)生迷茫，找不到解決途徑。

【評(píng)注】從表面來(lái)看，題目中含有3個(gè)未知數(shù)，求含3個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式的最小值。巧妙運(yùn)用“換元法”，將其轉(zhuǎn)化成為有關(guān)未知數(shù)的二次代數(shù)式，之后構(gòu)建二次函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求取最小值。這里需要特別注意的就是t的取值范圍。

二、圖形法

圖形法又被稱之為“數(shù)形結(jié)合法”，它往往是根據(jù)問(wèn)題的已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而將數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙地結(jié)合起來(lái)，進(jìn)一步根據(jù)這種“結(jié)合”，抓住題目解決的“切入點(diǎn)”，形成解題思路，從而準(zhǔn)確、快速地解決問(wèn)題。但是由于受到各種因素的影響，學(xué)生一般會(huì)忽視“圖形法”，甚至認(rèn)為作圖是一件非常費(fèi)力的事情，導(dǎo)致“圖形法”未能物盡其用。新課改背景下，教育工作者要抓住機(jī)遇，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到“圖形法”的價(jià)值和意義，幫助學(xué)生擺脫不正確的思想觀念，且能夠在實(shí)踐中合理運(yùn)用該方法，提高自身的解題效率，同時(shí)提高自身的正確率。

圖1

【評(píng)注】要想順利解決該類題目，首先要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為求取“b”的最大值與最小值；其次就是根據(jù)題意化簡(jiǎn)，得到然后結(jié)合二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，畫出簡(jiǎn)圖，求得“b”的最大值與最小值。乍看之下，這類題目并不是二次函數(shù)的最值問(wèn)題，但實(shí)質(zhì)仍舊是二次函數(shù)的最值問(wèn)題，同時(shí)還考查了學(xué)生對(duì)于“圖形法”的掌握情況。

三、配方法

配方法又被稱之為“公式法”。結(jié)合二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可以歸納出：對(duì)于二次函數(shù)皆為常數(shù)，且y有最大值，且考試中，往往會(huì)將其置放于實(shí)際問(wèn)題中，讓學(xué)生利用二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，從而鍛煉和提高學(xué)生利用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

例3 某一個(gè)玩具廠計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具兔子，每天最高的生產(chǎn)量為40只，且每日生產(chǎn)的兔子能夠全部售出。已知生產(chǎn)x只兔子的成本為R（元），每只玩具兔子的售價(jià)為P（元），并且R與x的關(guān)系式為R=500+30x，P與x的關(guān)系式為P=170-2x。求：

（1）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，日獲取利潤(rùn)可以得到1750元？

（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可以獲取最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少元？

【分析】面對(duì)該類型題目，首先應(yīng)該構(gòu)建一個(gè)以“x”為自變量的函數(shù)，結(jié)合題意可以得出：結(jié)合二次函數(shù)的相關(guān)形式，函數(shù)具有最大值，通過(guò)配方法可以得到：可以得到日產(chǎn)量為35只時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)，且最大利潤(rùn)為1950元。

【評(píng)注】遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合題意構(gòu)建二次函數(shù)，根據(jù)“配方法”可以求得最值。

二次函數(shù)最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，但是通過(guò)歸納總結(jié)可知二次函數(shù)最值問(wèn)題的解決方法還是有規(guī)律性的，解決問(wèn)題中，往往會(huì)運(yùn)用到換元法、圖形法以及配方法，為高中階段的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。作為一線的教育工作者，要認(rèn)識(shí)到初中生的生理和心理特征，充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)和指導(dǎo)作用，及時(shí)做好解法的歸納工作。

[1]梅寧寧．初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題的解法探究[J]．寧波教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2016（06）．

[2]趙秀琴． 初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題的解法[J]．考試周刊，2012（44）．

[3]廖青馨．初中二次函數(shù)典型題的解題技巧[J]．經(jīng)營(yíng)管理者，2016（30）．