張皎

摘 要：小學階段的數(shù)學知識，“并不是從顯明的、敘述的心理中推演出來的”，它更多地來源于生活，來自于學生的實際。因此，“認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數(shù)學的重要方式”（新課程標準）。操作已成為數(shù)學課堂，尤其低年級數(shù)學課堂學生獲取知識的重要方式。然而，當我們靜下心來仔細審視時，不禁悚然于這種方式行進中所凸現(xiàn)的忙碌于形式的現(xiàn)象（重過程而輕結論），匆匆于場面的表演（重結論而輕過程），操作往往是浮光掠影，淺嘗輒止。到底是以知識引領操作的進程，還是以操作引領知識的發(fā)展？其實不論怎樣，只有從學生的實際出發(fā)，為了學生的發(fā)展，操作才有存在的價值，才更具豐富的內(nèi)涵。

關鍵詞：認知結構；數(shù)學語言；數(shù)學智慧

一、為豐富學生的認知結構而操作

學生面對新知時，并不是完全陌生的。他們總會在已有的認知系統(tǒng)中尋找到與之相關聯(lián)的舊知作為“固著點”，并在“固著點”的基礎上促進新舊知識間的相互轉(zhuǎn)化，把新知納入已有的舊知系統(tǒng)而獲得意義，形成新的認知結構。在數(shù)學學習中進行操作時（基于學具等進行的動手實踐），學生總是在對已有的知識、經(jīng)驗和處理問題的習慣方式的不斷追問中探索、反思、提升，獲得新的感受。因此，合理有效的數(shù)學操作，更有利于學生自主建構，進一步豐滿已有的認知結構。

【案例1】 求一個數(shù)的幾倍是多少的實際問題（蘇教版小學數(shù)學三年級上冊）

1. 出示填空題：

白菜：□□□

青菜：○○○○○○○○○○○○

白菜有（ ）棵，青菜有（ ）棵，青菜的棵數(shù)是白菜的（ ）倍。

2. 操作：

師：第一行擺○○，第二行擺△，使△的個數(shù)是第一行的3倍。

（生擺△。）

師：誰來說一說你擺了幾個△？

生：擺了6個。

師：第一行擺○○，第二行擺△，使△的個數(shù)是第一行的4倍。

（生擺△。學生已經(jīng)在兩個兩個地擺了。）

師：誰來說一說你擺了幾個△？

生：擺了8個。

師：第一行擺○○，第二行擺△，使△的個數(shù)是第一行的5倍。你準備擺幾個？

（有的學生已經(jīng)不擺了，大部分在兩個兩個地擺，很快就得出擺10個。）

師：第一行擺○○○， 第二行擺△，使△的個數(shù)是第一行的2倍。

（生擺△。）

師：誰來匯報你擺了幾個？

生：擺了6個。

師：如果要使第二行擺△的個數(shù)是第一行的4倍，你怎樣擺？

師：如果要使第二行擺△的個數(shù)是第一行的6倍，你怎樣擺？

至此，學生已經(jīng)不用擺了，很快說出4倍就擺4個△△△，6倍就擺6個△△△。再進行例題的實際問題教學就水到聚成了。

……

“求一個數(shù)的幾倍是多少的應用題”是基于“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”這一知識點進行的。在教學過程中，我們首先讓學生通過填空的形式回憶“幾個”“幾個幾”“幾倍”，讓他們對新知的學習進行心理上與知識上的充分準備。然后根據(jù)要求操作，在擺△是○○的2倍時，憑直覺與心算，學生很快就能得出結果。在擺△是○○的3倍、4倍的質(zhì)同形異的類比推理式操作中，學生已能將△兩個兩個地擺放。而且，此時已有部分學生自覺地從觀察“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”過渡到“求一個數(shù)的幾倍是多少”的思維上的同化與順應。在擺△是○○○的2倍、3倍、4倍時，學生不但能快速地運用幾個△△△來擺，而且在擺△是○○○的6倍時，他們已能脫口而出就是擺6個△△△。此時，通過操作，學生已經(jīng)完成了在“誰是誰的幾倍”這一已有結構上的自主建構，溝通了“誰是誰的幾倍”與“求一個數(shù)的幾倍是多少”之間的內(nèi)在聯(lián)系。操作，讓他們真正從他主走向了自主。但我們也不可否認，有時操作的結果往往與預設目標的達成有所出入，甚至相去甚遠。其原因是多方面的。在運用操作讓學生基于已有的知識結構進行自主建構時，就應著重注意兩個方面，其一，由于每個學生原有的認知結構各不相同，他們的生活經(jīng)驗、思維習慣也因人而異，在課堂學習中也總在進行著個性化的、有規(guī)則的自由運動。因此，充分了解學生已有的認知結構，深入剖析教材內(nèi)容的相互聯(lián)系，合理選擇操作的方式與時機，是促進學生在操作中自主建構的關鍵。例如，一些始發(fā)性的知識，大部分以學生的生活經(jīng)驗為基礎，這在第一學段，尤其是一年級教材中更為明顯。此時，我們應充分了解學生的已有經(jīng)驗，選用他們喜聞樂見，又符合他們年齡特征的操作方式，讓他們在操作中經(jīng)歷生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為數(shù)學知識的過程，在自主的數(shù)學化過程中主動建構。其次，在學生操作過程中，教師適時適度的暗示（如語言、動作等的暗示）、指導（如類比、推理、歸納、總結等的適時點撥）是讓學生在操作中走向自主建構的重要組成部分。

二、為發(fā)展學生的數(shù)學語言而操作

數(shù)學學習并非外部行為的簡單重復。兒童在數(shù)學上的發(fā)展也不像影子對于投影物體的追隨那樣追隨于教師的教學。數(shù)學語言的運用，將直接導致學生自身行為模式的改變，即形成由原來的“刺激——反應模式”向“感知——反思——重組——提升”的高級心理行為的改變。這一過程對學生認知結構的充實與豐滿更為重要。因此，在操作過程中基于學生自身經(jīng)驗與個性發(fā)展的數(shù)學語言，更有利于他們清晰地、有條理地表述自己的猜測，表達自己的思考過程，并合乎邏輯地討論和質(zhì)疑，從而進一步完善他們的數(shù)學素質(zhì)。

【案例2】軸對稱圖形（蘇教版小學數(shù)學三年級上冊）

學習軸對稱圖形的概念后。

師：我們學過的圖形有哪些？

生：長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓。

師：這些圖形中哪些是軸對稱圖形？分別有幾條對稱軸？可以用你們自己準備的圖形操作一下。

學生操作后交流。

生1：三角形不是軸對稱圖形，圓是軸對稱圖形，有無數(shù)條對稱軸……

生2：我有不同意見，三角形是軸對稱圖形，有1條對稱軸。

生3：不對，三角形不是軸對稱圖形。

師：有不同意見，好，關鍵是以理服人。你們用自己的方法來證明自己觀點成立的理由。

生1：出示，我從不同的方向?qū)φ?，兩邊都不能重合，所以就不是軸對稱圖形。

生2：出示，我的是個等腰三角形，對折后左右能重合，所以它是軸對稱圖形，它有一條對稱軸。

師：都有道理，還有誰想說？

生3：那如果是等邊三角形的話，就應該有3條對稱軸。

師：做個折折看。

學生操作，得出有3條對稱軸。

師：那三角形到底是不是軸對稱圖形？

生4：我覺得，如果是等腰三角形和等邊三角形，就是軸對稱圖形，對稱軸分別有1條和 3條。如果是任意三角形，就不是軸對稱圖形。

師：誰再來講一講，三角形到底是不是軸對稱圖形？

生：應分情況考慮。

師：講得很好，那剛才兩位同學犯了怎樣的錯誤？

生：沒有考慮全面。

……

個體單一的內(nèi)部思維后，語言的表述往往存在偏頗，很多時候甚至詞不達意。操作的介入，則可使語言的條理化、具體化更到位，指向性更明確。上述案例中，操作與語言的互為補充，既讓學生看清了知識的本質(zhì)（什么樣的三角形是軸對稱圖形），更讓學生認識到了思維的誤區(qū)（以偏概全），同伴間的相互評價與補充，促進了學習個體對原有思維過程的回顧與反思。二次操作，讓學生的思維走向了理性，也使語言的組織更具邏輯性。因此，在運用操作進行數(shù)學學習時，教師應時時注意為學生創(chuàng)造說的機會，讓他們說做法、說想法、說思路、說結論，鼓勵相互間的質(zhì)疑問難，討論求證，讓語言在操作中完善，讓思維在語言中深刻。同時，操作是學生基于已有經(jīng)驗進行的，因而操作后的語言表述不能在“文字上孜孜以求”，此時更應鼓勵學生用感悟后的“兒童”語言來描述明白而不出科學錯誤的個性化理解，用自己的語言來描述領悟了的有關數(shù)學知識、數(shù)學思想、數(shù)學方法。因為，只有在學生自由的談論中，我們才能更清晰地看到學生基于操作時的思維方向、相應的活動對他們產(chǎn)生了怎樣的作用和影響；也只有通過學生自由的數(shù)學談論，才更便于讓學生學會根據(jù)一些線索，通過嘗試操作后保留有用的去掉不適的；也只有通過學生自由的數(shù)學談論，才有利于進一步完善學生的思維，規(guī)范學生的數(shù)學語言。

三、為生成學生的數(shù)學智慧而操作

數(shù)學不僅僅是傳授知識，更在于培養(yǎng)學生的數(shù)學智慧。學生的數(shù)學智慧包含著對知識理解、接受時的敏銳程度和創(chuàng)新意識，以數(shù)學的眼光、數(shù)學的思想方法審視和處理生活中的問題等多個方面，因此，類比、歸納、聯(lián)想、猜測、推理、驗證等能力應是其重要的組成部分，學生進行數(shù)學操作時，總是依據(jù)已有的知識、經(jīng)驗和習慣在思索、探究。這一看似平淡、尋常的動作，往往充溢著學生的聰明才智，操作中的真知灼見，總能閃射學生的智慧之光。

【案例3】長方體的表面積（校本活動課）（蘇教版小學數(shù)學六年級上冊）

通過觀察討論，先得出包裝兩盒磁帶最節(jié)約包裝紙的方法。

師：如果要包裝4盒磁帶，你又能想出幾種方法？其中哪一種方法最節(jié)約包裝紙呢？

學生開始小組學習，充分討論后動手操作（磁帶的幾種拼法）。約10分鐘后進行全班交流。

小組1：我們有四種不同的包裝方法，每拼出一種就算一次所用包裝紙的面積，通過比較得出結論。

小組2：我們拼出了六種呢！也是通過計算比較得出最節(jié)約包裝紙的方法。

小組3：其實不用每種都算出表面積。要使包裝4盒磁帶所用的包裝紙最少，就要使它們減少的面積最多，只要先估計一下，計算出較節(jié)約的幾種進行比較就可以了。

師：那我們能不能把這六種包裝方法分分類呢？

思考片刻后，學生按減少面的個數(shù)把六種包裝方法分成了兩組（如圖1）：

比較得出每組中表面積最少的一種，再把兩組中表面積最少的包裝方法抽取出來，通過計算得出結論。

……

從上面的案例可以看出，學生開始用的方法是零亂的，思維是無序的，每種擺法得出后都要通過數(shù)據(jù)計算得出面積。要用多少包裝紙，按照這樣的趨勢發(fā)展，擺法上肯定會有遺漏，能否得出包裝紙最節(jié)約的方法很可能是一個疑問。但隨著操作的不斷深入，學生的操作方式有了質(zhì)的變化，他們通過比較、歸納，已能悟出每次重合的面積越大則減少的面積就越多，也就越節(jié)約包裝紙。操作中理性的思考，激發(fā)了他們智慧的生成。當然，為生成學生的數(shù)學智慧而操作時，如果教師以自身的實踐經(jīng)驗過早地干涉學生，則易形成掩蓋而不是揭示和溝通學生的最近發(fā)展區(qū)與現(xiàn)實知識之間的關系，暗示與指導則將成為創(chuàng)新方式與創(chuàng)新精神的束縛與扼制。其次，學生通過再創(chuàng)造獲得新經(jīng)驗后，往往會驚喜于發(fā)現(xiàn)的激動，而在新經(jīng)驗中迷失。由此，不論學生獲得怎樣的操作結果，都要引導學生進行操作后的評估，讓他們在反思中對方法進行提升，給他們批判的精神，讓操作真正為生成學生的智慧而存在。

學生是一個個鮮活的個體，在操作活動的過程中給予學生動手的機會、思考的空間、創(chuàng)新的余地，就給予了數(shù)學課堂一種蓬勃的生機。凸顯操作的價值，定會有效地促進學生的發(fā)展。