殷云峰

摘 要： 雞兔同籠是我國古代著名的數(shù)學(xué)趣題，是現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)問題，教材中是利用方程思想、列表舉例等方法處理的。

關(guān)鍵詞： 雞兔同籠 金雞獨(dú)立法 列方程法 列表法 十字交叉解法

一、引入問題

大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有二十頭，下有五十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思就是：有若干只雞和兔在同一個籠子里，從上面數(shù)有二十個頭，從下面數(shù)有五十四只腳，求籠中各有幾只雞和兔。

二、解法歸納

事實(shí)上解法是多種多樣的，我在平時教學(xué)過程中總結(jié)出運(yùn)用十字交叉法解決雞兔同籠這類型問題，此方法更簡單易行，下面通過舉例對比加以說明。

1.古代數(shù)學(xué)家孫子的解法——金雞獨(dú)立法

數(shù)學(xué)家孫子提出大膽的設(shè)想，他假設(shè)砍去每只雞、每只兔一半的腳，則每只雞就變成“獨(dú)腳雞”，而每只兔就變成“雙腳兔”。這樣“獨(dú)腳雞”和“雙腳兔”的腳就由54只變成27只；這時每只“雞”有1頭1腳數(shù)，每只“兔”有1頭2腳數(shù)。由此可知，有一只“雙腳兔”，腳的數(shù)量就會比頭的數(shù)量多1，所以“獨(dú)角雞”和“雙腳兔”的腳的數(shù)量與它們的頭的數(shù)量之差就是兔子的只數(shù)，即27-20=7（只）；雞的數(shù)量就是：20-7=13（只）。

2.現(xiàn)行課本中的解法

（1）列方程法——方程思想（設(shè)雞求兔或設(shè)兔求雞）

解：設(shè)兔有x只，那么雞有（20-x），根據(jù)題意有：

4x+2（20-x）=54

4x+40-2x =54

x=7

則雞的只數(shù)為：20-7=13（只）。

或設(shè)兔有x只，雞有y只，則根據(jù)題意有：

x+y=204x+2y=54

解得x=7 y=13。

即兔有7只，雞有13只。

（2）列表法——取“中”舉例列表

由于雞兔共有20只，因此各取10只，接著在列表中根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)確定舉例方向。

如當(dāng)雞和兔都為10只時，腳共有60只，而題目中是54只，說明兔子數(shù)多了，應(yīng)減少兔子數(shù)，最終找出問題的結(jié)果。

由上表可知，對應(yīng)的雞為13只，兔為7只。

3.十字交叉解法展示

運(yùn)用十字交叉法解決雞兔同籠，其實(shí)質(zhì)是極端思想，向兩邊走即假設(shè)籠中全是雞，或假設(shè)籠中全是兔，而實(shí)際上并不全是雞，也并不全是兔，而是雞中有兔，兔中有雞。所以這里出現(xiàn)的54足既有雞的腳，又有兔的腳，要作為十字交叉法的中間量，具體解決過程如下：

通過上面幾種解法的比較，可以看出十字交叉法顯得更簡單，只需我們朝兩個極端思考，找出中間量與它相減，求比，得答案。這種方法對拓寬學(xué)生的解題思維，提高學(xué)生創(chuàng)新能力都具有良好效果。下面我把十字交叉法的解題過程用簡短的幾句話小結(jié)出來以幫助學(xué)生。

“雞兔籠；朝極端；算雞腿。再極端；算兔腿。中間量；放中間；十字交；大減小。求比例；比例分；得答案”。

4.變式兩例（和雞、兔同籠是同一個數(shù)學(xué)模型）

變式1：小明的儲蓄罐里有1角和5角的硬幣共27枚，價值5.1元，求1角和5角的硬幣各有多少枚？

解：假設(shè)硬幣全是1角，則總共有27×0.1=2.7（元）。

假設(shè)硬幣全是5角，則總共有27×0.5=13.5（元）。

而實(shí)際上硬幣既有1角又有5角的，共有5.1元。

變式2：1998年父母的年齡和是78，哥哥和弟弟的年齡和是17歲，四年后（2002年），父親的年齡是弟弟的4倍，母親的年齡是哥哥的3倍，那么當(dāng)父親的年齡是哥哥的3倍時是哪一年？

（提示：4年后，兩個年齡和都要加8。此時哥哥和弟弟年齡之和是17+8=25歲，父母年齡之和是78+8=86歲，我們可以把哥哥的年齡看成“雞”頭數(shù)，弟弟的年齡看成“兔”頭數(shù)，由于篇幅，讀者根據(jù)提示自行解答。）