☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張昆

☉江蘇省揚州中學(xué)張乃達

數(shù)學(xué)教學(xué)的“點贊”“點化”策略

☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張昆

☉江蘇省揚州中學(xué)張乃達

眾所周知，課堂教學(xué)活動過程就是當(dāng)教師完成了創(chuàng)設(shè)問題情境（其實是關(guān)于新授課的內(nèi)容，教師設(shè)計了一個合適的初始問題，由此作為展開的課堂活動的起點）之后，通過師生、生生之間不斷地分析問題，尋求解答；萌生新問題，分析新問題，再尋求解答；如此循環(huán)往復(fù)，直到問題的最終解決，即形成階段性的數(shù)學(xué)知識結(jié)論為止［1］的一個完整的活動過程.這種循環(huán)往復(fù)的活動過程，內(nèi)在地規(guī)定了一節(jié)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的師生行為的內(nèi)容與環(huán)節(jié).如果我們舍棄課堂教學(xué)活動中這種非本質(zhì)性因素，抽象地從生成課堂活動的內(nèi)在心理動力方向上考察，一節(jié)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的學(xué)與教的活動過程就是師生、生生之間的一種以“點贊”“點化”作為環(huán)節(jié)“節(jié)點”的接力推進過程.師生（生生）之間的合適的“點贊”“點化”的行為，可以對營造情感氛圍，創(chuàng)生思維場域，誘發(fā)學(xué)習(xí)動機，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情都具有極其重要的作用，是成功的數(shù)學(xué)教學(xué)的首要保證，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的有效途徑.

一、“點贊”“點化”的教學(xué)涵義及應(yīng)用舉例

“點贊”是指教師針對某個數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，在啟發(fā)學(xué)生經(jīng)過思考與理解活動時，積極鼓勵學(xué)生有所認(rèn)識、有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)新，從而感受到問題所在、提出問題、分析問題與解決問題，并且促使學(xué)生選擇出相應(yīng)的語言加以表達，或者激勵學(xué)生對某些要義加以解釋.如此，達到的結(jié)果是：其一，學(xué)生的表達、解釋與教師的理解、想法不謀而合，從而使教師感同身受；其二，學(xué)生道出了教師在備課時還沒有理解的深度解讀，通過學(xué)生的解釋，教師從中受到啟發(fā)，從而恍然大悟，加深了對這個知識點的理解.于是，教師從內(nèi)心對學(xué)生的思考與表達發(fā)出由衰的佩服，令教師不得不為學(xué)生“點贊”.

“點化”是指當(dāng)學(xué)生對某個所要學(xué)習(xí)掌握的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，經(jīng)由它們自己開動腦筋，通過認(rèn)真的思考之后，卻還是不能從中得到自我啟發(fā)，也找不到方法或已知的知識形式將這種信息組織成像樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)輪廓，不能得到理想的結(jié)果，即學(xué)生不能獨立地順利完成數(shù)學(xué)認(rèn)知過程，此時，學(xué)生的思維處于“僨”“悱”之際，教師及時地對學(xué)生循循善誘的啟發(fā)（當(dāng)然，這種啟發(fā)也可以由其他學(xué)生來完成），這種課堂上的啟發(fā)活動，就是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中的“點化”行為，它促使學(xué)生完成對面臨的學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解、認(rèn)識與掌握.

在長期的教學(xué)實踐中，研究者認(rèn)識到，在課堂教學(xué)活動中，“點贊”與“點化”具有辯證的關(guān)系，它們不只是教師自己對學(xué)生的獨自行為，也是學(xué)生對教師的行為.兩者之間相輔相成，互相仿效、互相促進，長此以往，師生之間就會達成默契，變成了師生之間的自覺行為.這是因為，從某種程度上說，教師對學(xué)生學(xué)習(xí)活動的“點贊”，就萌生出教師對學(xué)生的佩服，實際上就是由于教師受到學(xué)生思想的“點化”.反之，教師對學(xué)生的“點化”，真正起到教學(xué)的作用、達到教學(xué)的效果時，學(xué)生必然會產(chǎn)生對教師的敬佩之情，學(xué)生畢竟至少會在內(nèi)心中為教師的施教活動“點贊”（只是在課堂上，學(xué)生可能沒有表達出來的機會罷了）.循此類推，我們不難知道，在很多情況下，學(xué)生與學(xué)生之間也可以產(chǎn)生“點贊”與“點化”行為.

因此，有效課堂教學(xué)活動的重要標(biāo)志之一就是教師（或?qū)W生）與學(xué)生之間的“點贊”與“點化”的合適行為.這種“點贊”與“點化”環(huán)節(jié)的實現(xiàn)，更是通過課堂上師生活動實現(xiàn)情感教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ).因為，學(xué)生與老師之間不只是授業(yè)解惑，師生之間的互動生乎于意、達乎于意：學(xué)生從老師的一動眉眼、一舉手足，都能感受到學(xué)問的實在、生動與真誠；由此可以改變課堂中師生之間直白的教學(xué)互動，直白的教學(xué)，首先割斷了師生的氣息相通、稟性相投、情感相依、心靈相應(yīng)，整個教與學(xué)變成了只是資料的提供接受而已［2］.合適的“點贊”與“點化”的“節(jié)點”充滿了師生之間的理解、關(guān)切之情.為此，不失一般性，我們舉一個高中數(shù)學(xué)解題的例子加以說明（其中的省略號表示學(xué)生現(xiàn)場思維的中斷）．

例題：已知a＞0，a≠1，0＜x＜1，比較|loga（1-x）|與|loga（1+x）|的大?。?/p>

師：大家有什么想法？

生1：通過討論底數(shù)a，去絕對值符號，將絕對值大小比較轉(zhuǎn)化為普通數(shù)大小比較．

生2：由于兩個對數(shù)的底相同，可以對兩數(shù)求商后與1的大小比較，直接去掉參數(shù)a．

生3：兩者作差，形成一個新函數(shù)的形式，運用導(dǎo)數(shù)知識解決問題．

生4：運用比較這兩個數(shù)的平方的大小進行試探．

生5：“異號兩數(shù)相加，和取絕對值較大的加數(shù)符號”，運用這個加法法則解決問題．

師：從經(jīng)驗上看，前四位同學(xué)提出的活動行為，應(yīng)該可以達到目的，同學(xué)們在課下試一試；這些方法有一個共同特點，都是將這兩個數(shù)轉(zhuǎn)化為其他形式．

師：生5同學(xué)想采用直接手段解決問題、獨出心裁，老師沒有想到（研究者對生5“點贊”）．如果生5同學(xué)的想法可以實現(xiàn)目的，那我們將收獲巨大，大家怎么看？

生6：這里出現(xiàn)“絕對值較大”的結(jié)論，似乎有點關(guān)系，但是它可以解決這道題嗎？我有點懷疑．

師：為什么不試一試？

生7：因為loga（1+x）+loga（1+x）=loga（1-x2），①

生：……（此時，學(xué)生需要研究者的“點化”）

師：那么，要比較|loga（1-x）|與|loga（1+x）|兩數(shù)大小，等式①起作用嗎？（研究者具體“點化”學(xué)生）

生8：由0＜x＜1知，0＜1-x＜1，0＜x2＜1，0＜1-x2＜1，故不論底數(shù)a在限定范圍內(nèi)取何值，都有l(wèi)oga（1-x）與loga（1-x）異號，loga（1-x）與loga（1-x2）同號的結(jié)論，由“異號兩數(shù)加法法則”知，|loga（1-x）|較大．

師：好！（研究者對生8的“點贊”）有同學(xué)還不理解嗎？

生9：老師，我還是沒有理解這是什么意思．

生10：我來給你舉個例子：-3+（+2）=-1，由于“和”（-1）的符號與加數(shù)（-3）的符號相同，所以，|-3|＞|+2|．①式中的“和”的loga（1-x2）的符號與第一個加數(shù)loga（1-x）的符號相同，就說明了loga（1-x）絕對值較大．（生10對生9的“點化”）

生：我理解了，謝謝生10．（生9對生10的“點贊”）

師：這道題經(jīng)由生5的獨到想法，生8的具體演算說明，生10的具體說明的協(xié)作過程，達到了全體同學(xué)都理解生5的方法的目的．給我們的啟示是對問題具有獨到的想法時，要細(xì)心地加以檢驗，不要輕易放過，這些獨到的想法中可能隱藏著黃金般的價值［3］?。ㄑ芯空咴诖藢τ胸暙I的學(xué)生“點贊”“點化”，總結(jié)解題活動）

從這個例子可以明顯地看到，概括地說，有效數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動中的師生行為的主要“節(jié)點”，就在于“點贊”“點化”環(huán)節(jié)的交替過程策略的應(yīng)用．雖然我們在這里所舉的例子是一道數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)，但是它具有一般性．因為，數(shù)學(xué)概念教學(xué)、原理教學(xué)都可以這樣設(shè)計．從這個例子的教學(xué)活動過程中，我們發(fā)現(xiàn)，師生、生生課堂行為的本質(zhì)因素就是形成了一系列的“點贊”“點化”作為“節(jié)點”的活動鏈條，學(xué)生就是在這一思維活動鏈條中，獲得了數(shù)學(xué)知識，生成了數(shù)學(xué)觀念，開拓了數(shù)學(xué)方法，形成了情感的皈依，激活了創(chuàng)新的本能，并且使得師生、生生之間心心相印，息息相通．由這個例子，我們可以總結(jié)出萌生合適的“點贊”“點化”行為對教師的要求．

二、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“點贊”“點化”的策略

我們知道，作為學(xué)生經(jīng)驗中（學(xué)生已經(jīng)通過學(xué)習(xí)掌握了，相對于登記在案的書本上）的數(shù)學(xué)知識，具有非常強的結(jié)構(gòu)性特點，它是由學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題及其某種心理聯(lián)結(jié)的中介（包括處理問題的經(jīng)驗、觀念、慣用的數(shù)學(xué)方法與興趣、傾向、動機等）所組成緊密的或松散的體系［4］，其中的概念與命題構(gòu)成了結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識的各個“節(jié)點”，就是說，作為經(jīng)驗的數(shù)學(xué)知識就是由這些“節(jié)點”與心理中介構(gòu)成的，弗賴登塔爾稱之為“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”［5］．當(dāng)擁有這些“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的學(xué)生面臨作為學(xué)習(xí)內(nèi)容的新的數(shù)學(xué)化信息時，他們就會辨別新信息中的相關(guān)元素及其所生成的脈絡(luò)輪廓與經(jīng)驗中相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、命題（通過選擇）的明顯的聯(lián)系和可能的聯(lián)系［6］．

首先，明顯的聯(lián)系說明新數(shù)學(xué)信息中的相關(guān)部分已經(jīng)作為新“節(jié)點”納入學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗中了，該學(xué)生擴大了數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，形成了新數(shù)學(xué)知識，這就構(gòu)成了教師“點贊”的內(nèi)容與時機．其次，可能的聯(lián)系就是學(xué)生不能獨立地將新數(shù)學(xué)化信息作為某種“節(jié)點”納入自己的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，他必須要得到幫助，獲得運用經(jīng)驗中的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)作用于新數(shù)學(xué)化信息，建立經(jīng)驗中的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)命題與外在的新數(shù)學(xué)化信息的聯(lián)系，生成新中介的啟示，這就需要學(xué)生之間的（上乘之選）、必須時教師自己還要直接對那個學(xué)生加以“點化”．要注意的是，“點贊”“點化”是個性化的，具有相對性，對一部分學(xué)生來說是“點贊”的內(nèi)容，可能對另一部分學(xué)生卻是需要“點化”的內(nèi)容；反之亦然．

雖然錯綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動的師生行為被抽象出“點贊”“點化”的“節(jié)點”所組成的鏈條，因此，一節(jié)課的成敗或效果的好壞、效率的高低就主要地取決于合適的師生“點贊”“點化”行為的有效性程度了.但是，在運用“點贊”“點化”進行教學(xué)活動時，必須注意兩點：第一，“點贊”“點化”可以激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)、親近教師，為實現(xiàn)（特別是情感、動機、意志、態(tài)度等的心理傾向性的）數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)提供了有利的條件，然而，“點贊”“點化”本身不是課堂教學(xué)活動的目的，而是達到教學(xué)目標(biāo)的手段；第二，“點贊”“點化”必須運用得當(dāng)，否則就會有損于數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn).因此，我們必須要研究在課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師的“點贊”“點化”的策略.

（一）數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“點贊”策略

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的師生行為中，教師是對學(xué)生“點贊”的主導(dǎo)者，承擔(dān)著主要責(zé)任，因此，教師要特別注意“點贊”的標(biāo)準(zhǔn)與時機的把握.在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師必須比較準(zhǔn)確地理解這個年齡段的學(xué)生的心理特點，不能廉價地運用“點贊”，學(xué)生在課堂活動中，萌發(fā)的數(shù)學(xué)思想、表達的數(shù)學(xué)語言、形成的數(shù)學(xué)方法、表現(xiàn)的數(shù)學(xué)技能等，確實具有創(chuàng)造性；對數(shù)學(xué)認(rèn)識活動的展開、數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、問題解決的思維活動確實具有幫助；當(dāng)某同學(xué)在課堂上針對某個具體教學(xué)內(nèi)容的信息，提出某個合適的問題，或者針對某個具體的問題提出有價值的解決方案，或者針對某個方案提出了簡化的策略等等，這些對教師自己與其他同學(xué)都產(chǎn)生了某種程度上的啟示、啟發(fā)，那么，教師就應(yīng)該為此加以“點贊”.

就是說，其一，“點贊”是具體的，與值得“點贊”的價值相匹配.否則，從學(xué)生心理角度而論，就有可能造成學(xué)生認(rèn)為教師是對自己的諷刺；其二，就是教師的“點贊”要一視同仁，切不可將學(xué)生分為三六九等，這樣會造成許多不良的教學(xué)后果.例如，在解決這個例題的時候，研究者只對生5同學(xué)加以“點贊”，而對其他同學(xué)只是作出了一般性的要求，這與生5同學(xué)萌生的思想價值相匹配的，其他同學(xué)也是心服口服的.

教師“點贊”時，要注意選擇合適的表達.“點贊”最常用的方式是教師使用“話語”，如在例子當(dāng)中的教師對生5、生8、生10的點贊都是采用了教師發(fā)自內(nèi)心的言辭加以直接地表達；教師也可以通過“一個會心的微笑，一個欣慰的眼神，一個吃驚、夸張的表情”等“非話語”的途徑來達到“點贊”的目的，而不是所有的“點贊”都直接使用語言.教師要善于將“話語”表達與“非話語”表達結(jié)合起來，合理選擇“點贊”的形式與分量程度，力爭針對學(xué)生提供的材料的價值程度相匹配，從而達到盡可能地客觀與公正.對于高中生來說，教師要知道，“點贊”的過與不及，都容易使其效果適得其反.

（二）數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的“點化”策略

實現(xiàn)“點化”的目的是非常困難的，因為，合適的“點化”不只是依據(jù)于教師對教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識與把握，而是教師必須就某個數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，充分理解與估計學(xué)生思維活動的“節(jié)點”所達到的位置，即對于那個具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容的某個“節(jié)點”處，學(xué)生存有過不去的“坎”.這些太特殊了，不同的學(xué)生對這個“節(jié)點”所構(gòu)成的“坎”大多數(shù)情況下可能是不同的，更有甚者，對于同一個學(xué)生在不同的時間上（比如，昨天與今天，甚至同一天的上午第一節(jié)課與上午第四節(jié)課）也可能是不同的.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中的“點化”正如中醫(yī)中的診斷與用藥，是辯證的，因時因地因人而改變，不可能固守某種教條或原則，從而實現(xiàn)畢其功于一役.這正是教學(xué)的藝術(shù)性表現(xiàn)，它是數(shù)學(xué)教學(xué)大師可以雕活朽木，而拙劣的教師可能毀掉英才的原因之所在［7］.

歸根結(jié)底，“點化”就是“啟發(fā)法”或“蘇格拉底法”，“蘇格拉底法”的特點是：“（一）他一有機會就引導(dǎo)人去思索自己的責(zé)任，不管這個機會是自然產(chǎn)生的，還是蘇格拉底故意編造成的，他與各種公民們談話，談話總是從他們感興趣的東西開始，或者是家務(wù)，或者是兒童的教育，或者是知識、真理……接著（二）蘇格拉底就會引導(dǎo)他們離開這種特殊事例去思索普遍的原則，引導(dǎo)他們思索、確信并認(rèn)識什么是正當(dāng)?shù)臇|西，什么是普遍的原則，什么是自在自為的真與美”［8］（55-56）.“蘇格拉底法”的主要特點也可以表達為：其一，所有的有價值的觀念都來自于學(xué)生（被談話的對象）自身；其二，啟發(fā)學(xué)生（被談話的對象）通過自己的思辨性活動，摒棄錯誤的觀念，生成正確的觀念.

因此，“點化”的策略的實現(xiàn)，可以概括為一句話：一切依靠學(xué)生.它有兩層含義：其一，教師盡可能地向?qū)W生提供信息，而不展示組織信息的方式方法，由此鼓勵學(xué)生從組織信息成脈絡(luò)輪廓的活動過程中體悟出具體的方法；其二，充分利用學(xué)生之間互相“點化”，由于多數(shù)情況下，同一個班級的年齡相仿、學(xué)習(xí)背景情況相同，他們相互之間的交流與合作更優(yōu)于教師與學(xué)生之間的交流，因此，對于同一個問題從某個學(xué)生的理解傳達到其他學(xué)生的理解，可能更具有啟發(fā)性；其三，教師的“點化”，應(yīng)該選擇更遠(yuǎn)的背景，而不要進行具體的指導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)生認(rèn)識具有一個體悟的時間與過程，如形同攝影的長鏡頭，一步一步拉近，只有當(dāng)需要，才給特寫鏡頭.教師只有如此，“點化”才能獲得理想的效果.

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動中的師生行為看上去景象萬千，錯綜復(fù)雜，但通過對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動實踐的分析、思考，抽象地考察，只是以“點贊”“點化”作為“節(jié)點”所形成的鏈條.這一發(fā)現(xiàn)，對教師離析數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在面對學(xué)生時，做好“點贊”“點化”及其用之所當(dāng)（這是非常靈活，隨著學(xué)生的不同、班級的不同，需要具體問題具體對待，隨時都需要調(diào)整，才能產(chǎn)生針對性，提高課堂教學(xué)效率）的心理準(zhǔn)備.據(jù)此，駕馭課堂上出現(xiàn)的紛繁現(xiàn)象，具有重要作用.對于經(jīng)驗不多的教師而言，如果他們就每一個教學(xué)知識點，都細(xì)心揣摩“點化”的關(guān)鍵點，那么對提高教學(xué)效率與教學(xué)設(shè)計水平也具有重要作用.

1.張昆.整合數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的取向——基于知識發(fā)生的邏輯取向與心理取向研究［J］.中國教育學(xué)刊，2011（6）.

2.張昆.潛心教學(xué)研究實現(xiàn)專業(yè)成長——例析提升數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平的心路歷程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（4）.

3.張乃達.思維·觀念·文化——張乃達數(shù)學(xué)教育文選［M］.南京：鳳凰出版社，2012.

4.張昆，張乃達.集中條件：數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵——教學(xué)設(shè)計的視角［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（2）.

5.張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論［M］.北京：高等教育出版社，2009年1月第2版（2010年12月第4次印刷）：43-44.

6.張昆，曹一鳴.完善數(shù)學(xué)教師教學(xué)行為的實現(xiàn)途徑［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015，24（1）：33-37.

7.張昆.論數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的心理取向［M］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（合肥），2016（2）：5-10.

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