☉湖南省永順縣第一中學(xué) 石家文

談平面向量基本定理應(yīng)用的一種策略
——更換基底

☉湖南省永順縣第一中學(xué) 石家文

平面向量基本定理及其應(yīng)用是平面向量這一章內(nèi)容中最重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，它一直是全國(guó)及各省市高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，其中基底表示的唯一性應(yīng)用又是一個(gè)高頻考點(diǎn).筆者在研究這一類問(wèn)題時(shí)，對(duì)2009年安徽省第14題（文）提供的解法大為佩服，其原題及提供解法如下：

在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若，其中λ，μ∈R，則λ+μ=________

圖1

佩服之余：筆者心里覺(jué)得無(wú)論解法1或解法2，對(duì)數(shù)式變形、整體代換要求很高，一般學(xué)生未必能掌握，能否找出一種更一般的方法呢？筆者對(duì)解法1作進(jìn)一步研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：

以上兩法，雖不及原來(lái)提供的方法簡(jiǎn)單，但筆者覺(jué)得它更具一般性，它實(shí)際上是把原來(lái)的基底換成新的基底，既淺顯又易懂.下面筆者談一談“更換基底”的具體作法.

一、當(dāng)直接用條件所給基底解決問(wèn)題困難較大時(shí)，不妨更換適當(dāng)新基底

例1如圖2，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，M，N分別是CD，BC的中點(diǎn)，若則λ+μ=____.

圖2

二、普通基底換成單位正交基（坐標(biāo)法）

平面向量的有關(guān)計(jì)算中：坐標(biāo)運(yùn)算是同學(xué)比較易掌握，因此學(xué)生一般都喜歡坐標(biāo)法，故我們時(shí)常將向量有關(guān)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算的問(wèn)題，其實(shí)它本質(zhì)上就是更換基底，將問(wèn)題中涉及的諸多向量轉(zhuǎn)化成單位正交基底表示的向量（即坐標(biāo)法表示）.

圖3

這是2009年安徽卷中的理科試題，它與文14題實(shí)質(zhì)是一對(duì)姊妹題，其考查的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)該就是基底法的應(yīng)用.該題表面給出基底為，若直接考慮基底則難度很大，因此，將其轉(zhuǎn)化為單位正交基底（即坐標(biāo)法）問(wèn)題很快得解.

解：以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)∠COA=θ，θ∈［0°，120°］，

圖4

代入O

又θ∈［0°，120°］，（θ+30°）∈［30°，150°］，

故當(dāng)θ+30°=90°，即θ=60°時(shí)，

（x+y）max=2.

例3在平面四邊形ABCD中，AB=13，AC=10，AD=

（1）求cos∠BAD；

這是某市的一道競(jìng)賽試題，參考答案中第（2）問(wèn)用了二次求數(shù)量積構(gòu)造關(guān)于x，y的方程組的思想方法，其解法真叫人拍案叫絕，但筆者認(rèn)為此法一般難以想到，而條件中給出的基底為它和前幾題類似，在此仍以更換基底的策略解之.

解：（1）略.

圖5

三、用更換基底法解決平面幾何或平面向量中兩線交點(diǎn)問(wèn)題，簡(jiǎn)直妙不可言

用向量法解決平面幾何問(wèn)題中的兩線交點(diǎn)問(wèn)題一般都是利用兩個(gè)三點(diǎn)共線來(lái)對(duì)某一向量算二次，用基底表示的唯一性來(lái)布列方程組求解.不少學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題聞而生畏，望而卻步.筆者認(rèn)為這類問(wèn)題把更換基底與平面向量三點(diǎn)共線定理聯(lián)合使用，簡(jiǎn)直妙不可言.

例4已知O是△ABC邊BC的中點(diǎn)，過(guò)O作直線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，若__________．

又O，M，N三點(diǎn)共線，

圖6

例5如圖7，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點(diǎn)，BE，BF分別與AC交于R，T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？

圖7

這是人教版教材必修4上的一道例題，其解法冗長(zhǎng)、麻煩．我們學(xué)校一位教師對(duì)我說(shuō)過(guò)，這道題是平面向量題中最難一道題，我花一節(jié)課的時(shí)間來(lái)講這道題，同學(xué)們還未聽(tīng)懂．于是，我把我對(duì)這道題如下解法展示給他．

他看后，感嘆：真的，太漂亮了！我馬上把這解法介紹給我的學(xué)生．

更換基底是一種淺顯、易懂、操作性強(qiáng)、運(yùn)用廣泛的方法，是對(duì)平面向量基本定理深刻理解和靈活應(yīng)用，充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．