☉西南大學(xué)附屬重慶市梁平實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔣明建

三點(diǎn)共線向量式藏在深閨人未識(shí)巧用解題有優(yōu)勢(shì)

☉西南大學(xué)附屬重慶市梁平實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔣明建

一、三點(diǎn)共線向量式定理的背景

人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·4》（必修）第二章向量中有這樣的結(jié)論（第99頁(yè)例8）：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1，P2的坐標(biāo)分別是（x1，y1），（x2，y2）.

圖1

（1）當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，則O →P=

（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)（不妨取

二、三點(diǎn)共線向量式定理及證明

由于這一結(jié)論隱藏在普通例題之中，不深入挖掘難以發(fā)現(xiàn)，一般很少將其視為定理直接用于解題，真讓人有“未展芳容緣何來(lái)，藏在深閨人未識(shí)”之感.事實(shí)上，注意挖掘利用三點(diǎn)共線向量式這一定理（以下簡(jiǎn)稱“定理”）解決有關(guān)問(wèn)題，往往能收到事半功倍的效果，令人拍案叫好！本文通過(guò)運(yùn)用“定理”對(duì)一些典型問(wèn)題的求解，展現(xiàn)了“定理”在解題運(yùn)用中的美妙與神韻.

三、定理的巧妙運(yùn)用

（一）在三點(diǎn)共線判斷問(wèn)題中的巧妙運(yùn)用

三點(diǎn)共線問(wèn)題，如果條件是向量形式給出的，就可根據(jù)三點(diǎn)共線向量式結(jié)論直接判斷.

例1已知A，B，C是直線l上的不同三點(diǎn)，點(diǎn)O不在l上，則關(guān)于x的方程的解集為_______.

已知A，B，C三點(diǎn)共線，根據(jù)“定理”知，（1-2x2）+（-x） =1，解得x=0

評(píng)注：題目已知條件明顯具備三點(diǎn)共線特征，直接運(yùn)用“定理”求解，一步到位，簡(jiǎn)潔明快．

（二）在用基向量表示其他向量問(wèn)題中的巧妙運(yùn)用

用基向量表示其他向量是平面向量的常見問(wèn)題，利用“定理”能使問(wèn)題求解變得十分簡(jiǎn)便．

圖2

解：如圖2，因?yàn)锳，M，D三點(diǎn)共線，由“定理”知，存在實(shí)數(shù)λ，使得

（三）在求值問(wèn)題中的巧妙運(yùn)用

1．求三角形面積

例3（2004年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題改編）已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且，△PBC的面積是2015，則△PAB的面積是_______．

圖3

(3)所檢橋梁部分支座擋塊有開裂、破損、與梁體間隙過(guò)小及露筋現(xiàn)象，支座擋塊與蓋梁連接處存在較多的混凝土破損、開裂現(xiàn)象。

同理，延長(zhǎng)BP，CP分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)（圖3），算xy≠0），且x+2y=1，求cos∠BAC的值．

2．求三角形的角

例4已知O為△ABC的外心，AB=2，AC=3，若

3．求最值

S′（α）=-sinα-sin2α+cos2α=-2sin2α-sinα+1．

4．求比值

例6設(shè)M，N分別是正六邊形ABCDEF的對(duì)角線AC，CE的內(nèi)分點(diǎn)，且若B，M，N三點(diǎn)共線，求λ的值．

解：如圖4，延長(zhǎng)EA，CB交于點(diǎn)P，不妨設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，易知△ECP

圖4

評(píng)注：以上幾個(gè)例題，充分運(yùn)用三點(diǎn)共線向量式定理求解，思維起點(diǎn)低，思路直接，有效避免了向量回路法運(yùn)算的煩瑣，使問(wèn)題求解簡(jiǎn)便易行．

（四）在求數(shù)列問(wèn)題中的巧妙運(yùn)用

例7（2015重慶一中高考模擬試題第9題）如圖5，已知點(diǎn)D為△ABC的BC邊上一點(diǎn)En（n∈N+）為邊AC上的一列點(diǎn)，滿，其中實(shí)數(shù)列｛an｝中an＞0， a1=1，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為（）．

圖5

A．2·3n-1-1B．2n-1 C．3n-2D．3·2n-1-2

因?yàn)锳，C，En（n∈N+）三點(diǎn)共線，所以，根據(jù)“定理”，，即an+1+1=3an+3，則an+1+1= 3（an+1），數(shù)列｛an+1｝是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求得an=2·3n-1-1，選A．

評(píng)注：注意挖掘題目中的三點(diǎn)共線條件，靈活運(yùn)用“定理”，以靜制動(dòng)、化陌生為熟悉，給我們求解帶來(lái)了極大方便．精妙之極，展現(xiàn)了“定理”在解題中的神奇功效與魅力．

（五）在幾何證明題中的巧妙運(yùn)用

對(duì)一些比較復(fù)雜的幾何證明題，善于挖掘三點(diǎn)共線條件，利用“定理”解決，不僅是一種全新的解題思路，更是一種有效的捷徑．

1．平面幾何問(wèn)題的證明

例8如圖6，在△ABC中，設(shè)D，E是BC的三等分點(diǎn)，D在B，E之間，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)，又H是線段EG和DF的交點(diǎn)，求證：

圖6

因?yàn)镋，H，G三點(diǎn)共線，所以，依據(jù)“定理”，存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得

因?yàn)镈，H，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，依據(jù)定理，存在唯一實(shí)數(shù)μ，使得

由①②，得

2.立體幾何問(wèn)題的證明

例9（2013年浙江卷理科20題）如圖7，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，，M是AD的中點(diǎn)，P是 BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC.求證：PQ∥平面BCD.

證明：這是一道典型的將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題證明的題目，但若用三點(diǎn)共線向量式來(lái)證明，過(guò)程會(huì)變得更加簡(jiǎn)潔明了.

連接A，P，交BD于N，連接CN，設(shè)A →P=λA →N（λ∈R），由P是BM的中點(diǎn)，有

圖7

評(píng)注：以上兩個(gè)題若用平面幾何知識(shí)證明，顯得比較困難、煩瑣，用向量法證明平面幾何問(wèn)題，把幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，特別是三點(diǎn)共線向量式定理的充分運(yùn)用，達(dá)到了化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的，大大縮短了解題過(guò)程，真可謂“四兩撥千斤”.

（六）在解決有關(guān)范圍問(wèn)題中的巧妙運(yùn)用

例10（重慶高2015級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試題第25題）已知P是

圖8

解析：根據(jù)所給題目，容易看出這是一個(gè)“變異”的線性規(guī)劃問(wèn)題，即約束條件隱藏于向量條件之中.掀起向量蓋頭，挖掘隱藏在條件中的x，y滿足的關(guān)系，是解決問(wèn)題的突破口.

評(píng)注：本題中x的范圍的確定是一個(gè)難點(diǎn)，但根據(jù)平面向量加法運(yùn)算的平行四邊形法則和三點(diǎn)共線向量式定理來(lái)確定，可謂行云流水，事半功倍，充分展現(xiàn)了“定理”在解題運(yùn)用中的魅力與神韻.

通過(guò)以上各題解答我們看到，充分運(yùn)用三點(diǎn)共線向量式定理這個(gè)基本工具來(lái)解決有關(guān)三點(diǎn)共線的方程、三角形、數(shù)列、幾何、線性規(guī)劃等題目時(shí)，大大簡(jiǎn)化了采用常規(guī)方法而產(chǎn)生的復(fù)雜的運(yùn)算，使得過(guò)程簡(jiǎn)潔流暢.這種將平面向量的思想延伸到數(shù)學(xué)其他多個(gè)分支中，體現(xiàn)了“定理”在數(shù)學(xué)解題中極其重要的地位與作用，不僅僅是知識(shí)層面上的交匯，更重要的是思想上、方法上的交匯；不僅有效實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的整合，同時(shí)對(duì)于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)大有裨益，值得大家認(rèn)真領(lǐng)會(huì)與進(jìn)一步探索.

1.蔣明建.善用“1”巧解數(shù)學(xué)題［J］.《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》，2010（4）.

2.蔣明建.破解向量難題挖掘潛在信息［J］.《中學(xué)數(shù)學(xué)》（上），2013（5）.

3.吳成強(qiáng).三點(diǎn)共線向量式的巧妙運(yùn)用［J］.《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》（高中版），2010（5）.