☉湖北省武穴市實驗高中 劉勝林

重溫高考經(jīng)典，感悟試題真諦
——幾道與向量有關(guān)的高考試題的解法賞析與感悟

☉湖北省武穴市實驗高中 劉勝林

向量作為高中數(shù)學(xué)的重要解題工具，它具有代數(shù)與幾何雙重特性，與其他知識能進行巧妙的融合，能有效地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，具有較好的甄別功能．因此與向量有關(guān)的高考試題備受高考命題者的厚愛，常將其作為選擇、填空試題中的壓軸題把關(guān)出現(xiàn)，成為學(xué)生考試的一道“瓶頸”．該類試題大多數(shù)情況下以凸顯向量的幾何特征來呈現(xiàn)命制，少許時候也以凸顯向量的代數(shù)特性命題．對此若能認真審題、揣摩題意，有效洞察向量代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，揭示向量的幾何意義，則可從“形”這個角度，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化求解；或根據(jù)向量式所呈現(xiàn)出的幾何特性，通過建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，建立幾何代數(shù)相互轉(zhuǎn)化的橋梁與紐帶，將相關(guān)的幾何元素（式）坐標(biāo)、代數(shù)化，最終通過純粹的代數(shù)運算來求解或?qū)⑸鲜鰞烧呓Y(jié)合在一起交叉使用，這樣不僅可快速地找準(zhǔn)問題的著眼點，形成解題思路，還可優(yōu)化解題過程，提高解題效率．下面通過對幾道歷屆高考向量試題的解法賞析，一起重溫高考經(jīng)典，共同感悟試題真諦．

分析：本題題目精巧、題設(shè)條件簡約、入口平實，解法寬泛．若從幾何、代數(shù)兩不同角度去思考探析，則可得到不一樣的精彩．

圖1

圖2

例2（2014年安徽卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a，b，|a|=|b|=1，|a|·|b|=0．點Q滿足（a+b），曲線區(qū)域Ω=｛P|0＜r≤若C∩Ω為兩段分離的曲線，則（）．

A．1＜r＜R＜3B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3D．1＜r＜3＜R

圖3

解析：相比于例1，本題題設(shè)條件略顯復(fù)雜，但其幾何、代數(shù)特征明顯，入口清晰．注意到|a|=|b|= 1，|a|·|b|=0．不妨作O為原點建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系，則有a=（1，0），b=（0，1），從而=cosθ+bsinθ=（cosθ，sinθ），于是曲線C=｛P|O →P=（cosθ，sinθ），0≤θ＜2π｝．又cos2θ+sin2θ=1，所以點P在以O(shè)為原點的單位圓上，即曲線C是以O(shè)為原點的單位圓．又Ω=｛P|0＜r≤|P →Q|≤R，r＜R｝，從而由其幾何意義知，集合Ω是以為圓心，半徑分別為r，R的兩圓所構(gòu)成的圓環(huán)，因此要使C∩Ω為兩段分離的曲線，由圖形的直觀性、數(shù)形結(jié)合知，|QD|＜r＜R＜|QE|，即1＜r＜R＜3，故選A．

點評：通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系來搭建幾何與代數(shù)間的橋梁，進而實現(xiàn)代數(shù)與幾何間的合理轉(zhuǎn)化，可使復(fù)雜的問題環(huán)境變得更加簡潔、明朗，問題本質(zhì)凸顯，問題求解更加自然流暢一氣呵成，體現(xiàn)了該類問題求解的通性通法．

A．13B．15C．19D．21

圖4

考慮到△ABC是直角三角形，其幾何特征十分明顯，不妨利用題設(shè)條件的幾何意義數(shù)形結(jié)合分析求解．

圖5

點評：本題是一道幾何、代數(shù)特征較為突出的向量試題，法一通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將題設(shè)條件坐標(biāo)、代數(shù)化，繼而將目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值這一熟知的代數(shù)問題上來，最后運用基本不等式輕松獲解，該做法簡便易行體現(xiàn)了坐標(biāo)法在該類問題求解中的優(yōu)越性；法二從形這個角度，利用向量式（如模、向量加減法、內(nèi)積等）的幾何意義及平面基本定理數(shù)形結(jié)合求解，凸顯了向量試題的幾何本質(zhì)，是該類問題的一種常見求解方式.

解析：本題是一道與向量模的最值有關(guān)的試題，題設(shè)的向量式的幾何特征隱蔽性較強，問題入口隱藏較深，深入探究可以發(fā)現(xiàn)：由，得D為△ABC的外心；由可知，D為△ABC的垂心，從而△ABC為等邊三角形，D是△ABC的中心.又由知，P在以A為圓心，半徑為1的圓上，如圖6所示-2，D是等邊三角形△ABC的中心，從而又由等邊三角形的性質(zhì)知，|DA|=，所以M為PC的中點.取AC的中點E，連接EM，

圖6

在△BEM中，有|BM|≤|BE|+|EM|（當(dāng)且僅當(dāng)E在線段BM上時，取“=”）.又|BE|=|AC|=3，從而|BM|max=，故選B.

基于△ABC是等邊三角形，D為△ABC的中心，不妨以D為原點建立如圖7所示的直角坐標(biāo)系分析求解.

圖7

解法二：由上述分析可知，|DA|=|DB|=|DC|=2，從而A（0，-2），1，所以P在以A為圓心，半徑為1的圓上，故P的軌跡方程為x2+（y+2）2=1.設(shè)M（x，y），P（a，b），則由又P在x2+（y+2）2=1上，從而圓上.在圓E外，所以所以，故選B.

點評：深入挖掘題設(shè)向量式的幾何意義，進而揭示△ABC的幾何特點，是問題求解的關(guān)鍵，也是難點.解法一在△ABC為等邊三角形的條件下充分利用平面幾何圖形（如圓、三角形中位線、三角形三邊關(guān)系）的幾何性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化到三角形三邊間的關(guān)系上來分析求解，體現(xiàn)了問題求解的通性通法；解法二充分利用等邊三角形的幾何特性來建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系將問題坐標(biāo)、代數(shù)化求解，思路清晰、目標(biāo)明確，易于操作，有效地降低了問題求解的思維含量.

綜觀上述高考試題，結(jié)合教學(xué)實際談如下幾點感悟，以期對高考復(fù)習(xí)備考工作帶來一些啟發(fā)與幫助.

1.加強高考試題研究，從變化的試題中去挖掘其不變的規(guī)律，從不變的問題本質(zhì)中去展望試題的變化趨勢.高考數(shù)學(xué)試題是數(shù)學(xué)專家團隊與廣大一線優(yōu)秀教師經(jīng)過深思熟慮、精雕細琢而成的，是集體智慧的結(jié)晶.高考試題底蘊深厚、內(nèi)涵豐富，可謂是“年年新氣象，屆屆有新意”，其試題背后蘊藏著巨大的寶藏，其研究價值與教學(xué)價值不言而喻.因此作為廣大一線教師我們應(yīng)把高考試題作為教本材料來認真研讀，讓高考試題研究成為我們?nèi)粘＝逃虒W(xué)工作不可分割的一部分，通過對高考試題的歸類探析，一題多解、多題一解，試題尋根、背景追溯、試題的變式、結(jié)論的推廣與延伸等方式，從變化的試題中去挖掘其不變的本質(zhì)，從不變的問題本質(zhì)中展望試題的變化趨勢.如上述幾道與向量有關(guān)的歷屆高考試題，通過對該類試題的歸類探析可以發(fā)現(xiàn)平面向量常與不等式、函數(shù)、方程等為伴，以圓、特殊三角形、平行四邊形等為載體考查向量模、數(shù)量積或線段長度的最值問題.該類試題常具有幾何與代數(shù)兩大特性，因此通過建立恰當(dāng)直角坐標(biāo)系代數(shù)求解或充分利用題設(shè)條件與結(jié)論的幾何意義，數(shù)形結(jié)合探析就成為該類試題求解的兩大常見處理策略.特別是圓等特殊平面幾何圖形在向量中的嵌入，使得試題更加精巧、新穎，問題求解更靈活，能力立意考查更鮮明，大大提升試題的四度（難度、信度、效度、區(qū)分度），從而真正起到壓軸把關(guān)的作用，因此在以能力立意為宗旨的高考指揮棒下，該類試題勢必會成為高考向量試題考查的熱點題型，而備受命題者的青睞.

2.注重對課本的基礎(chǔ)知識、基本方法、技能的學(xué)習(xí)，熟練掌握一些平面幾何圖形的幾何性質(zhì)及常見代數(shù)式的幾何意義.高考試題不僅在一定程度上濃縮了課本主要的基礎(chǔ)知識和基本技能，而且蘊藏著豐富的數(shù)學(xué)思想和思維方法.特別是一些以能力立意的壓軸試題，往往考查多個基礎(chǔ)知識，多種基本技能與數(shù)學(xué)思想方法.因此在日常教學(xué)中，應(yīng)重視對課本的基礎(chǔ)知識、基本方法與技能的學(xué)習(xí)，把它弄透弄熟，絕不能因為師生在思想上的輕視麻痹而導(dǎo)致學(xué)生基本概念不清，基本方法與技能不熟，否則就會因小失大.如上述幾道高考試題中主要考查到向量的基本運算、平面向量基本定理、平面向量的線性表示、圓的定義、三角形三邊關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查了基本不等式的應(yīng)用、相關(guān)點法在多動點問題中的軌跡探究、坐標(biāo)法及數(shù)形結(jié)合在向量中的應(yīng)用、利用三角形三邊關(guān)系求線段長度的最值等基本技能方法，如果對上述的一些基礎(chǔ)知識基本方法與技能掌握不牢，問題的求解就會陷入僵局，不能自拔.與此同時，在一些試題中，還應(yīng)熟練掌握一些平面幾何圖形的幾何性質(zhì)（如圓、等邊三角形、直角梯形等）及一些代數(shù)式的幾何意義.如上述試題中考查到圓的中點弦的性質(zhì)、模的幾何意義、等邊三角形的幾何性質(zhì)（如外心、重心的向量式等），只有理解并熟練掌握一些平面幾何圖形的基本性質(zhì)、一些代數(shù)式（向量式）的幾何意義，才能在問題的求解中切中問題要害，找準(zhǔn)問題的著眼點，繼而打開思維入口，形成解題思路.

3.強化數(shù)形結(jié)合意識，同時注意數(shù)形結(jié)合的科學(xué)性與合理性，切勿盲目使用.對于某些問題如單純地從數(shù)的角度去分析探求可能會運算煩瑣，甚至欲罷不能.因此可從形的角度去揭示問題的幾何本質(zhì)，進而構(gòu)造直觀的圖形來刻畫問題的條件和結(jié)論，這種處理問題的方式簡稱數(shù)形結(jié)合.數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中的一種極為重要的思想方法之一，它充分應(yīng)用數(shù)的嚴謹和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過對圖形的直觀描述、代數(shù)的推理證明來解決問題的一種重要思想方法.該思想方法是培養(yǎng)學(xué)生能力、提升學(xué)生思維品質(zhì)的一大有利武器，它能使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.如上述2016年四川卷第10題，通過探究題設(shè)向量式的幾何意義，揭示其幾何本質(zhì)，繼而使得△ABC的幾何特性躍然紙上，爾后通過合理構(gòu)造直觀圖形，用形來刻畫問題中的條件與結(jié)論，問題的求解就會呼之欲出.當(dāng)然在利用數(shù)形結(jié)合法解決數(shù)學(xué)問題時要注意其科學(xué)性與合理性，不能為了數(shù)形結(jié)合而數(shù)形結(jié)合，這需要我們注意以下幾點：（1）要徹底明白一些概念和運算的幾何意義及曲線的代數(shù)特征；（2）要注意等價性，即要注意由圖形不能精確刻畫函數(shù)關(guān)系而帶來的負面效應(yīng)；（3）要注意雙向性，由數(shù)思形、以形啟數(shù)，既要對問題進行直觀的幾何分析，又要對其作相應(yīng)的代數(shù)抽象探究，否則，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易失真.

1．呂丹.《高考中數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)的構(gòu)建與思考》.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（11）.

2．劉勝林.《例談2013年高考試題對數(shù)形結(jié)合思想的考查》.中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（7-8）.