☉江蘇省泗洪中學(xué) 陳亞娟

例談高考中絕對(duì)值問(wèn)題的解題策略

☉江蘇省泗洪中學(xué) 陳亞娟

含絕對(duì)值的問(wèn)題呈現(xiàn)出命題立意新穎、思維方式抽象、解題方法靈活、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，是近年來(lái)高考中一顆璀璨的“明珠”，常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中．解決此類問(wèn)題的辦法一般是：數(shù)形結(jié)合或依據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論等，下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談一些想法．

一、常見(jiàn)含絕對(duì)值函數(shù)類型

常見(jiàn)的絕對(duì)值函數(shù)主要包括y=|f（x）|和y=f（|x|）兩種類型，由于自變量x的取值被分成若干不同的區(qū)間，絕對(duì)值函數(shù)在不同的區(qū)間有不同的表達(dá)式：

其圖像作法可依不同區(qū)間分別來(lái)作：y=|f（x）|的圖像可以由y=f（x）的圖像在x軸上方不變，x軸下方的沿x軸向上翻折后所得；y=f（|x|）的圖像可以由y=f（x）的圖像在y軸右方不變，并將y軸右方的圖象沿y軸向左翻折后所得．一般含絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題均可由以上兩種基本絕對(duì)值函數(shù)組合或變換得到．

二、解題策略

（一）數(shù)形結(jié)合

華羅庚教授說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，隔離分家萬(wàn)事休．”就是說(shuō)，“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問(wèn)題，能拓寬解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合，利用這些特性作出函數(shù)圖像，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．

例1已知函數(shù)f（x）=|x2+3x|，x∈R．若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．

解法1：顯然a＞0．

（i）當(dāng)y=-a（x-1）與y=-x2-3x相切時(shí)，如圖1，a=1，此時(shí)f（x）-a|x-1|=0恰有3個(gè)互異的實(shí)數(shù)根．

圖1

圖2

（ii）當(dāng)直線y=a（x-1）與函數(shù)y=x2+3x相切時(shí)，如圖2，a=9，此時(shí)f（x）-a|x-1|=0恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)根．

結(jié)合圖像可知，0＜a＜1或a＞9．

結(jié)合圖3可得0＜a＜1或a＞9．

點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)形結(jié)合求方程解（或函數(shù)的零點(diǎn)）應(yīng)注意三點(diǎn)：

（1）討論方程的解（或函數(shù)的零點(diǎn)）可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，但用此法討論方程的解一定要注意圖像的準(zhǔn)確性、全面性，否則會(huì)得到錯(cuò)解或漏解．

（2）正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖像是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以“快”和“準(zhǔn)”為原則，不要刻意去數(shù)形結(jié)合．

（3）注意挖掘隱含條件，結(jié)合圖像的臨界位置，準(zhǔn)確地界定圖形的范圍，圖形的范圍決定參數(shù)的取值范圍．

圖3

（二）分類討論，逐步轉(zhuǎn)化

常見(jiàn)的絕對(duì)值函數(shù)問(wèn)題，以考查思維能力為核心，強(qiáng)調(diào)探究性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新意識(shí)．因此，教師要?jiǎng)?chuàng)新情境，引導(dǎo)學(xué)生在陌生情境中自我探索，獨(dú)立地思考分析問(wèn)題，揭示其中的聯(lián)系和奧秘，在問(wèn)題變化不定時(shí)，會(huì)用分類討論等數(shù)學(xué)思想將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究或求解，從而達(dá)到“化難為易，化整為零，各個(gè)擊破”的目的．

例2已知函數(shù)f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）．

（1）若f（x）在［-1，1］上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（2）設(shè)b∈R，若［f（x）+b］2≤4對(duì)x∈［-1，1］恒成立，求3a+b的取值范圍．

由于-1≤x≤1，所以：

（i）當(dāng)a≤-1時(shí)，有x≥a，故f（x）=x3+3x-3a，

此時(shí)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)，因此M（a）=f（1）=4-3a，m（a）=f（-1）=-4-3a，M（a）-m（a）=4-3a-（-4-3a）=8．

（ii）當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，

若x∈（a，1），f（x）=x3+3x-3a，在（a，1）上是增函數(shù)，

若x∈（-1，a），f（x）=x3-3x+3a，在（-1，a）上是減函數(shù)，

所以M（a）=max｛f（-1），f（1）｝，m（a）=f（a）=a3，

由于f（1）-f（-1）=-6a+2，

（iii）當(dāng)a≥1時(shí)，有x＜a，故f（x）=x3-3x+3a，此時(shí)f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，因此M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，故M（a）-m（a）=2+3a-（-2+3a）=4．

因?yàn)椋踗（x）+b］2≤4，對(duì)x∈［-1，1］恒成立，

即-2≤h（x）≤2對(duì)x∈［-1，1］恒成立，所以由（1）知，

（i）當(dāng)a≤-1時(shí)，有x≥a，h（x）=x3+3x-3a+b在［-1，1］上是增函數(shù)，h（x）在［-1，1］上的最大值是h（1）=4-3a+b，最小值是h（-1）=-4-3a+b，則-4-3a+b≥-2，且4-3a+b≤2，即-3a+b≥2，-3a+b≤-2矛盾．

＜a＜1時(shí)，h（x）在［-1，1］上的最大值是h（-1）=3a+b+2，最小值是h（a）=a3+b，所以a3+b≥-2，3a+ b+2≤2，解得

（iv）當(dāng)a≥1時(shí)，有x＜a，h（x）=x3-3x+3a+b在［-1，1］上是減函數(shù)，h（x）在［-1，1］上的最大值是h（-1）=3a+b+2，最小值是h（1）=-2+3a+b，所以3a+b+2≤2，-2+3a+b≥-2，解得3a+b=0．

綜上，3a+b的取值范圍-2≤3a+b≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最大（最小）值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證、分類討論、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題等綜合解題能力．分類原則：（1）所討論的全域要確定，分類要“既不重復(fù)，也不遺漏”；（2）在同一次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；（3）對(duì)多級(jí)討論，應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)；（4）總結(jié)概括，得出結(jié)論．

（三）反客為主，運(yùn)用反解系數(shù)解決

一類定區(qū)間上二次函數(shù)含絕對(duì)值的最值問(wèn)題頻頻出現(xiàn)在?？?、高考、競(jìng)賽試題中，許多學(xué)生會(huì)無(wú)從下手．有時(shí)將所求的參數(shù)反解出來(lái)，揭示這類最值問(wèn)題的背景及內(nèi)涵，并發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)涵的規(guī)律和方法，就可以達(dá)到觸類旁通、舉一反三的效果，真正讓學(xué)生從題海中解放出來(lái)．

例3已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|f′（x）|≤1，試求a的最大值．

解：由f′（x）=3ax2+2bx+c，得

點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}中f′（x）=3ax2+2bx+c是二次函數(shù)，求a的最大值是單個(gè)系數(shù)的最值處理方法，解題時(shí)用區(qū)間［0，1］上的兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)函數(shù)值來(lái)反解表示系數(shù)a，同時(shí)利用絕對(duì)值函數(shù)性質(zhì)|a±b|≤|a|+|b|進(jìn)行求解，就獲得了解決．

（四）活用圓錐曲線的定義

類似橢圓類不等式|x-c|+|x+c|≤2a（a＞c）的解為-a≤x≤a或|x-c|+|x+c|≥2a（a＞c）的解為x≤-a或x≥a；類似雙曲線類不等式||x-c|-|x+c||≤2a（a＜c）的解為x≤-a或x≥a或||x-c|-|x+c||≥2a（a＜c）的解為-a≤x≤a．常?？梢岳脠A錐曲線定義解一類絕對(duì)值不等式．

例4不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為_(kāi)_______．

此題為橢圓類不等式．問(wèn)題關(guān)鍵：用橢圓的定義求出它的“中心”、“頂點(diǎn)”即可．

解：根據(jù)橢圓類不等式2a=5，2c=1-（-2）=3，“中心”

故由圓錐曲線定義易得不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為

（五）利用絕對(duì)值三角不等式

絕對(duì)值三角不等式在解決一些含絕對(duì)值問(wèn)題中起著非常重要的作用．

例5求函數(shù)y=|2x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值．

三、結(jié)束語(yǔ)

含絕對(duì)值的函數(shù)題型綜合性很強(qiáng)，它常常綜合二次（或三次）函數(shù)圖像與最值、函數(shù)的單調(diào)性、絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、線性規(guī)劃等知識(shí)的綜合考查，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力．從以上的解題策略來(lái)看，我們主要采用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即純代數(shù)方法來(lái)解題和結(jié)合圖像的數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解．借助于分類討論，將問(wèn)題條理化、系統(tǒng)化、清晰化，然后運(yùn)用函數(shù)、方程及不等式的思想，靈活轉(zhuǎn)化，解決運(yùn)動(dòng)和變化中出現(xiàn)的問(wèn)題，給學(xué)生提供思考的空間，使他們的聰明才智在解題中得到充分的展示，進(jìn)而體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)“考素質(zhì)，考能力”的要求．因此，在復(fù)習(xí)時(shí)，教師要特別強(qiáng)調(diào)“形”與“數(shù)”的靈活轉(zhuǎn)化及分類討論的思想方法，它不僅是我們解題的一種思想方法，更是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的有力武器．