謝啟鴻

(復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200433)

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Galois理論在高等代數(shù)中的若干應(yīng)用

謝啟鴻

(復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200433)

給出了Galois理論在高等代數(shù)若干問(wèn)題中的應(yīng)用.

分裂域; Galois擴(kuò)張; 特征多項(xiàng)式; 特征值; 特征向量; Jordan-Chevalley分解

1 引 言

首先, 我們闡述域論中的一些概念和結(jié)論 (參考教材[1]).設(shè)f(x)是域上的多項(xiàng)式, f(x)在上的分裂域是的一個(gè)擴(kuò)域, 使得f(x)在上可分解為一次多項(xiàng)式的乘積, 并且在同構(gòu)意義下,是滿足上述性質(zhì)的的最小擴(kuò)域.具體的, 若取的一個(gè)代數(shù)閉包, 并設(shè)f(x)在中的全體根為λ1,λ2,…,λn, 則=(λ1,λ2,…,λn).類似地, 還可定義上一族多項(xiàng)式的分裂域, 這樣的擴(kuò)域稱為上的正規(guī)擴(kuò)張.對(duì)于正規(guī)擴(kuò)張, 有如下的同構(gòu)擴(kuò)張定理.

定理1設(shè)是上的正規(guī)擴(kuò)張, λ∈在上的極小多項(xiàng)式為m(x), 則對(duì)m(x)的任一根μ, 存在一個(gè)保持中元素不動(dòng)的的自同構(gòu)使得σ(λ)=μ.

定理2設(shè)/是有限Galois擴(kuò)張,M={|??}為/的中間域全體,S={G|G≤Gal(/)}為的子群全體, 定義

ψ:S→M為ψ(G)=InvG={λ∈|σ(λ)=λ,?σ∈G}(G的不變子域),

則φ,ψ給出了M,S之間的反序一一對(duì)應(yīng).特別地, 若λ∈滿足σ(λ)=λ對(duì)任意的都成立, 則λ∈.

為了利用Galois理論處理高等代數(shù)問(wèn)題, 需要將Galois群對(duì)域的作用延拓到列向量、矩陣和多項(xiàng)式上.設(shè)/是一個(gè)有限Galois擴(kuò)張則對(duì)任一列向量

α=(a1,a2,…,an)T∈n, A=(aij)∈Mn([x],

定義

σ(α)=(σ(a1),σ(a2),…,σ(an))T∈n,

σ(A)=(σ(aij))∈Mn(),

Inv(V)={α∈V|σ(α)=α,?σ∈Gal(/)},

α=c1e1+c2e2+…+crer,

其中c1,c2,…,cr∈, 從而

σ(α)=σ(c1)e1+σ(c2)e2+…+σ(cr)er.

Inv(U⊕U⊕…⊕U)=U1⊕U2⊕…⊕Uk.

先來(lái)看一道可對(duì)角化矩陣的典型例題.

例1設(shè)A∈Mn()的特征值λ1,λ2,…,λn都在中, 并且這n個(gè)特征值互不相同, 再設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為α1,α2,…,αn∈n, 證明:n的任一A-不變子空間U必為如下形式:

U=αi1⊕αi2⊕…⊕αir,

其中{i1,i2,…,ir}是{1,2,…,n}的子集 (注: 空集?對(duì)應(yīng)于零子空間).

證由假設(shè)可知A在上可對(duì)角化, α1,α2,…,αn是A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 并且

n=α1⊕α2⊕…⊕αn.

不妨設(shè)U≠0, 容易驗(yàn)證A|U的特征多項(xiàng)式是f(λ)的因式, 故可設(shè)A|U的特征值為λi1,λi2,…,λir, 其中{i1,i2,…,ir}是{1,2,…,n}的子集.由于A|U的特征值互不相同, 故A|U可對(duì)角化, 又所有的特征子空間都是形如αij的一維子空間, 所以

U=αi1⊕αi2⊕…⊕αir.

通過(guò)例1的證明和結(jié)論我們知道, 若A的特征值互不相同, 則任一A-不變子空間U由A|U的全體特征值唯一確定.下面的例題利用了例1的結(jié)論, 是Galois理論在高等代數(shù)中最典型的應(yīng)用之一.

例2設(shè)A∈Mn()的特征多項(xiàng)式為f(λ), 證明：n只有平凡的A-不變子空間的充分必要條件是f(λ)是上的不可約多項(xiàng)式.

證先證充分性.設(shè)f(λ)是上的不可約多項(xiàng)式, 從而f(λ)在其分裂域上無(wú)重根, 不妨設(shè)為λ1,λ2,…,λn.設(shè)U是n的非零A-不變子空間, 只要證明U=n即可.任取U的一組基{e1,e2,…,er}, 由Aei∈U(1≤i≤r)容易驗(yàn)證U是n的A-不變子空間.取A|U的任一特征值, 不妨設(shè)為λ1, 對(duì)應(yīng)的特征向量為α1∈U, 即

α1=c1e1+c2e2+…+crer,

其中c1,c2,…,cr∈不全為零.由定理1可知, 存在自同構(gòu)使得

σi(λ1)=λi(1≤i≤n),

在等式Aα1=λ1α1兩邊同時(shí)作用σi可得Aσi(α1)=λiσi(α1).注意到

σi(α1)=σi(c1)e1+σi(c2)e2+…+σi(cr)er∈U

仍為非零列向量, 故λi(1≤i≤n)都是A|U的特征值.由例1可知U=n, 特別地,

U=Inv(U)=Inv(n)=n.

g(A)h(A)=f(A)=O.

因此g(A),h(A)中至少有一個(gè)是奇異陣, 不妨設(shè)為g(A), 于是存在非零列向量α∈n, 使得g(A)α=0.設(shè)degg(λ)=m, 令U=L(α,Aα,…,Am-1α), 則dimU≤m

事實(shí)上, 例2也可以利用循環(huán)子空間理論來(lái)進(jìn)行證明 (參考 [5] 的命題1).下面的例3是復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2015-2016學(xué)年第一學(xué)期高等代數(shù)I期末考試的壓軸題, 它的標(biāo)準(zhǔn)解答是利用循環(huán)子空間理論和中國(guó)剩余定理來(lái)進(jìn)行證明的, 不過(guò)我們可以將例2的充分性證明進(jìn)行推廣, 并利用Galois理論給出新的證明.注意到例3也是例1的一個(gè)推廣.

例3設(shè)A∈Mn()的特征多項(xiàng)式

f(λ)=f1(λ)f2(λ)…fk(λ),

其中fi(λ) (1≤i≤k)是上互異的首一不可約多項(xiàng)式.設(shè)Vi=Kerfi(A) (1≤i≤k)為n的子空間, 證明:n的任一A-不變子空間U必為如下形式

U=Vi1⊕Vi2⊕…⊕Vir,

其中{i1,i2,…,ir}是{1,2,…,k}的子集 (注: 空集?對(duì)應(yīng)于零子空間).

證設(shè)f(λ)的分裂域?yàn)? 則容易驗(yàn)證f(λ)在中無(wú)重根.為方便起見(jiàn), 記fi(λ)的根的集合為Ri(1≤i≤k),用α(λ)表示特征值λ∈Ri對(duì)應(yīng)的特征向量.由[3]的例7.21可知,

n=V1⊕V2⊕…⊕Vk,

并且A|Vi的特征多項(xiàng)式為fi(λ).因?yàn)閒i(λ)在上無(wú)重根, 故A|Vi在上可對(duì)角化, 并且Vα(λ).設(shè)U是n的非零A-不變子空間, 則U是n的非零A-不變子空間.若λ∈Ri是A|U的一個(gè)特征值, 則由類似于例2充分性的證明可知, Ri中的任意元素都是A|U的特征值, 再由例1可知

其中{i1,i2,…,ir}是{1,2,…,k}的子集.因此U=Vi1⊕Vi2⊕…⊕Vir, 于是有

U=Inv(U)=Inv(Vi1⊕Vi2⊕…⊕Vir)=Vi1⊕Vi2⊕…⊕Vir.

為了得到下一個(gè)應(yīng)用, 先來(lái)證明一個(gè)有趣的命題.

例4設(shè)A,B∈Mn(), A,B的特征值都在中, 并且r(AB-BA)≤1, 證明: 存在非異陣P∈Mn(), 使得P-1AP和P-1BP同時(shí)為上三角陣.

證對(duì)階數(shù)n進(jìn)行歸納, 當(dāng)n=1時(shí), 結(jié)論顯然成立.設(shè)階數(shù)小于n時(shí), 結(jié)論成立, 現(xiàn)證n階的情形.若AB=BA, 則由 [3] 的例6.50可知結(jié)論成立; 若A=O, 則結(jié)論顯然成立; 又若A非異, 則任取A的特征值λ1∈, 用A-λ1In代替A進(jìn)行討論.因此可設(shè)r(AB-BA)=1, 并且KerA和ImA都是n的非平凡子空間.我們先證明: A,B有公共的非平凡不變子空間.若B(KerA)?KerA, 則KerA就是A,B公共的非平凡不變子空間.下設(shè)B(KerA)?KerA, 即存在α∈KerA, 使得Bα?KerA.注意到

(AB-BA)α=A(Bα)-B(Aα)=A(Bα)≠0,

又r(AB-BA)=1, 故Im(AB-BA)=A(Bα)?ImA.對(duì)任一Aγ∈ImA, 有

B(Aγ)=A(Bγ)-(AB-BA)γ∈ImA,

于是ImA也是B的不變子空間.

設(shè)U是A,B公共的非平凡不變子空間, 選取U的一組基并擴(kuò)張為n的一組基, 則A,B在這組基下的表示矩陣都是分塊上三角陣, 即存在非異陣Q∈Mn(), 使得

由r(AB-BA)=1可得r(AiBi-BiAi)≤1, 再分別對(duì)Ai,Bi(i=1,2)運(yùn)用歸納假設(shè)即得結(jié)論.

下面的例5可以利用線性方程組的求解理論和互素多項(xiàng)式的應(yīng)用進(jìn)行純代數(shù)的證明; 也可以利用循環(huán)子空間的理論進(jìn)行純幾何的證明 (參考 [5] 的例2), 在上述兩種方法中, 特征多項(xiàng)式f(λ)在上的不可約性和tr(AB-BA)=0都是證明的關(guān)鍵點(diǎn).接下來(lái)我們將利用Galois理論給出例5的第三種證明, 注意到其證明過(guò)程沒(méi)有用到矩陣跡的技巧.

例5設(shè)A,B∈Mn(), 并且A的特征多項(xiàng)式f(λ)是上的不可約多項(xiàng)式, 證明: r(AB-BA)≠1.

證用反證法證明結(jié)論, 設(shè)r(AB-BA)=1.取為A,B的特征多項(xiàng)式的分裂域, 則由例4 可知, 存在非異陣P∈Mn(), 使得P-1AP和P-1BP同時(shí)為上三角陣.設(shè)P的第一列為α1∈n, 則α1≠0是A,B公共的特征向量, 即有

Aα1=λ1α1，Bα1=μ1α1,

(1)

其中λ1,μ1分別為A,B的特征值.由于f(λ)在上不可約, 故A的n個(gè)特征值λ1,λ2,…,λn∈互不相同, 對(duì)應(yīng)的特征向量必線性無(wú)關(guān).由定理1可知, 存在使得σi(λ1)=λi(1≤i≤n).將σi作用在 (1) 式上可得

Aσi(α1)=λiσi(α1),Bσi(α1)σi(μ1)，σi(α1), 1≤i≤n.

(2)

由于σi(α1)≠0, 故它是矩陣A關(guān)于特征值λi的特征向量, 也是矩陣B關(guān)于特征值σi(μ1)的特征向量, 從而σ1(α1),σ2(α1),…,σn(α1)必線性無(wú)關(guān).令

Q=(σ1(α1),σ2(α1),…,σn(α1))∈Mn(),

則Q是非異陣, 使得

Q-1AQ=diag{λ1,λ2,…,λn},Q-1BQ=diag{σ1(μ1),σ2(μ1),…,σn(μ1)},

于是AB=BA, 這與r(AB-BA)=1矛盾.

作為Galois理論的應(yīng)用, 最后我們將證明一般域上的Jordan-Chevalley分解定理.

例6設(shè)A∈Mn(), 證明: 存在分解A=B+C, 其中B,C∈Mn()且滿足

(i)B在其特征多項(xiàng)式的分裂域上可對(duì)角化;

(ii)C冪零, 即存在正整數(shù)m, 使得Cm=O;

(iii)BC=CB;

(iv) 存在多項(xiàng)式g(x)∈[x], 使得B=g(A),并且滿足條件 (i)—(iii) 的上述分解必唯一.

證設(shè)為A的特征多項(xiàng)式的分裂域, 完全類似于復(fù)矩陣的Jordan-Chevalley分解定理的證明 (參考 [2] 的定理7.7.3), 可以得到A在上的Jordan-Chevalley分解, 即存在分解A=B+C, 其中B,C∈Mn()且滿足:

(i)B在上可對(duì)角化;

(ii)C冪零;

(iii)BC=CB;

(iv) 存在多項(xiàng)式h(x)∈[x], 使得B=h(A),并且滿足條件 (i)—(iii) 的上述分解必唯一.對(duì)任一可得A的另一分解

A=σ(B)+σ(C),

其中σ(B)在上仍可對(duì)角化,σ(C)仍冪零, 并且

σ(B)σ(C)=σ(C)σ(B).

h(x)=h1(x)+k2h2(x)+…+kdhd(x),

其中hi(x)∈[x].再由B=h(A)可得B=h1(A), 取g(x)=h1(x)即得結(jié)論.

一般來(lái)說(shuō), 大基域上的對(duì)象往往更容易被刻畫(huà)或分類, 因此小基域上的對(duì)象可以提升到大基域上進(jìn)行研究.Galois群關(guān)于基域的對(duì)稱作用也傳遞給了研究對(duì)象及其性質(zhì), 因此可以將這些大基域上的性質(zhì)下降到小基域上, 從而得到相應(yīng)的刻畫(huà)或分類.換言之, Galois理論提供了一種下降理論 (Descent Theory), 這種理論對(duì)于現(xiàn)代代數(shù)學(xué)、代數(shù)幾何和代數(shù)數(shù)論等分支的研究起到了重要的作用.

一般域上的高等代數(shù)問(wèn)題, 可以利用線性變換理論和一般域上的相似標(biāo)準(zhǔn)形理論等加以研究; 也可以利用高等代數(shù)中若干概念在基域擴(kuò)張下的不變性把問(wèn)題提升到大基域上進(jìn)行研究 (參考 [4]); 而本文列舉的四個(gè)例題則告訴我們, 還可以利用Galois理論的下降功能來(lái)研究一般域上的高等代數(shù)問(wèn)題.這些方法和技巧不僅將專業(yè)課近世代數(shù)和基礎(chǔ)課高等代數(shù)緊密地聯(lián)系在一起, 而且利用像Galois理論這樣優(yōu)美的理論工具來(lái)解決問(wèn)題, 充分展現(xiàn)了代數(shù)學(xué)的神奇魅力.

[1] 姚慕生.抽象代數(shù)學(xué)[M].2版.上海: 復(fù)旦大學(xué)出版社, 2005.

[2] 姚慕生, 吳泉水, 謝啟鴻.高等代數(shù)學(xué)[M].3版.上海: 復(fù)旦大學(xué)出版社, 2014.

[3] 姚慕生, 謝啟鴻.高等代數(shù)，大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)叢書(shū)[M].3版.上海: 復(fù)旦大學(xué)出版社, 2015.

[4] 謝啟鴻.高等代數(shù)中若干概念在基域擴(kuò)張下的不變性[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2015, 31(6): 50-55.

[5] 謝啟鴻.循環(huán)子空間的若干應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué), 2016, 32(1): 1-6.

Some Applications of Galois Theory in Advanced Algebra

XIEQi-hong

(School of Mathematical Sciences, Fudan University, Shanghai 200433, China)

We give some applications of Galois Theory to certain problems in Advanced Algebra.

splitting field; galois extension; characteristic polynomial; eigenvalue; eigenvector; Jordan-Chevalley decomposition

2016-05-09； [修改日期] 2016-08-20

國(guó)家自然科學(xué)基金(11422101)

謝啟鴻(1976-),男，博士，教授，從事代數(shù)幾何研究.Email: qhxie@fudan.edu.cn

O151.21

A

1672-1454(2016)06-0008-05