武建春

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)計算機與信息工程學(xué)院，呼和浩特010022)

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基于計算思維培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究

武建春

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)計算機與信息工程學(xué)院，呼和浩特010022)

計算思維是當(dāng)前計算機教育中的研究熱點.從計算思維的角度重新審視離散數(shù)學(xué)課程，梳理各部分內(nèi)容所蘊含的計算思維基本方法，提出教學(xué)過程要以抽象和自動化為核心思想，增加實踐教學(xué)內(nèi)容，從而加強計算思維的培養(yǎng).提出計算思維的培養(yǎng)應(yīng)該在課程考核中有所體現(xiàn).

計算思維; 離散數(shù)學(xué); 教學(xué); 抽象; 自動化

1 引 言

從2006年計算思維(computational thinking)概念[1]的提出，到如今計算思維的培養(yǎng)成為計算機專業(yè)的教育目標(biāo)之一已經(jīng)10年了.在這10年里，國內(nèi)計算機教育工作者對計算思維培養(yǎng)的研究取得了一定成果，但尚未形成一套完整的方法體系，仍處于小規(guī)模、探索性階段.如何在教學(xué)過程中培養(yǎng)計算思維，還有許多尚待探索的問題.本文從計算思維的角度梳理離散數(shù)學(xué)與計算思維之間的內(nèi)在聯(lián)系，重新組織教學(xué)內(nèi)容，增加教學(xué)實踐環(huán)節(jié)，探索研究離散數(shù)學(xué)教學(xué)中計算思維的培養(yǎng).

2 計算思維

計算思維是運用計算機科學(xué)的思想與方法進行問題求解、系統(tǒng)設(shè)計、人類行為理解等涵蓋計算機科學(xué)之廣度的一系列思維活動[1].計算思維的本質(zhì)是抽象(Abstraction)和自動化(Automation)[1].抽象的特征源自數(shù)學(xué)思維，但與數(shù)學(xué)的抽象化有不同的含義,其抽象化不僅表現(xiàn)為形式化表示，同時這種表示應(yīng)具備有限性、程序性和機械性[2].計算思維又源自工程思維，是數(shù)學(xué)思維和工程思維的互補與融合.計算思維方法是約簡、轉(zhuǎn)化、仿真、遞歸、并行、抽象、分解、建模、冗余、容錯、糾錯、規(guī)劃、學(xué)習(xí)和調(diào)度、折衷等.因此，計算思維是求解問題的一條途徑，是一種技能，也是思想[3].

2010年《高等學(xué)校計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)人才專業(yè)能力構(gòu)成與培養(yǎng)》中指出計算思維能力主要包括問題及問題求解過程中的符號表示、邏輯思維與抽象思維、形式化證明、建立模型、實現(xiàn)類計算和模型計算、利用計算機計算等[4].其過程實現(xiàn)就是先根據(jù)實際問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，之后把構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為算法和程序編碼，最后在計算機上測試、獲得正確的運行程序并求解.

3 離散數(shù)學(xué)教學(xué)與計算思維的培養(yǎng)

離散數(shù)學(xué)是計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的核心理論基礎(chǔ)課，它研究的對象是離散量的結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系，主要用于計算機系統(tǒng)及其應(yīng)用領(lǐng)域的建模及分析.因此，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)就是學(xué)生能夠運用離散結(jié)構(gòu)構(gòu)建問題的抽象模型、并在其基礎(chǔ)上具有構(gòu)造算法和解決問題的能力[5].這恰好體現(xiàn)了計算思維中的抽象和自動化兩個核心思想，或者說計算思維已融入離散數(shù)學(xué)的整個知識體系.由此，計算思維提供了一種重新審視離散數(shù)學(xué)的視角，提供了一種改革離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式的新思路.

3.1 理論教學(xué)中計算思維的培養(yǎng)

離散數(shù)學(xué)由數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論等多個彼此相互獨立的數(shù)學(xué)分支組成.教學(xué)過程突出問題之一是：學(xué)生感到離散數(shù)學(xué)內(nèi)容龐雜，每部分內(nèi)容彼此聯(lián)系不大，留下知識零散的印象.

盡管離散數(shù)學(xué)包含的內(nèi)容多，但每部分內(nèi)容的共同特點是

(i) 以字母、符號或圖形等形式呈現(xiàn)的大量、抽象的離散量(抽象概念)；

(ii) 不同離散量相應(yīng)的研究方法；

(iii) 抽象和自動化貫穿始終.教師組織教學(xué)內(nèi)容時，關(guān)鍵要以抽象和自動化為主線，講清楚各部分內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系.通過教師的具體講授，讓學(xué)生從抽象和自動化的角度去認識和理解離散數(shù)學(xué)課程的各部分內(nèi)容，摸清它們之間聯(lián)系的脈絡(luò)，認識到各部分內(nèi)容是一個有機的知識整體.實際上，集合論、數(shù)理邏輯和圖論從抽象角度都可以理解為一種具體的代數(shù)系統(tǒng).同時，在教學(xué)過程中教師要提煉并展現(xiàn)隱藏于知識背后計算思維的基本方法，有意識地強化學(xué)生對思想方法的理解和掌握.也就是說，計算思維方法是要明確講出來的、并逐漸內(nèi)化為學(xué)生的思維方法.

3.1.1 數(shù)理邏輯的核心是用數(shù)學(xué)方法來模擬人們思維中的邏輯推理過程.也就是把推理過程像數(shù)學(xué)一樣利用公式來描述.因此，數(shù)理邏輯強調(diào)的是抽象和形式化.從計算思維的角度重新梳理數(shù)理邏輯教學(xué)內(nèi)容(表1)，盡可能地提煉每個知識點中關(guān)于計算思維的基本方法，把計算思維融入到教學(xué)之中.

表1 數(shù)理邏輯部分各知識點對應(yīng)的計算思維方法

上表的知識點充分體現(xiàn)了計算思維中抽象、建模、形式化、推理、規(guī)約等基本思維方式.數(shù)理邏輯的符號化部分體現(xiàn)了計算思維的抽象性；公式和邏輯推理部分包含了計算思維的自動化思想，可以用程序自動化完成；歸結(jié)推理方法用算法實現(xiàn).

3.1.2 圖論是描述事務(wù)之間關(guān)系的工具.這部分內(nèi)容概念多、方法應(yīng)用廣.學(xué)習(xí)過程中有兩種傾向：一部分學(xué)生面對大量的圖的基本概念、定理及其方法不知所措，感到困惑；少部分學(xué)生抽象、分析能力強，潛意識具有計算思維，運用類比、歸納等方法學(xué)習(xí)起來得心應(yīng)手.

圖論內(nèi)容的產(chǎn)生，例如圖結(jié)構(gòu)、樹結(jié)構(gòu)等被明確提出來，可以說是計算思維的結(jié)果.而這些內(nèi)容本身也清晰化了計算思維的具體形式和表達方式.因而，有意識強化學(xué)生計算思維能力，對于學(xué)生知識的理解和掌握是十分必要的.首先讓學(xué)生充分理解“圖”這一離散結(jié)構(gòu)，認識到它不同于歐氏幾何中的圖，與線的長短曲直、角度的大小等無關(guān)，只與事物之間的聯(lián)系有關(guān)，是一種特殊的數(shù)學(xué)符號.歐拉圖、哈密爾頓圖就是歐拉七橋問題、環(huán)球旅游問題經(jīng)過抽象構(gòu)建的典型的圖模型.其次，在圖的基本概念基礎(chǔ)上，以經(jīng)典案例為基礎(chǔ)，比如中國郵路問題、貨郎擔(dān)問題，引導(dǎo)學(xué)生對實際問題進行抽象和分析，構(gòu)建所涉及的計算原理并解決問題.在實例應(yīng)用中獲得知識，提高計算思維能力(如表2).

表2 圖論部分各知識點對應(yīng)的計算思維方法

3.1.3 集合是構(gòu)造離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，關(guān)系是特殊的集合，函數(shù)又是一種特殊的關(guān)系.表3梳理了集合論各知識點內(nèi)容中對應(yīng)的計算思維基本方法.

表3 集合論部分各知識點對應(yīng)的計算思維方法

代數(shù)系統(tǒng)內(nèi)容各知識點對應(yīng)的計算思維方法主要是建模、抽象、形式化和自動化.

教師從計算思維的角度組織教學(xué)內(nèi)容，運用案例教學(xué)法、問題導(dǎo)入法、任務(wù)驅(qū)動法等行之有效的教學(xué)方法實施教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會用抽象和自動化的思維方法去分析問題、解決問題.

3.2 實踐教學(xué)中計算思維的培養(yǎng)

教學(xué)過程突出問題之二是：教學(xué)以講授理論知識為主，缺少實踐應(yīng)用.因此，學(xué)生往往將其作為一門數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，對理論知識的理解只停留在抽象階段，很難將理論知識與實際應(yīng)用聯(lián)系起來，難以體會該課程與計算機科學(xué)之間的聯(lián)系.

計算思維理念的核心是以抽象和自動化為手段進行問題求解和系統(tǒng)實現(xiàn)，這也是離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo).自動化就是將復(fù)雜問題通過逐步計算、求解，找到解決問題的算法，利用計算機實現(xiàn)[6].自動化隱含了需要某類計算機(機器或人)去解釋抽象，是抽象的具體化、程序化和機械化.所以，適當(dāng)增加實驗教學(xué)，選取重要概念、性質(zhì)、方法轉(zhuǎn)變成算法用程序?qū)崿F(xiàn)(如表4)，既使學(xué)生實際感受和體驗知識產(chǎn)生過程，又有利于學(xué)生對理論知識的認識和掌握，使自動化思想在教學(xué)過程中得以充分體現(xiàn).

表4 離散數(shù)學(xué)實驗內(nèi)容舉例

由于課時的限制，編程自動化實現(xiàn)的內(nèi)容以小組形式按以下步驟可以讓學(xué)生課外完成

(i) 布置實驗任務(wù).可以是基本概念、性質(zhì)或計算方法的基礎(chǔ)性實驗，也可以是需要分解成多個子任務(wù)的綜合性實驗；

(ii) 對任務(wù)分析討論，明確任務(wù)所涉及的知識點，收集相關(guān)學(xué)習(xí)資料；

(iii) 找到解決問題的方法，合理分工，制定實驗實施步驟；

(iv) 完成實驗任務(wù)，提交實驗報告.

作為課外實踐要求，讓學(xué)生實際感受問題解決過程，從而學(xué)生對課程的理解也不會僅僅停留在理論抽象階段,初步體會離散數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生增強學(xué)習(xí)興趣、提高綜合解決問題能力.

4 重視計算思維能力的考核

基于計算思維培養(yǎng)的教學(xué)過程，在教學(xué)考核內(nèi)容和方式上應(yīng)有所體現(xiàn)計算思維能力培養(yǎng)的結(jié)果.考核內(nèi)容不僅僅是課堂教學(xué)要求的知識點和計算推演，應(yīng)該增加計算思維相關(guān)概念和運用它們解決問題的內(nèi)容.例如，“樓梯有一盞燈由上下2個開關(guān)控制，要求按動任何一個開關(guān)都能打開或關(guān)閉燈，試設(shè)計這樣一個線路.”考核學(xué)生是否會運用建模、抽象、化簡等計算思維方法和命題邏輯的知識解決實際問題.此外，把課下實驗內(nèi)容以實驗報告的形式記錄成績，形成“過程性考核+終結(jié)性考核+實驗報告”綜合評價體系，既把握過程又重視計算思維培養(yǎng)結(jié)果，也調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.

5 結(jié) 語

計算思維的培養(yǎng)對離散數(shù)學(xué)的教學(xué)提出了新的要求，為離散數(shù)學(xué)的教學(xué)提供了一種新思路.同時，離散數(shù)學(xué)課程也為培養(yǎng)學(xué)生的計算思維提供了一個很好的平臺.計算思維能力是抽象思維能力、邏輯推理能力和解決問題能力的綜合體現(xiàn)，是一種創(chuàng)新能力.通過離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)提高學(xué)生的計算思維能力，尚需要教師在教學(xué)實踐中不斷地探索和實踐.

[1] 周以真.計算思維[J].中國計算機學(xué)會通訊，2007,3(11)：83-85.

[2] 李廉.計算思維——概念與挑戰(zhàn)[J].中國大學(xué)教學(xué)，2012(1)：7-12.

[3] 陳國良，董勝榮.計算思維與大學(xué)計算機基礎(chǔ)教育[J].中國大學(xué)教學(xué)，2011(1)：7-11.

[4] 教育部高等學(xué)校計算機科學(xué)與技術(shù)教學(xué)指導(dǎo)委員會.高等學(xué)校計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)人才專業(yè)能力構(gòu)成與培養(yǎng)[M].北京：北京機械工業(yè)出版社，2010.

[5] 常亮，徐周波，古天龍，等.離散數(shù)學(xué)教學(xué)中的計算思維培養(yǎng)[J].計算機教育，2011(14)：90-94.

[6] 馬艷芳，陳亮.計算思維在離散數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報，2015,37(2)：104-107.

The Discrete Mathematics Course Teaching Research Basing on the Training of Computational Thinking

WUJian-chun

(College of Computer and Information Engineering,Inner Mongolia Normal University,Hohhot 010022,China)

Computational Thinking is a hot research topic in computer education.From the view of computational thinking this paper re-examined the discrete mathematics course and combed each substance about the fundamental methods of computational thinking, proposed that abstraction and automation should be the core idea in the process of teaching which should add more practical contents in order to improve the cultivation of computational thinking.The paper pointed out that the training of computational thinking should be reflected in the course assessment.

computational thinking; discrete mathematics; teaching; abstraction; automation

2016-09-08； [修改日期]2016-10-23

武建春(1969-)，女，碩士，副教授，從事數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)教育研究.Email:wujianchun813@126.com

O158

C

1672-1454(2016)06-0075-04