王擁軍， 楊義川， 寧云轉(zhuǎn)

(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100191)

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《數(shù)理邏輯和集合論》講課用例的設(shè)計(jì)和構(gòu)造

王擁軍， 楊義川， 寧云轉(zhuǎn)

(北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100191)

《數(shù)理邏輯與集合論》是數(shù)學(xué)、信息、哲學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等專業(yè)的重要基礎(chǔ)，但其高度的抽象性特點(diǎn)往往使得學(xué)生望而生畏.課程教學(xué)中不能只強(qiáng)調(diào)抽象的、難以理解的符號(hào)系統(tǒng)，而必須立足于使學(xué)生擁有很好的直覺認(rèn)識(shí)能力.在教學(xué)過程中有意識(shí)地選擇數(shù)學(xué)和信息科學(xué)中學(xué)生們熟悉的典型實(shí)例，精心設(shè)計(jì)和構(gòu)造以幫助學(xué)生理解相應(yīng)的抽象概念，在溫故知新的基礎(chǔ)上，大大拓展了學(xué)生視野，對(duì)理解抽象概念起到事半功倍的成效.

數(shù)理邏輯； 集合論； 抽象； 講課用例

1 引 言

在《數(shù)理邏輯與集合論》課程的教學(xué)實(shí)踐中[1,2]，切實(shí)感覺到講授概念時(shí)，恰當(dāng)實(shí)例的缺乏已經(jīng)嚴(yán)重影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、理解深度和學(xué)習(xí)效果.因此，我們多年來(lái)的教學(xué)研究與實(shí)踐工作之一，主要集中于構(gòu)造和設(shè)計(jì)合適的課程用例.即從學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)學(xué)科和感興趣的信息學(xué)科[3]中選取相應(yīng)實(shí)例，精心設(shè)計(jì)和構(gòu)造以幫助理解相應(yīng)的抽象概念[4]，達(dá)到讓學(xué)生喜歡并主動(dòng)參與的目的，進(jìn)而引導(dǎo)他們想象“抽象”，最終理解“抽象”.

1.1 課程的高度抽象性特點(diǎn)

邏輯是確定思維有效性的形式規(guī)則系統(tǒng)，用數(shù)學(xué)的方法研究關(guān)于推理、證明等問題的學(xué)科叫做數(shù)理邏輯，它的研究對(duì)象就是符號(hào)形式語(yǔ)言和各種形式系統(tǒng).而Cantor集合論作為數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，存在著不可回避的邏輯悖論.目前解決這一問題的基本思想是集合論的公理化，所以數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)又被歸結(jié)為公理集合論.本課程的兩部分內(nèi)容涉及的概念均表現(xiàn)出高度抽象的特點(diǎn)，很難簡(jiǎn)單借助對(duì)以往知識(shí)的感知來(lái)把握.諸如：由公理給出的形式群理論不能完全等同于抽象代數(shù)課程中的群理論，承認(rèn)無(wú)限公理之后的各種無(wú)窮集合很多性質(zhì)不同于學(xué)生熟知的有限集合，等等.

讓學(xué)生們能想象、理解這些重要而基本的概念和原理，使學(xué)生們認(rèn)識(shí)到這些問題和生活實(shí)踐、學(xué)科背景密切相關(guān)，由對(duì)本課程產(chǎn)生興趣進(jìn)而提高對(duì)整個(gè)學(xué)科的理解，應(yīng)當(dāng)是教學(xué)任務(wù)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).

1.2 課程建設(shè)中的問題分析

(i) 教學(xué)實(shí)效性有待于進(jìn)一步提高.經(jīng)常是教師很辛苦地證出一個(gè)結(jié)果之后，學(xué)生雖然在理論上同意你的每一步推導(dǎo)，但心中不太認(rèn)可這個(gè)僅由變形法則保證的結(jié)論.這往往使得課下鞏固很難，碰到習(xí)題無(wú)從下手，久而久之，開始的熱情大打折扣，變得敬而遠(yuǎn)之了；

(ii) 對(duì)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的途徑、形式的研究有待于加強(qiáng).學(xué)生們喜歡鮮活、生動(dòng)的形式，喜歡在創(chuàng)造中體會(huì)學(xué)習(xí)的快樂；

(iii) 對(duì)本課程教學(xué)規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律研究有待于深入.以公理化方法引入概念，講解高度抽象的形式系統(tǒng)，極易使得課程內(nèi)容變成脫離實(shí)際的符號(hào)游戲，很難和學(xué)生們的直覺掛鉤，這個(gè)看起來(lái)“高深且沒什么用”的課程就會(huì)被束之高閣.

1.3 為何選擇以設(shè)計(jì)課程用例作為突破口

針對(duì)上述問題，我們認(rèn)為提高興趣、突出直覺有利于幫助理解抽象概念，是解決問題的一個(gè)很好的突破口.

大家都知道，盡管用“1頭牛加上2頭牛，數(shù)一數(shù)是3頭”來(lái)解釋“1+2=3”是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，也是非理性的，但對(duì)于我們初始理解這樣一類抽象式還是有所幫助的，這里對(duì)牛的直覺就是“抽象概念具體化”.必須再次和反復(fù)指出的是，抽象一旦具體，就不再是一樣的含義了，就像2頭牛、2只香蕉…，永遠(yuǎn)不是2的真實(shí)意思一樣.但具體化可以使學(xué)生獲得思考的養(yǎng)料，借用他們熟悉的角度理解和印證抽象的問題，逐步接近和把握概念的本質(zhì)[5].

數(shù)理邏輯和集合論是數(shù)學(xué)大廈的重要基礎(chǔ).針對(duì)其自身特點(diǎn)和整個(gè)課程體系的限制要求，教學(xué)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)圍繞數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)展開.數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)是抽象的，理解有時(shí)是相當(dāng)困難的.這表現(xiàn)在解釋形式系統(tǒng)的模型有時(shí)也是相當(dāng)抽象的，比如形式群公理系統(tǒng)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)解釋是《抽象代數(shù)》課程中的群，此外還存在不是群的其他解釋.如何給學(xué)生以恰當(dāng)?shù)闹庇X，不是一件容易的事情.

《數(shù)理邏輯和集合論》課程用例的設(shè)計(jì)與構(gòu)造就可以這樣入手，比如利用《抽象代數(shù)》課程中的群理論，感知數(shù)學(xué)系統(tǒng)和邏輯系統(tǒng)的聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)研究過程的解釋和模型.因此，針對(duì)不同抽象問題點(diǎn)，在學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)課程或感興趣的信息課程[6]中尋找具體模型，設(shè)計(jì)構(gòu)造講課用例，是一項(xiàng)有現(xiàn)實(shí)意義且頗具挑戰(zhàn)的工作.

2 設(shè)計(jì)構(gòu)造的講課用例

以下幾個(gè)從不同課程中提煉、構(gòu)造的設(shè)計(jì)用例，更多地從學(xué)生們熟悉的數(shù)學(xué)領(lǐng)域覓得.它們的簡(jiǎn)單和清晰有助于理解復(fù)雜和抽象的概念.

2.1 利用代數(shù)實(shí)例理解邏輯系統(tǒng)

證令映射f∶{T,F}→F2如下：F對(duì)應(yīng)0, T對(duì)應(yīng)1；

f(a⊕b)=f(a)+f(b), f(a∧b)=f(a)·f(b)，

則易證真值集{0,1}在⊕和∧運(yùn)算下與F2同構(gòu).

注 本例很簡(jiǎn)單，作用卻不小.除了向?qū)W生指出邏輯真值集上的邏輯連接詞“并不奇怪”，而是“似曾相識(shí)”外，還幫助同學(xué)們通過抽象代數(shù)里的最簡(jiǎn)單有限域概念與邏輯學(xué)間的直接聯(lián)系，做到溫故而知新.

2.2 對(duì)選擇公理的理解

選擇公理對(duì)任意集簇C，存在以C為定義域的選擇函數(shù)g，使得對(duì)C的每個(gè)非空元素x，總有g(shù)(x)∈x.

選擇公理的解釋就是能夠?yàn)槿我饧剡x擇出一個(gè)集合，使得這個(gè)集合與集簇的每個(gè)非空元素相交不為空.學(xué)生們對(duì)于這個(gè)公理往往覺得很奇怪，因?yàn)橐杂邢藜貫槔@個(gè)定理顯得很平凡，而思考無(wú)限集簇又會(huì)覺得很難把握，所以學(xué)習(xí)后往往陷入“知道又不真理解”的境況.

利用《拓?fù)鋵W(xué)》、《數(shù)學(xué)分析》課程中大家熟悉的閉點(diǎn)、函數(shù)連續(xù)性構(gòu)造設(shè)計(jì)講課用例.使得學(xué)生在學(xué)習(xí)此兩例的過程中，理解這個(gè)有些“莫名奇妙”公理的作用.其中收斂序列存在性的問題，正好說(shuō)明選擇公理在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)地位.

設(shè)計(jì)用例2閉點(diǎn)的定義 對(duì)于任一正實(shí)數(shù)ε，存在nε∈，使得對(duì)所有n≥nε都有成立，稱實(shí)數(shù)序列xn|n∈收斂于a∈，這里表示自然數(shù)集合.

設(shè)A是一實(shí)數(shù)子集合，A的閉點(diǎn)通常有如下兩種定義

以上二者等價(jià)的證明如下

(i)→(ii) 任給ε>0,存在nε∈,使得對(duì)所有n>nε都有成立.即有xnε∈A且ε.

關(guān)鍵問題在于(ii)→(i)時(shí)，xn|n∈序列果真存在嗎?

當(dāng)選擇公理不成立時(shí)，我們沒有把握能從非空集簇{Xn≠φ|n∈}選出xn∈Xn|n∈序列.因此，這兩個(gè)閉點(diǎn)定義的等價(jià)實(shí)際上是依賴于選擇公理的.

設(shè)計(jì)用例3函數(shù)的連續(xù)性

實(shí)值函數(shù)的連續(xù)性定義一般有如下兩種

(i)f∶→在a∈處是連續(xù)的.如果對(duì)任意ε>0，存在一個(gè)δ>0使得對(duì)于所有滿足的x，都有成立.

(ii)f∶→在a∈處是連續(xù)的.如果對(duì)任意收斂于a∈的序列xn∈|n∈，有序列f(xn)∈|n∈收斂于f(a).

以上二者等價(jià)的證明如下

(i)→(ii) 如果xn|n∈收斂于a且給出ε>0，首先可以找到滿足(i)要求的δ>0，使得對(duì)于所有滿足的x，都有成立.由于xn|n∈收斂，則由序列收斂定義知道存在nδ∈，使得當(dāng)n≥nδ時(shí)有成立.當(dāng)然，對(duì)于所有這樣的n有成立.

問題在于(ii)→(i)時(shí)，xk|k∈序列果真存在嗎？

這個(gè)證明過程中，δ分別取{1/k|k=1,2,3,…}時(shí)獲得的序列xk∈|k∈隱含使用了選擇公理.因?yàn)閷?duì)每個(gè)1/k，并不是只有唯一的xk滿足但ε.事實(shí)上有無(wú)限多的xk滿足這一點(diǎn)，而這些xk中也未必有最大的或者最小的，所以(ii)→(i)證明過程中隱含使用了從這些無(wú)限多的xk中選擇一個(gè)，繼而組成序列xk|k∈的手段，這就是使用了選擇公理.

關(guān)于選擇公理的設(shè)計(jì)用例，還有相關(guān)《泛函分析》、《線性代數(shù)》等幾門課程的，限于篇幅，這里不再一一給出.

2.3 關(guān)于計(jì)算機(jī)科學(xué)邏輯基礎(chǔ)的理解

數(shù)論、代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)深深得益于《數(shù)理邏輯與集合論》的豐碩成果，特別是計(jì)算機(jī)科學(xué)，幾乎就是數(shù)理邏輯研究發(fā)展的里程碑.

設(shè)計(jì)用例4從介值定理體會(huì)計(jì)算機(jī)科學(xué)的構(gòu)造主義本質(zhì),進(jìn)而理解邏輯主義和構(gòu)造主義的不同(優(yōu)劣).

介值定理對(duì)于一個(gè)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),若區(qū)間兩端的函數(shù)值異號(hào),則至少存在一個(gè)零點(diǎn).

我們知道,構(gòu)造主義只認(rèn)可那些有限步可以構(gòu)造生成的數(shù)學(xué)對(duì)象,這樣從自然數(shù)開始不能得到無(wú)理數(shù).因此，定理就只能在有理數(shù)意義下使用，很明顯，這種情況下零點(diǎn)未必存在.

這里有兩個(gè)啟示:一是在計(jì)算機(jī)(沒有無(wú)理數(shù))中介值定理并不嚴(yán)格成立，只能近似獲得零點(diǎn)；二是若承認(rèn)構(gòu)造主義，便會(huì)拋棄很多數(shù)學(xué)分析中的現(xiàn)有成果.

通過這個(gè)實(shí)例的講解，難以理解的計(jì)算機(jī)科學(xué)的邏輯基礎(chǔ)為學(xué)生直觀接受，并能猜想、展望未來(lái)計(jì)算機(jī)需要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

2.4 對(duì)無(wú)限和有限的認(rèn)識(shí)

無(wú)限概念是現(xiàn)代數(shù)學(xué)不能回避的，種種矛盾和對(duì)立的觀點(diǎn)都是由于不能準(zhǔn)確把握它而引起的.如何看待“無(wú)限”是不同邏輯學(xué)派一個(gè)重要的分歧點(diǎn).我們熟悉的《數(shù)學(xué)分析》使用潛無(wú)限概念(極限定義),公理集合論是認(rèn)可實(shí)無(wú)限存在的(歸納集合存在公理)，集合論的主要工作是面對(duì)“無(wú)限”這個(gè)抽象概念，學(xué)生必須學(xué)會(huì)新環(huán)境中的思考方式和方法.

設(shè)計(jì)用例5定義：良基集合是指其任一子集合,都有極小元.

問:滿足字典序的集合是良基的嗎？

這個(gè)問題的解答很容易受直觀的影響,因?yàn)榇蠹宜玫淖值涞娜我庾硬糠职凑兆值湫蚩偸怯惺讍卧~的,所以答案往往是肯定的.這就是典型的以有限環(huán)境下的經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)無(wú)限環(huán)境的實(shí)例.我們知道，所謂單詞就是字母的有限可重復(fù)序列，但這樣的單詞有無(wú)限多個(gè).如果按字典序一一排列，甚至永遠(yuǎn)排不到B打頭的單詞，因此，很容易構(gòu)造一個(gè)子集合，這個(gè)集合沒有極小元.如

{…,AAB,AB,B,BA,BAA,…}.

體會(huì)：(i) 有限和無(wú)限有本質(zhì)的區(qū)別；(ii) 以有限枚舉的方式不可跨越無(wú)限.

值得指出的是：這個(gè)實(shí)例由學(xué)生提出，源自于程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言理論.學(xué)生們能不拘于傳統(tǒng)詞典的有限性實(shí)質(zhì)，依照課程教學(xué)給出的形式概念正確思考本質(zhì)無(wú)限的問題.這真的使我們堅(jiān)信，設(shè)計(jì)和構(gòu)造講課用例是一個(gè)教學(xué)相長(zhǎng)的過程，能充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，把他們吸攏來(lái)主動(dòng)思考，也算是課堂教學(xué)的新境界了.

2.5 形式系統(tǒng)與模型的關(guān)系

關(guān)于形式系統(tǒng)和模型的聯(lián)系，是通過一個(gè)映射實(shí)現(xiàn)的.本來(lái)它們之間是抽象與具體的關(guān)系，可是當(dāng)模型本身也很抽象的時(shí)候，學(xué)生們很難區(qū)分形式符號(hào)系統(tǒng)和解釋模型.這里的課程用例就是來(lái)源于學(xué)生們的一個(gè)問題：“數(shù)理邏輯中的形式系統(tǒng)和抽象代數(shù)里的理論哪一個(gè)更抽象？”

我們知道，任何數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)都是謂詞演算的一致擴(kuò)充(不同的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)只是增加以不同的數(shù)學(xué)公理而已)，這些個(gè)數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)之間除了共同的邏輯公理之外，還有三條共同的關(guān)于等詞的數(shù)學(xué)公理.也就是說(shuō)，所用的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)中都有等詞.注意，這里的等詞是個(gè)特殊的二元謂詞符號(hào)，其性質(zhì)僅由三條等詞公理保證.等詞不能簡(jiǎn)單地理解成以往的“等號(hào)”.

(E1) (x1=x1).

可以證明(因?yàn)楹湍康臒o(wú)關(guān)，所以不給出過程)，這三條等詞公理僅能保證等詞“=”具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性.所以，這其實(shí)只是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，并不是數(shù)學(xué)中一般使用的等號(hào)含義.

設(shè)計(jì)用例6為了回答學(xué)生們的“孰更抽象？”的問題，下面給出一個(gè)特殊的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)—形式群理論.

當(dāng)然，形式群理論除了包含謂詞演算的六條邏輯公理模式、三條等詞公理之外，還有如下三條群公理

形式系統(tǒng)是符號(hào)的世界，通過一個(gè)映射就可以將符號(hào)對(duì)應(yīng)到一個(gè)具體討論的領(lǐng)域(模型)，使之擁有公理約束的具體行為.映射不同，具體模型就不一樣.

更能說(shuō)明問題的是個(gè)反例，那就是存在映射使得滿足形式群公理約束的模型不是《抽象代數(shù)》課程意義下的群，具體如下：

此例在教學(xué)實(shí)踐中很好地幫助學(xué)生們理解了形式系統(tǒng)與其模型的關(guān)系，使得學(xué)生體會(huì)到抽象與具體的相對(duì)性.更重要的是，他們初步感知到數(shù)學(xué)大廈下隱藏的、更一般的數(shù)理邏輯基礎(chǔ).

3 討論和思考

課程教學(xué)不能只強(qiáng)調(diào)抽象的、難以理解的符號(hào)系統(tǒng)，而必須立足于使學(xué)生擁有很好的直覺認(rèn)識(shí)能力.

可以說(shuō)，構(gòu)造實(shí)例在教學(xué)實(shí)踐中達(dá)到了設(shè)計(jì)效果.不僅提高了學(xué)生們理解抽象概念的能力，解決了“這些概念有什么用的問題？”，還加深了大家對(duì)實(shí)例來(lái)源課程的再認(rèn)識(shí).學(xué)習(xí)《數(shù)理邏輯和集合論》課程的目的應(yīng)該是將抽象的理論再應(yīng)用于實(shí)踐.因此，實(shí)例的另一功效在于引導(dǎo)學(xué)生重新認(rèn)識(shí)已學(xué)課程中的一些內(nèi)容，比如分析中的無(wú)窮小量、證明中的數(shù)學(xué)歸納法等等.

本課程的教學(xué)研究和實(shí)踐告訴我們：面對(duì)抽象概念，應(yīng)當(dāng)盡可能對(duì)具體內(nèi)容加以更多的關(guān)注，使得學(xué)生容易跨過最初的認(rèn)知門檻，養(yǎng)成抽象思維的良好習(xí)慣，幫助學(xué)生及時(shí)找到認(rèn)知基礎(chǔ)和知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn).例如在集合論中，數(shù)學(xué)家關(guān)心的是抽象的、普適的理論問題—公理系統(tǒng)的各種性質(zhì).而學(xué)生們往往首先關(guān)注的是一些具體集合的性質(zhì)，如各種常見集合、關(guān)系、映射是什么樣的；再如，從信息和計(jì)算角度來(lái)看，需要讓學(xué)生知道計(jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)理邏輯.這些都要求學(xué)生要建立判斷的“直覺”基礎(chǔ)，不能只是“漂亮”的抽象樓閣；另外，本課程教學(xué)還應(yīng)當(dāng)關(guān)注數(shù)理邏輯相關(guān)學(xué)科的發(fā)展史，例如非歐幾何、非經(jīng)典邏輯、量子力學(xué)、泛函分析等，都與數(shù)理邏輯相互影響，互相推動(dòng).關(guān)于這一點(diǎn)，將在其他文章中闡述.

設(shè)計(jì)和構(gòu)造講課用例，實(shí)際上是和學(xué)生一起于熟悉的領(lǐng)域溫故，繼而激發(fā)他們對(duì)本課程新概念的興趣，借助這種直覺進(jìn)入“抽象”領(lǐng)域，達(dá)到知新的教學(xué)效果.因?yàn)檫@種“抽象”是和某個(gè)“具體”相聯(lián)系的，所以能起到容易接受并逐漸理解的目的.

總之，教學(xué)功夫在課外，想辦法吸引學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)過程才是重中之重.

[1] Hamilton A G.Logic for Mathematicians[M].北京：清華大學(xué)出版社(影印版)，2002.

[2] Karel Hrbacek, Thomas Jech.Introduction to Set theory [M].3rd ed.New York: Marcel Dekker, 1999.

[3] Bruno Marchal.Theoretical computer science and the natural sciences[J].Physics of life reviews, 2005, 2: 251-289.

[4] 張玲玲,黃建華,黃立宏.研究生數(shù)學(xué)公共課程中教學(xué)案例創(chuàng)新與建設(shè)的思考[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2015,31(3): 117-121.

[5] 李雨生,郭鏡明.引導(dǎo)學(xué)生從掌握本質(zhì)中提高學(xué)習(xí)興趣[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2014,30(6): 120-122.

[6] 陳意云，張昱.程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言理論[M].北京：高等教育出版社，2010.

The Design and Construction of Lecture Instances for Mathematical Logic and Set Theory

WANGYong-jun,YANGYi-chuan,NINGYun-zhuan

(School of Mathematics and System Sciences, Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

The course “Mathematical logic and set theory” is an important foundation of Mathematics, Information science, Philosophy, and Computer science, etc.But its high abstractness is main obstacle to learn this course for students.Teaching method should be based on training students′ keen intuition ability rather than only focuses on abstract and incomprehensible symbol systems.In the teaching practice, we consciously choose some classical instances for students from Mathematics and Information science which are familiar to them, then carefully design and construct lecture instances to help students understand relevant concepts.The practice shows that our instances can largely broaden students’ horizon and are very helpful for them to understand the abstract concepts based upon the famous Chinese education idea of “reviewing makes learning new”.

mathematical logic； set theory； abstractness； lecture instances

2016-05-18 ； [修改日期] 2016-07-15

國(guó)家自然科學(xué)基金(11271040)；基礎(chǔ)科研基金(YWF-14-SXXY-015)；凡舟教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)，北航重大教改項(xiàng)目

王擁軍(1970-)，男，博士，講師，從事軟計(jì)算，數(shù)據(jù)挖掘研究.Email:wangyj@buaa.edu.cn

G640

C

1672-1454(2016)06-0117-06