◇ 北京 丁益祥(特級(jí)教師)

例析類比推理型問題的求解

◇ 北京 丁益祥(特級(jí)教師)

類比推理型問題是兩類特殊對(duì)象之間相互比照類推的問題.一般地,由兩類對(duì)象具有某些類似特征,并且已知其中一類對(duì)象的某些特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理,稱作類比推理.近年的高考中,關(guān)于類比推理型的問題時(shí)有考查,因此,在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中對(duì)類比推理型問題的求解,有必要進(jìn)行相應(yīng)的分析和研究.

1 級(jí)別提升型類比

例1設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S4,S8－S4,S12－S8,S16－S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn,則T4,________,________,成等比數(shù)列.

解析

等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S4,S8－S4,S12－S8,S16－S12成等差數(shù)列.

等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn,則T4,________,________,成等比數(shù)列.

具體地:等差數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列前n項(xiàng)積Tn.

等差數(shù)列和等比數(shù)列是2類“平行”的數(shù)列,明確類比推理對(duì)象,把握運(yùn)算升級(jí)原則,是解決這類問題的關(guān)鍵.

例2在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)△ABC的2邊AB、AC互相垂直,則AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空間,類比平面幾何的勾股定理,研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積之間的關(guān)系,可以得出的正確結(jié)論是:“設(shè)三棱錐A-BCD的3個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直,則________.”

解析

認(rèn)真閱讀題目,不難發(fā)現(xiàn),題目中明確要求我們通過類比平面幾何的勾股定理,研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積之間的關(guān)系.因此,求解問題的第一要?jiǎng)?wù)是理清類比對(duì)象并思考與之相應(yīng)的類比規(guī)則.

具體地:△ABC三棱錐A-BCD.

2邊AB、AC互相垂直3個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直;

本題明確要求根據(jù)平面幾何中關(guān)于直角三角形的一個(gè)性質(zhì),通過類比推理,得出立體幾何中的一個(gè)類似性質(zhì).顯然,這是由平面到空間的類比,著重考查了幾何中的“維度級(jí)別提升型”類比推理.一般地,在幾何中:

2 形式對(duì)照型類比

例3計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的記數(shù)制,采用數(shù)字0～9和字母A～F共16個(gè)記數(shù)符號(hào),這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系見表1.

表1

例如,用十六進(jìn)制表示:E＋D＝1B,則A×B＝( ).

A 6E; B 72;

C 5F; DB0

解析

本題的類比對(duì)象:

顯然,所求結(jié)果應(yīng)根據(jù)2種進(jìn)位制下數(shù)字或字母之間的相互對(duì)應(yīng)關(guān)系,以及相關(guān)算式的形式和意義來確定.為此,我們來觀察和分析已知式子E＋D＝1B的中間運(yùn)算過程以及結(jié)構(gòu)形式和意義:

事實(shí)上,(E＋D)16＝(14＋13)10＝27.

注意到E＋D＝1B中的“1B”是十六進(jìn)制下的表示,因此,我們應(yīng)當(dāng)考慮27被16除所得的結(jié)果,并進(jìn)一步分析這個(gè)結(jié)果與“1B”的對(duì)應(yīng)規(guī)則.

易得27÷16＝1………11,即商1余11.

將“商1余11”與E＋D＝1B中的“1B”結(jié)構(gòu)形式對(duì)照,易看出“1B”是將十進(jìn)制運(yùn)算下的商數(shù)1換成對(duì)應(yīng)關(guān)系表中與之對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制下的數(shù)字1,將十進(jìn)制運(yùn)算下的余數(shù)11換成對(duì)應(yīng)關(guān)系表中與之對(duì)應(yīng)的十六進(jìn)制下的字母B,并“合成”而得.

由此結(jié)構(gòu)形式比照類推,易得

(A×B)16＝(10×11)10＝110.

注意到110÷16＝6………14,即商6余14.

由對(duì)應(yīng)關(guān)系表不難看到,十進(jìn)制運(yùn)算下的商數(shù)6在十六進(jìn)制下與數(shù)字6對(duì)應(yīng),十進(jìn)制運(yùn)算下的余數(shù)14在十六進(jìn)制下與字母E對(duì)應(yīng),故A×B＝6E,因此選A.

本題是一道突出考查“結(jié)構(gòu)形式對(duì)照型”類比推理的問題.題中給出了十六進(jìn)制下的數(shù)字或字母與十進(jìn)制下的數(shù)字之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系表以及運(yùn)算示例,只有讀懂十六進(jìn)制下式子E＋D＝1B的結(jié)構(gòu)形式和意義,并與十進(jìn)制運(yùn)算結(jié)果相互對(duì)照類比,分析揭示其特征和意義,才能有效地解決這類問題.

例4半徑為r的圓的面積S(r)＝πr2,周長(zhǎng)C(r)＝2πr,若將r看作(0,＋∞)上的變量,則

式①可以用語(yǔ)言敘述為:圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù).

對(duì)于半徑為R的球,若將R看作(0,＋∞)上的變量,請(qǐng)你寫出類似于①的式子._______________________________②

式②可以用語(yǔ)言敘述為:_______.

解析

本題既有數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的類比,又有文字語(yǔ)

言的類比,類比對(duì)象半明半暗,即

具體地:半徑為r的圓半徑為R的球(平面空間);

此題既是“維度級(jí)別提升型”類比,又是“結(jié)構(gòu)形式對(duì)照型”類比.在求導(dǎo)運(yùn)算下,圓的面積函數(shù)球的體積函數(shù),圓的周長(zhǎng)函數(shù)球的表面積函數(shù),這是維度升級(jí)類比;而圓的面積函數(shù)和周長(zhǎng)函數(shù)、球的體積函數(shù)和表面積函數(shù),它們的解析式都有各自符號(hào)語(yǔ)言的結(jié)構(gòu)形式.只有掌握維度級(jí)別的提升規(guī)則,熟記相關(guān)函數(shù)各自符號(hào)語(yǔ)言的結(jié)構(gòu)形式,才能作出正確的判斷.

類比推理型問題的處理,應(yīng)注意類比對(duì)象的正確定位.常見的類比對(duì)象及其類比規(guī)則是:空間類比平面,體積類比面積,面積類比長(zhǎng)度,等比數(shù)列類比等差數(shù)列,幾何平均數(shù)類比算術(shù)平均數(shù),乘方類比乘法,乘法類比加法,開方類比除法,除法類比減法,等等.解決這類問題基本的思維程序是,觀察—分析—類比—推測(cè).

類比推理是由特殊到特殊的推理,它是合情推理的重要形式之一,它使思維產(chǎn)生飛躍,它為發(fā)明奠定基礎(chǔ).毋庸置疑,在求解相關(guān)問題中,類比推理有著巨大的價(jià)值.

(作者單位:北京陳經(jīng)綸中學(xué))